შესავალი

ამ სტატიაში ვისწავლით სტანდარტული გადახრის "ხელით" გამოანგარიშებას.
საინტერესოა, რომ ნამდვილ სიტუაციაში არც ერთი სტატისტიკოსი სტანდარტულ გადახრას ხელით არ გამოთვლის. გამოთვლები საკმაოდ კომპლექსურია და შეცდომის დაშვების რისკი – მაღალი. ასევე, ხელით გამოთვლა ძალიან ნელია. ამიტომაც, ასეთ რიცხვებზე მუშაობისას სტატისტიკოსები ელექტრონულ ცხრილებსა და პროგრამებს ეყრდნობიან.
მაშინ ამ სტატიას რა აზრი აქვს? რატომ ვხარჯავთ დროს ისეთი რაიმეს შესწავლისთვის, რასაც სტატისტიკოსები სინამდვილეში არც იყენებენ? ამის პასუხი არის ის, რომ ხელით ანგარიში წარმოდგენას შეგვიქმნის, თუ სინამდვილეში რა არის სტანდარტული გადახრა. ეს წარმოდგენა მნიშვნელოვანია. იმის ნაცვლად, რომ სტანდარტული გარდაქმნა აღვიქვათ რაღაც ჯადოსნურ რიცხვად, რომელსაც ელექტრონული ცხრილი ან კომპიუტერული პროგრამა გვაძლევს, შევძლებთ, ავხსნათ, თუ საიდან მოდის ეს რიცხვი.

სტანდარტული გადახრის გამოთვლის მიმოხილვა

სტანდარტული გადახრის (სგ) ფორმულა არის
SD=xμ2N\Large\text{SD} = \sqrt{\dfrac{\sum\limits_{}^{}{{\lvert x-\mu\rvert^2}}}{N}}
სადაც \sum ნიშნავს "ჯამს", xx არის მონაცემთა ერთობლიობის წევრის მნიშვნელობა, μ\mu - მონაცემთა ერთობლიობის საშუალო და NN - ერთობლიობაში წევრების რაოდენობა.
სტანდარტული გადახრის ფორმულა შეიძლება, დამაბნევლად გამოიყურება, მაგრამ ნაწილებად დაშლის შემდეგ იგი ლოგიკური გახდება. შემდეგ პარაგრაფებში ნაბიჯ–ნაბიჯ მივყვებით ინტერაქტიულ მაგალითს. შესავალში ჩამოთვლილია ის ნაბიჯები, რომელთაც მივყვებით:
1–ლი ნაბიჯი: იპოვეთ საშუალო.
მე–2 ნაბიჯი: იპოვეთ თითოეული წევრიდან საშუალომდე მანძილის კვადრატი.
მე–3: შეკრიბეთ მე–2 ნაბიჯში მიღებული მნიშვნელობები.
მე–4 ნაბიჯი: გაყავით მონაცემების რაოდენობაზე.
მე–5 ნაბიჯი: ამოიღეთ ფესვი.

მნიშვნელოვანი მინიშნება

ზემოთ მოცემული ფორმულა არის ერთობლიობის სტანდარტული გადახრისთვის. თუ შერჩევით ერთობლიობასთან გაქვთ საქმე, უნდა გამოიყენოთ ოდნავ განსხვავებული ფორმულა (მოცემულია ქვემოთ), რომელიც NN-ის ნაცვლად n1n-1-ს იყენებს. თუმცა, ამ სტატიის მიზანია გაგაცნოთ სტანდარტული გადახრის გამოანგარიშების პროცესი, რომელიც ერთი და იგივეა, იმისგან დამოუკიდებლად, თუ რომელ ფორმულას გამოიყენებთ.
SDშერჩევითი ერთობლიობა=xxˉ2n1\text{SD}_\text{შერჩევითი ერთობლიობა} = \sqrt{\dfrac{\sum\limits_{}^{}{{\lvert x-\bar{x}\rvert^2}}}{n-1}}

სტანდარტული გადახრის ამოხსნის ინტერაქტიულ მაგალითს მიყვებით ნაბიჯ–ნაბიჯ

ჯერ გვჭირდება მონაცემთა ერთობლიობა. მოდით, რამე პატარა ავირჩიოთ, რომ მონაცემების რაოდენობით არ გადავიტვირთოთ. აი კარგი მაგალითი:
6,2,3,16, 2, 3, 1

1-ლი ნაბიჯი: xμ2N\sqrt{\dfrac{\sum\limits_{}^{}{{\lvert x-\goldD{\mu}\rvert^2}}}{N}}-ში μ\goldD{\mu}-ის პოვნა

ამ ნაბიჯში ვიპოვით მონაცემთა ერთობლიობის საშუალოს, რომელიც μ\mu ცვლადით არის წამორდგენილი.

მე-2 ნაბიჯი: xμ2N\sqrt{\dfrac{\sum\limits_{}^{}{\goldD{{\lvert x-\mu}\rvert^2}}}{N}}-ში xμ2\goldD{\lvert x - \mu \rvert^2}-ის პოვნა

ამ ნაბიჯში ვპოულობთ თითოეული წევრიდან საშუალომდე მანძილს (ე.ი. გადახრას) და კვადრატში აგვყავს თითოეული ეს მანძილი.
მაგალითად, პირველი წევრი არის 66 და საშუალო არის 33, ასე რომ, მათ შორის მანძილი არის 33. მანძილის კვადრატში აყვანა გვაძლევს 99–ს.

მე-3 ნაბიჯი: xμ2N\sqrt{\dfrac{\goldD{\sum\limits_{}^{}{{\lvert x-\mu}\rvert^2}}}{N}}-ში xμ2\goldD{\sum\lvert x - \mu \rvert^2}-ის პოვნა

\sum სიმბოლო ნიშნავს "შეკრებას", ასე რომ, ამ ნაბიჯში ვკრებთ მე-2 ნაბიჯში ნაპოვნ მნიშვნელობებს.

მე-4 ნაბიჯი: xμ2N\sqrt{\goldD{\dfrac{\sum\limits_{}^{}{{\lvert x-\mu}\rvert^2}}{N}}}-ში xμ2N\goldD{\dfrac{\sum\lvert x - \mu \rvert^2}{N}}-ის პოვნა

ამ ნაბიჯში მე–3 ნაბიჯით მიღებულ შედეგს ვყოფთ NN ცვლადზე, რომელიც არის მონაცემთა რაოდენობა.

მე-5 ნაბიჯი: სტანდარტული გადახრის პოვნა xμ2N\sqrt{\dfrac{\sum\limits_{}^{}{{\lvert x-\mu\rvert^2}}}{N}}

თითქმის დავამთავრეთთ! უბრალოდ მე–4 ნაბიჯში მიღებული პასუხიდან ამოიღეთ კვადრატული ფესვი და მოვრჩით.
დიახ! ჩვენ ეს შევძელით! ჩვენ წარმატებით გამოვთვალეთ პატარა მონაცემთა ერთობლიობის სტანდარტული გადახრა.

შევაჯამოთ, რა გავაკეთეთ

ფორმულა ხუთ ნაბიჯათ დავშალეთ:
1-ლი ნაბიჯი: იპოვეთ μ\mu საშუალო.
μ=6+2+3+14=124=3\mu = \dfrac{6+2 + 3 + 1}{4} = \dfrac{12}{4} = \blueD3
მე–2 ნაბიჯი: იპოვეთ თითოეული წევრიდან საშუალომდე მანძილის კვადრატი, xμ2\lvert x-\mu\rvert^2.
xxxμ2\lvert x - \mu \rvert^2
66632=32=9\lvert6-\blueD{3}\rvert^2 = 3^2 = 9
22232=12=1\lvert2-\blueD{3}\rvert^2 = 1^2 = 1
33332=02=0\lvert3-\blueD{3}\rvert^2 = 0^2 = 0
11132=22=4\lvert1-\blueD{3}\rvert^2 = 2^2 = 4
ნაბიჯები 3, 4 და 5:
SD=xμ2N=9+1+0+44=144        შეკრიბეთ მანძილების კვადრტები (მე-3 ნაბიჯი).=3.5        გაყავით მონაცმთა რაოდენობაზე (მე-4 ნაბიჯი).1.87        ამოიღეთ კვადრატული ფესვი (მე-5 ნაბიჯი).\begin{aligned} \text{SD} &= \sqrt{\dfrac{\sum\limits_{}^{}{{\lvert x-\mu\rvert^2}}}{N}}\\\\\\\\ &= \sqrt{\dfrac{9 + 1 + 0 + 4}{4}} \\\\\\\\ &= \sqrt{\dfrac{{14}}{4}} ~~~~~~~~\small \text{შეკრიბეთ მანძილების კვადრტები (მე-3 ნაბიჯი).} \\\\\\\\ &= \sqrt{{3.5}} ~~~~~~~~\small \text{გაყავით მონაცმთა რაოდენობაზე (მე-4 ნაბიჯი).} \\\\\\\\ &\approx 1.87 ~~~~~~~~\small \text{ამოიღეთ კვადრატული ფესვი (მე-5 ნაბიჯი).} \end{aligned}

სცადეთ თქვენით

შეგახსენებთ ფორმულას:
SD=xμ2N\Large\text{SD} = \sqrt{\dfrac{\sum\limits_{}^{}{{\lvert x-\mu\rvert^2}}}{N}}