ძირითადი მასალა

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 4

გაკვეთილი 6: ორჯერადი ინტეგრალები (სტატიები)

ორჯერადი ინტეგრალები მოცულობის მიღმა

ორჯერადი ინტეგრალები აკეთებენ სამგანზომილებიანი გრაფიკების ქვეშ მოცულობის პოვნაზე მეტს. აქ მიმოვიხილავთ სხვა გამოყენებებს, ორჯერადი ინტეგრალების უფრო ზოგად ნოტაციას და ვხსნით ორჯერადი ინტეგრაციის „შეგრძნებას“.

ფონი

ორჯერადი ინტეგრალები არამართკუთხა რეგიონებზე

რის აგებას ვცდილობთ

ორჯერადი ინტეგრალები გამოიყენება, როცა გრძნობთ, რომ გინდათ ორგანზომილებიანი რეგიონი დაშალოთ უსასრულოდ ბევრ და უსასრულოდ პატარა ფართობად, თითოეული რაიმე მნიშვნელობაზე გაამრავლოთ და დააჯამოთ.
ორჯერადი ინტეგრალის უფრო ზოგადი ჩანაწერია
$\begin{array}{r} \iint_{R} f d A \end{array}$ ‍,
სადაც
$R$ ‍ არის რეგიონი, რომელზეც აინტეგრებთ.
$d A$ ‍ გამოხატავს „ფართობის უმცირეს ნაწილს“, რომელიც ზოგადად ნიშნავს $d x d y$ ‍-ს ან $d y d x$ ‍-ს, თუ სხვა საკოორდინატო სისტემა არ გამოიყენება.
$f (x, y)$ ‍ არის ორცვლადიანი ფუნქცია.

მაგალითი 1: ფირფიტის მასა

წარმოიდგინეთ

3

მეტრი სიგანისა და

2

მეტრი სიმაღლის ლითონის ფირფიტა. ჩვენი მიზანი იქნება სიმკვრივეზე დაყრდნობით მისი მასის პოვნა, მაგრამ საქმე იმაშია, რომ სიმკვრივე მუდმივი არ არის მთელს ფირფიტაზე.

ამ ცვლადი სიმკვრივის ფუნქციით აღწერა რომ შევძლოთ, დაიწყეთ ფირფიტის

x y

სიბრტყეზე მოთავსებით:

მისი ქვედა მარცხენა ბოლო სათავეზეა და მისი დიდი გვერდი

x

ღერძზე მდებარეობს.

დავუშვათ, ამ ფირფიტის სიმკვრივე

კგ / მ^{2}

-ში გამოისახება შემდეგი ფუნქციით.

σ (x, y) = (\sin (π x) + 1) y

(

σ

არის ორგანზომილებიანი (ზედაპირული) სიმკვრივის ტიპური ცვლადი სახელი). სიმკვრივე (ზედაპირული) არის მასა ყოველ ერთეულ ფართობზე, ასე რომ, მისი განსაზღვრა ისეთი ფუნქციით, რომელიც ცაკლეულ წერტილებს იღებს, უცნაური შეიძლება, მოგვეჩვენოს. ბოლოს და ბოლოს, რას ნიშნავს, რომ

(1, 2)

-ის მსგავს ცალკეულ წერტილს ჰქონდეს

σ (1, 2)

სიმკვრივე? თუ გირჩევნიათ, ამ ფუნქციის ინტერპრეტირება შეგიძლიათ თითოეული წერტილის ირგვლივ სიმკვრივის მოცემით.

ფირფიტის მასის საპოვნელად შეგიძლიათ, წარმოიდგინოთ მისი დაშლა ბევრ პატარა ნაწილად, რომელთაგან თითოეული მართკუთხედია და შეკრიბოთ მათი მასები.

წარმოიდგინეთ, რომ თითოეულ მართკუთხედს აქვს უმცირესი

d x

სიგანე და უმცირესი

d y

სიმაღლე.

იფიქრეთ კონკრეტულ მართკუთხედზე, მაგალითად -

(1, 2)

წერტილის შემცველზე. რადგან მართკუთხედი ძალიან პატარაა, მის შიგნით სიმკვრივე ფაქტიურად ტოლი იქნება მუდმივა

σ (1, 2)

-ის. რაც უფრო მეტად დაშლით პატარა მართკუთხედებად, მით უფრო უახლოვდება ჭეშმარიტებას ის მტკიცება, რომ თითოეული მართკუთხედის სიმკვრივე მუდმივია.

ეს იმას ნიშნავს, რომ შეგვიძლია, ვიპოვოთ თითოეული მართკუთხედის მასა. მაგალითად,

\begin{array}{r} \underset{სიმკვრივე}{\underset{⏟}{σ (1, 2)}} \underset{მცირე ფართობი}{\underset{⏟}{d x d y}} = (\sin (π) + 1) (2) d x d y = 2 d x d y \end{array}

ფირფიტის ჯამური მასა რომ ვიპოვოთ, ყველა ამ მასას ერთად ვაინტეგრებთ. რადგან ვაინტეგრებთ ორგანზომილებიან რეგიონზე, ვიყენებთ ორჯერად ინტეგრალს. გაფრთხილდით: თქვენი ინტეგრალების მიმდევრობა დამოკიდებულია იმაზე, თითოეული მართკუთხედის უმცირეს ფართობს $d x d y$ ‍-ით გამოსახავთ თუ $d y d x$ ‍-ით

კონცეფციის შემოწმება: შემდეგ ორჯერად ინტეგრალებს შორის რომელი წარმოადგენს ჩვენი ლითონის ფირფიტის, რომლის სიგანეა

3

მეტრი და სიმაღლე -

2

მეტრი, მასას:

კონცეფციის შემოწმება:

σ (x, y) = (\sin (π x) + 1) y

ფუნქციის გამოყენებით გამოთვალეთ ეს ორჯერადი ინტეგრალი. (თუ დარწმუნებული არ ხართ, ეს როგორ გააკეთოთ, განიხილეთ სტატია, რომელიც გვაცნობს ორჯერად ინტეგრალებს)

\begin{array}{r} \int_{0}^{2} \int_{0}^{3} (\sin (π x) + 1) y d x d y = \end{array}

იფიქრეთ უმცირეს ფართობებზე

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

როცა პირველად გაგაცანით ორჯერადი ინტეგრალი, ეს იყო გრაფიკის ქვეშ მოცულობის პოვნის კონტექსტში. ნაფიქრი პროცესი დაახლოებით ასე გამოიყურებოდა:

პირველად მოცულობას ვშლით უსასრულოდ ბევრ ფენად. თითოეული ფენა წარმოადგენს ერთ-ერთი ცვლადის მუდმივ მნიშვნელობას, მაგალითად $x = 0, 78$ ‍.
პოულობთ თითოეული ფენის ფართობს. (ამას შიდა ინტეგრალი აკეთებს).
თითოეული ფენის მოცულობა გახადეთ უსასრულოდ პატარა მცირე სიღრმის მიცემით. მათემატიკურად ეს ნიშნავს თითოეული ფენის $d x$ ‍-ზე ან $d y$ ‍-ზე გამრავლებას, კერძოდ იმაზე, რომელიც წარმოადგენს ფენის მცირე მართობულ ნაბიჯს.
ეს უსასრულოდ მცირე მოცულობები ერთად გააინტეგრეთ, რომ მიიღოთ მთლიანი ფიგურის მოცულობა. (ამას აკეთებს გარე ინტეგრალი).

ამისგან განსხვავებით, წინა სექციაში მოცემული ფირფიტის მასის პოვნის მაგალითს აქვს განხვავებული გარეგნობა. ჩვენ ფიქრს ვიწყებთ უმცირეს ფართობებზე, შემდეგ თითოეულს ვამრავლებთ მუდმივაზე (სიმკვრივეზე) და ვცდილობთ ყველას დაჯამებას.

რა თქმა უნდა, ეს ორი პერსპექტივა ტოლფასია. როცა საქმე გამოთვლებამდე მივა, განსხვავებული აღარაფერი გამოჩნდება. ყველა შემთხვევაში ააგებთ ერთ ინტეგრალს მეორეს შიგნით, გამოთვლით შიდა ინტეგრალს და შემდეგ - გარე ინტეგრალს.

თუმცა, ვიზუალური და კონცეპტუალური გაგებისთვის ორჯერადი ინტეგრალის შექმნა მცირე ფართობებით განსხვავდება მისი აგებისგან, როგორც - ერთი წრფივი ინტეგრალი მეორე მათგანში. მაგალითად, თუ იფიქრეთ გრაფიკის ქვეშ ფართობის გამოთვლაზე თავდაპირველად

x y

სიბრტყის რეგიონის ბევრ პატარა ფართობად დაშლაზე, შეგიძლიათ, წარმოიდგინოთ ამ უმცირეს ინტეგრალებზე მოთავსებული წვრილი სვეტების მოცულობების დაჯამება.

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

ორჯერადი ინტეგრალების ზოგადი ჩანაწერი

როცა ორჯერად ინტეგრალზე ვფიქრობთ პატარა ფაროთბების მიმართ, მიღებულია მისი აბსტრაქტულად ჩაწერა:

\begin{array}{r} \iint_{R} f d A \end{array}

$R$ ‍

R

წარმოადგენს რეგიონს, რომელზეც ვაინტეგრებთ. ამის ასე ჩაწერის მიზეზი ის არის, რომ, როცა რაღაცებს აგებთ ან ზოგადად ორჯერად ინტეგრალებზე მსჯელობთ, არ გინდათ შეფერხდეთ თქვენი რეგიონის რაიმე კონკრეტული (და პოტენციურად რთული) განმარტებით, როცა რაღაცების ჩამოწერას ვცდილობთ.

როცა საქმე ინტეგრალის გამოთვლასთან მიდის,

\iint_{R}

-ს ვანაცვლებთ ცალკეული ზღვრების მქონე ინტეგრალების ნამდვილი წყვილით, რომელთა გამოთვლაც შეიძლება. როცა

R

მართკუთხედია, ეს ზღვრები მუდმივები იქნება:

\int_{y_{1}}^{y_{2}} \int_{x_{1}}^{x_{2}} \dots

უფრო ზოგადად, როცა

R

განისაზღვრება

x y

სიბრტყეზე რაიმე მრუდის მიმართ, შიდა ინტეგრალის ზღვრები გამოისახება გარე ცვლადის ფუნქციების სახით:

\int_{y_{1}}^{y_{2}} \int_{x_{1} (y)}^{x_{2} (y)} \dots

(ნახეთ ბოლო სტატია, რათა ივარჯიშოთ ამ იდეაზე.)

$d A$ ‍

d A

წარმოადგენს უმცირეს ფართობს, იმავე გზით, რითაც

d x

წარმოადგენს პატარა სიგრძეს ჩვეულებრივ ინტეგრალში.

თქვენ ჩვეულებრივ წარმოიდგენთ

R

რეგიონის დაშლას ბევრ პატარა ნაწილად და ეს წევრი წარმოადგენს ერთ-ერთი ასეთი ნაწილის ფართობს. როცა მიადგებით ორჯერადი ინტეგრალის გამოთვლას, მას ჩაანაცვლებთ

d x d y

-ითა და

d y d x

-ით. სხვა საკოორდინატო სისტემებში

d A

-ის დაშლის განსხვავებული გზაა, მაგრამ ამას დავტოვებ მომდევნო სტატიისთვის.

$f (x, y)$ ‍

f (x, y)

არის რაიმე ორცვლადიანი ფუნქცია. როცა რეგიონს ბევრ პატარა ნაწილად შლით, თითოეული ნაწილი წარმოადგენს რაიმე მნიშვნელობას, რომელთა შეკრებასაც აპირებთ. ეს მნიშვნელობა შეიძლება, იყოს პატარა მასა ან გრაფიკის ქვეშ ვიწრო სვეტის უმცირესი მოცულობით.

იმედია, ამ პატარა ოდენობას გამოხატავთ თქვენი პატარა ნაწილის გამრავლებით რაღაცაზე. მაგალითად ნაწილის მასა არის სიმკვრივე (ზედაპირული) გამრავლებული ფართობზე; ხოლო სვეტის მოცულობა პატარა ნაწილის ზევით არის სვეტის სიმაღლე გამრავლებული ფართობზე.

ამ მაგალითებში,

f (x, y)

წარმოადგენს სიმკვრივეს ან სიმაღლეს. ზოგადად, ეს არის რაღაც, რაც უნდა გამრავლდეს პატარა ნაწილის

d A

ფართობზე და ზოგადად, იგი დამოკიდებულია ამ პატარა ნაწილის მდებარეობაზე, რომელიც გამოსახულია

(x, y)

კოორდინატებით.

„რა მოხდება, თუ პატარა მნიშვნელობას ვერ გამოვსახავთ რაღაცით, რომლის შეკრება მინდა რაიმე

d A

-ზე ნამრავლით?“

ამ შემთხვევაში ორჯერადი ინტეგრალები არ გამოგადგებათ, თუმცა ვერ ვიხსენებ მაგალითს, როცა ეს ხდება...

ამ აბსტრაქტულ ჩანაწერს ორი უპირატესობა აქვს:

სიმარტივე: როცა რაიმეს აგებას იწყებთ ან გინდათ, სწრაფად გააკეთოთ დასკვნა რაიმე კონრეტული ორჯერადი ინტეგრალით აგების დეტალებში შესვლის გარეშე, ძალიან გამოგადგებათ, თუ სწრაფად ჩაწერას მოახერხებთ. ასევე ეს ბევრი თეორემა და ინსტრუმენტი, რომელიც მრავალცვლადიან კალკულუსში გვხვდება, ამ ჩანაწერით გამოისახება აბსტრაქტულად.
ზოგადობა: თქვენი ინტეგრალის $\iint_{R} f d A$ ‍-ით ჩაწერა მისი გამოთვლის ვარიანტებს გაძლევთ. მაგალითად, მომდევნო სტატიაში ჩვენ მოვიცავთ ორჯერად ინტეგრალებს პოლარულ კოორდინატებში, რომელ შემთხვევაშიც $d A$ ‍-ის გაშლისა და ორ ინტეგრალზე ზღვრების მოთავსების გზები განსხვავებულია კარტეზიანული კოორდინატების შემთხვევაში.

მაგალითი 2: მასათა ცენტრი

სად არის ნახევარდისკოს მასათა ცენტრი?

სიმარტივისთვის დავუშვათ, რომ დისკოს რადიუსია

1

და იგი ისე მივმართოთ, რომ დიამეტრი

y

ღერძზე მდებარეობდეს. ასევე დაუშვით, რომ დისკოს ყველგან უცვლელი სიმკვრივე აქვს.

ეს საკმაოდ საინტერესო ამოცანაა, არა? შეგიძლიათ, გამოიცნოთ, რომ პასუხი არის

(0, 5, 0)

-იდან ოდნავ მარცხნივ, მაგრამ ნათელი არ არის, თუ როგორი იქნება კონკრეტული პასუხი?

ამ ნახევარდისკოს ვერტიკალური სიმეტრიით შეგიძლიათ, იცოდეთ, რომ მასათა ცენტრი

x

ღერძზე იქნება. გარკვეულწილად, ჩვენ ვეძებთ დისკოში წერტილების „საშუალო

x

მნიშვნელობას“.

კონცეფციის შემოწმება: თუ დავუშვებთ, რომ

H

წარმოადგენს ნახევარდისკოს, რომელშიც

| H |

წარმოადგენს მის ფართობს, ჩამოთვლილი აბსტრაქტულად ჩაწრილი ინტეგრალებიდან რომელი წარმოადგენს

H

-ის მასათა ცენტრის

x

მნიშვნელობას?

კონცეფციის შემოწმება: რას უდრის

H

ნახევარდისკოს ფართობი?

| H | =

კონცეფციის შემოწმება: ჩამოთვლილთაგან რომელი წარმოადგენს

\iint_{H} x d A

ინტეგრალის სწორად გაშლას გამოთვლად ფორმამდე?

წაიღეთ ეს სახლში: ეს ინტეგრალი ამოხსენით და გამოიყენეთ

H

-ის მასათა ცენტრის საპოვნელად.

მასათა ცენტრის

x

კოორდინატი:

შეჯამება

ორჯერადი ინტეგრალები გამოიყენება, როცა გრძნობთ, რომ გინდათ ორგანზომილებიანი რეგიონი დაშალოთ უსასრულოდ ბევრ და უსასრულოდ პატარა ფართობად, თითოეული რაიმე მნიშვნელობაზე გაამრავლოთ და დააჯამოთ.

ორჯერადი ინტეგრალის უფრო ზოგადი ჩანაწერია

\begin{array}{r} \iint_{R} f d A \end{array}

,
სადაც

$R$ ‍ არის რეგიონი, რომელზეც აინტეგრებთ.
$d A$ ‍ გამოხატავს „ფართობის უმცირეს ნაწილს“, რომელიც ზოგადად ნიშნავს $d x d y$ ‍-ს ან $d y d x$ ‍-ს, თუ სხვა საკოორდინატო სისტემა არ გამოიყენება.
$f (x, y)$ ‍ არის ორცვლადიანი ფუნქცია.

ამის შემდეგ ორჯერადი ინტეგრალები გადაებმება მრავალცვლადიანი კალკულუსის ახალი თემების უმეტესობას. უმეტეს შემთხვევაში გვეხმარება იმაზე ფიქრი, თუ რა ხდება მოცემული რეგიონის „პატარა ფართობის“ შიგნით იმის ნაცვლად, რომ ვიფიქროთ რაღაცის ინტეგრებაზე ხაზის გასწვრივ და შემდეგ კვლავ ინტეგრებაზე მართობული მიმართულებით.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

მრავალცვლადიანი კალკულუსი