ძირითადი მასალა

კურსი: საშუალო საფეხურის სტატისტიკა > თემა 2

გაკვეთილი 3: განაწილებების გაშლილობის შეჯამება

სტანდარტული გადახრის ნაბიჯ-ნაბიჯ გამოთვლა

შესავალი

ამ სტატიაში ვისწავლით სტანდარტული გადახრის „ხელით" გამოანგარიშებას.

საინტერესოა, რომ ნამდვილ სიტუაციაში არც ერთი სტატისტიკოსი სტანდარტულ გადახრას ხელით არ გამოთვლის. გამოთვლები საკმაოდ კომპლექსურია და შეცდომის დაშვების რისკი – მაღალი. ასევე, ხელით გამოთვლა ძალიან ნელია. ამიტომაც, ასეთ რიცხვებზე მუშაობისას სტატისტიკოსები ელექტრონულ ცხრილებსა და პროგრამებს ეყრდნობიან.

მაშინ ამ სტატიას რა აზრი აქვს? რატომ ვხარჯავთ დროს ისეთი რაიმეს შესწავლისთვის, რასაც სტატისტიკოსები სინამდვილეში არც იყენებენ? ამის პასუხი არის ის, რომ ხელით ანგარიში წარმოდგენას შეგვიქმნის, თუ სინამდვილეში რა არის სტანდარტული გადახრა. ეს წარმოდგენა მნიშვნელოვანია. იმის ნაცვლად, რომ სტანდარტული გადახრა აღვიქვათ რაღაც ჯადოსნურ რიცხვად, რომელსაც ელექტრონული ცხრილი ან კომპიუტერული პროგრამა გვაძლევს, შევძლებთ, ავხსნათ, თუ საიდან მოდის ეს რიცხვი.

სტანდარტული გადახრის გამოთვლის მიმოხილვა

სტანდარტული გადახრის (სგ) ფორმულა არის

$SD = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍

სადაც

\sum

ნიშნავს „ჯამს",

x

არის მონაცემთა ერთობლიობის წევრის მნიშვნელობა,

μ

- მონაცემთა ერთობლიობის საშუალო და

N

- ერთობლიობაში წევრების რაოდენობა.

სტანდარტული გადახრის ფორმულა შეიძლება, დამაბნევლად გამოიყურება, მაგრამ ნაწილებად დაშლის შემდეგ იგი ლოგიკური გახდება. შემდეგ პარაგრაფებში ნაბიჯ–ნაბიჯ მივყვებით ინტერაქტიულ მაგალითს. შესავალში ჩამოთვლილია ის ნაბიჯები, რომელთაც მივყვებით:

1–ლი ნაბიჯი: იპოვეთ საშუალო.

მე–2 ნაბიჯი: იპოვეთ თითოეული წევრიდან საშუალომდე მანძილის კვადრატი.

მე–3: შეკრიბეთ მე–2 ნაბიჯში მიღებული მნიშვნელობები.

მე–4 ნაბიჯი: გაყავით მონაცემების რაოდენობაზე.

მე–5 ნაბიჯი: ამოიღეთ ფესვი.

მნიშვნელოვანი მინიშნება

ზემოთ მოცემული ფორმულა არის ერთობლიობის სტანდარტული გადახრისთვის. თუ შერჩევით ერთობლიობასთან გაქვთ საქმე, უნდა გამოიყენოთ ოდნავ განსხვავებული ფორმულა (მოცემულია ქვემოთ), რომელიც

N

-ის ნაცვლად

n - 1

-ს იყენებს. თუმცა, ამ სტატიის მიზანია, გაგაცნოთ სტანდარტული გადახრის გამოანგარიშების პროცესი, რომელიც ერთი და იგივეა, იმისგან დამოუკიდებლად, თუ რომელ ფორმულას გამოიყენებთ.

{SD}_{შერჩევითი ერთობლიობა} = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}}{n - 1}}

ეს კარგი შეკითხვაა, მაგრამ მოკლედ პასუხის გაცემა რთულია. ამ თემაზე ბევრი ვიდეო და სიმულაცია გვაქვს—ეს საკმაოდ რთული და საკმაოდ საინტერესოა.

თუ გინდათ გაიგოთ განსხვავება ერთობლიობისა და შერჩევითი ერთობლიობის სტანდარტულ გადახრას შორის და გაიგოთ, რატომ გამოიანგარიშებიან განსხვავებულად, უნდა ნახოთ გაკვეთილი შერჩევითი ერთობლიობის დისპერსიასა და სტანდარტული გადახრზე.

წინ!

სტანდარტული გადახრის ამოხსნის ინტერაქტიულ მაგალითს მიყვებით ნაბიჯ–ნაბიჯ

ჯერ გვჭირდება მონაცემთა ერთობლიობა. მოდით, რამე პატარა ავირჩიოთ, რომ მონაცემების რაოდენობით არ გადავიტვირთოთ. აი კარგი მაგალითი:

$6, 2, 3, 1$ ‍

1-ლი ნაბიჯი: $\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍-ში $μ$ ‍-ის პოვნა

ამ ნაბიჯში ვიპოვით მონაცემთა ერთობლიობის საშუალოს, რომელიც

μ

ცვლადით არის წამორდგენილი.

შეავსეთ გამოტოვებული ადგილები.

μ =

მე-2 ნაბიჯი: $\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍-ში $| x - μ |^{2}$ ‍-ის პოვნა

ამ ნაბიჯში ვპოულობთ თითოეული წევრიდან საშუალომდე მანძილს (ე.ი. გადახრას) და კვადრატში აგვყავს თითოეული ეს მანძილი.

მაგალითად, პირველი წევრი არის

6

და საშუალო არის

3

, ასე რომ, მათ შორის მანძილი არის

3

. მანძილის კვადრატში აყვანა გვაძლევს

9

–ს.

შეავსეთ ქვემოთ მოცემული ცხრილი.

მონაცემის წერტილი $x$ ‍	საშუალოდან მანძილის კვადრატი $\| x - μ \|^{2}$ ‍
$6$ ‍	$9$ ‍
$2$ ‍	თქვენი პასუხი უნდა იყოს მთელი რიცხვი, როგორიცაა $6$ ‍ გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად $3 / 5$ ‍ გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად $7 / 4$ ‍ შერეული რიცხვი, როგორიცაა $1 3 / 4$ ‍ ზუსტი ათწილადი, მაგალითად $0.75$ ‍ pi-ს ჯერადი, როგორიცაა $12 pi$ ‍ ან $2 / 3 pi$ ‍
$3$ ‍	თქვენი პასუხი უნდა იყოს მთელი რიცხვი, როგორიცაა $6$ ‍ გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად $3 / 5$ ‍ გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად $7 / 4$ ‍ შერეული რიცხვი, როგორიცაა $1 3 / 4$ ‍ ზუსტი ათწილადი, მაგალითად $0.75$ ‍ pi-ს ჯერადი, როგორიცაა $12 pi$ ‍ ან $2 / 3 pi$ ‍
$1$ ‍	თქვენი პასუხი უნდა იყოს მთელი რიცხვი, როგორიცაა $6$ ‍ გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად $3 / 5$ ‍ გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად $7 / 4$ ‍ შერეული რიცხვი, როგორიცაა $1 3 / 4$ ‍ ზუსტი ათწილადი, მაგალითად $0.75$ ‍ pi-ს ჯერადი, როგორიცაა $12 pi$ ‍ ან $2 / 3 pi$ ‍

მონაცემის წერტილი $x$ ‍	საშუალოდან მანძილის კვადრატი $\| x - μ \|^{2}$ ‍
$6$ ‍	$\| 6 - 3 \|^{2} = 3^{2} = 9$ ‍
$2$ ‍	$\| 2 - 3 \|^{2} = 1^{2} = 1$ ‍
$3$ ‍	$\| 3 - 3 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍
$1$ ‍	$\| 1 - 3 \|^{2} = 2^{2} = 4$ ‍

მე-3 ნაბიჯი: $\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍-ში $\sum | x - μ |^{2}$ ‍-ის პოვნა

\sum

სიმბოლო ნიშნავს „შეკრებას", ასე რომ, ამ ნაბიჯში ვკრებთ მე-2 ნაბიჯში ნაპოვნ მნიშვნელობებს.

შეავსეთ გამოტოვებული ადგილები.

\sum | x - μ |^{2} =

მე-4 ნაბიჯი: $\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍-ში $\frac{\sum | x - μ |^{2}}{N}$ ‍-ის პოვნა

ამ ნაბიჯში მე–3 ნაბიჯით მიღებულ შედეგს ვყოფთ

N

ცვლადზე, რომელიც არის მონაცემთა რაოდენობა.

შეავსეთ გამოტოვებული ადგილები.

\frac{\sum | x - μ |^{2}}{N} =

მე-5 ნაბიჯი: სტანდარტული გადახრის პოვნა $\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍

თითქმის დავამთავრეთთ! უბრალოდ მე–4 ნაბიჯში მიღებული პასუხიდან ამოიღეთ კვადრატული ფესვი და მოვრჩით.

შეავსეთ გამოტოვებული ადგილები.
პასუხი მეასედებამდე დაამრგვალეთ.

SD = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}} \approx

დიახ! ჩვენ ეს შევძელით! ჩვენ წარმატებით გამოვთვალეთ პატარა მონაცემთა ერთობლიობის სტანდარტული გადახრა.

შევაჯამოთ, რა გავაკეთეთ

ფორმულა ხუთ ნაბიჯათ დავშალეთ:

1-ლი ნაბიჯი: იპოვეთ

μ

საშუალო.

$μ = \frac{6 + 2 + 3 + 1}{4} = \frac{12}{4} = 3$ ‍

მე–2 ნაბიჯი: იპოვეთ თითოეული წევრიდან საშუალომდე მანძილის კვადრატი,

| x - μ |^{2}

$x$ ‍		$\| x - μ \|^{2}$ ‍
$6$ ‍		$\| 6 - 3 \|^{2} = 3^{2} = 9$ ‍
$2$ ‍		$\| 2 - 3 \|^{2} = 1^{2} = 1$ ‍
$3$ ‍		$\| 3 - 3 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍
$1$ ‍		$\| 1 - 3 \|^{2} = 2^{2} = 4$ ‍

ნაბიჯები 3, 4 და 5:

$\begin{aligned} SD & = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}} \\ = \sqrt{\frac{9 + 1 + 0 + 4}{4}} \\ = \sqrt{\frac{14}{4}} შეკრიბეთ მანძილების კვადრტები (მე-3 ნაბიჯი). \\ = \sqrt{3, 5} გაყავით მონაცმთა რაოდენობაზე (მე-4 ნაბიჯი). \\ \approx 1, 87 ამოიღეთ კვადრატული ფესვი (მე-5 ნაბიჯი). \end{aligned}$ ‍

სცადეთ თქვენით

შეგახსენებთ ფორმულას:

$SD = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}}$ ‍

აი, მონაცემთა ერთობლიობა:

$1, 4, 7, 2, 6$ ‍

იპოვეთ მონაცემთა ერთობლიობის სტანდარტული გადახრა.
პასუხი მეასედებამდე დაამრგვალეთ.

SD =

იპოვეთ საშუალო

μ = \frac{1 + 4 + 7 + 2 + 6}{5} = \frac{20}{5} = 4

იპოვეთ თითოეული წევრიდან საშუალომდე მანძილების კვადრატები

$x$ ‍		$\| x - μ \|^{2}$ ‍
$1$ ‍		$\| 1 - 4 \|^{2} = 3^{2} = 9$ ‍
$4$ ‍		$\| 4 - 4 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍
$7$ ‍		$\| 7 - 4 \|^{2} = 3^{2} = 9$ ‍
$2$ ‍		$\| 2 - 4 \|^{2} = 2^{2} = 4$ ‍
$6$ ‍		$\| 6 - 4 \|^{2} = 2^{2} = 4$ ‍

გამოიყენეთ ფორმულა

\begin{aligned} SD & = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}} \\ = \sqrt{\frac{9 + 0 + 9 + 4 + 4}{5}} \\ = \sqrt{\frac{26}{5}} \\ = \sqrt{5, 2} \\ \approx 2, 28 \end{aligned}

პასუხი

სტანდარტული გადახრა დაახლოებით არის $2, 28$ ‍.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

Eliso Chxitunidze
გამოქვეყნების თარიღია 3 წლის წინ. მომხმარებლის Eliso Chxitunidze გზავნილზე „შეიძლება თუ არა საშუალო უ...“ პირდაპირი ბმული
შეიძლება თუ არა საშუალო უდრიდეს საშუალო კვადრატულ გადახრას?
Button navigates to signup pageButton navigates to signup page
(1 მოწონება)
პასუხი
Tornike Skhirtladze
გამოქვეყნების თარიღია 4 წლის წინ. მომხმარებლის Tornike Skhirtladze გზავნილზე „Sd = 2.55 თუ დავამრგვალებ...“ პირდაპირი ბმული
Sd = 2.55 თუ დავამრგვალებთ მეასედებამდე, თუმცა პასუხს არასწორად თვლის.
Button navigates to signup pageდატოვეთ კომენტარი მომხმარებლის Tornike Skhirtladze გზავნილზე „Sd = 2.55 თუ დავამრგვალებ...“
(1 მოწონება)
პასუხი

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

საშუალო საფეხურის სტატისტიკა