ძირითადი მასალა

მრავალცვლადიანი კალკულუსი

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 4

გაკვეთილი 6: ორჯერადი ინტეგრალები (სტატიები)

ორმაგი ინტეგრალები

ორჯერადი ინტეგრალები არის ორგანზომილებიან არეში ინტეგრაციის გზა. სხვა ყველაფერთან ერთად ისინი გვაძლევს ზედაპირის ქვეშ მოცულობის გამოთვლის საშუალებას.

ფონი

რის აგებას ვცდილობთ

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

თუ მოცემული გაქვთ ორცვლადიანი f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis ფუნქცია, ამ გრაფიკსა და x, y სიბრტყის მართკუთხედ რეგიონს შორის მოცულობა შეგიძლიათ, იპოვოთ ინტეგრალის ინტეგრალის აღებით,
$\begin{aligned} \int_{y_1}^{y_2}\overbrace{\left( \int_{x_1}^{x_2} f(x, y)dx \right)}^{\text{ეს არის $y$-ის ფუნქცია}}dy \end{aligned}$
ამას ეწოდება ორმაგი ინტეგრალი.
იგივე მოცულობა შეგიძლიათ, გამოთვალოთ ინტეგრაციის რიგის შეცვლით:
$\begin{aligned} \int_{x_1}^{x_2}\overbrace{\left( \int_{y_1}^{y_2} f(x, y)dy \right)}^{\text{ეს არის $x$-ის ფუნქცია}}dx \end{aligned}$
გამოთვლა ძალიან განსხვავებული მოგვეჩვენება, მაგრამ იმავე შედეგს მივიღებთ.

მოცულობა ზედაპირს ქვევით

განიხილეთ ფუნქცია

f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, plus, sine, left parenthesis, y, right parenthesis, plus, 1

მისი გრაფიკი შემდეგნაირად გამოიყურება:

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

ახლა განიხილეთ x, y სიბრტყეზე შემდეგნაირად განსაზღვრული მართკუთხედი:

0, is less than, x, is less than, 2

და

minus, pi, is less than, y, is less than, pi

რას უდრის ამ მართკუთხედს მოცულოობა f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis გრაფიკის ქვეშ?

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

მრუდის ქვეშ მოცულობის გახსენება

ერთცვლადიანი კალკულუსიდან ვიცით, რომ ინტეგრალები საშუალებას გვაძლევს, გამოვთვალოთ ფართობი მრუდის ქვეშ. მაგალითად, y, equals, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction, x, squared, plus, 1-ის გრაფიკის ქვეშ ფართობი x, equals, minus, 3 და x, equals, 3 მნიშვნელობებს შორის, არის

$\begin{aligned} \int_{-3}^{3} \left( \dfrac{1}{4} x^2 + 1 \right) \, dx \end{aligned}$

ამაზე ფიქრის ერთი გზაა, წარმოვიდგინოთ უსასრულოდ ბევრი, უსასრულოდ ვიწრო მართკუთხედების, რომლებიც ხვდება მრუდის ქვეშ დასახელებულ რეგიონში, ფართობების შეკრება:

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction, x, squared, plus, 1 ფუნქციის მნიშვნელობაზე შეგიძლიათ, იფიქროთ, როგორც თითოეული მართკუთხედის სიმაღლეზე, სადაც d, x არის უსასრულოდ მცირე სიგანე და integral - დამაჯამებელი მანქანა, რომელიც უმკვლავდება უსასრულოდ ბევრ და უსასრულოდ პატარა რაღაცებს. ეს, უფრო აბსტრაქტულად ჩაწერილი, შემდეგნაირად გამოიყურება

$\begin{aligned} \int_{x_1}^{x_2} g(x)\,dx \end{aligned}$

მოცულობის ქვეშ ფართობის გაშლა

ჩვენი მოცულობის ამოცანისთვის რაღაც მსგავსის გაკეთება შეგვიძლია. ჩვენი სტრატეგია შემდეგნაირი იქნება:

მოცულობა ნაჭრებად დაყავით ორგანზომილებიანი ფართობით
გამოთვალეთ ან ნაჭრების ფართობები
შეაკავშირეთ ისინი, რომ მიიღოთ მთელი მოცულობა.

იფიქრეთ მოცულობის ორგანზომილებიან ნაჭრებზე f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis-ის ქვეშ. კონკრეტულად, აიღეთ ყველა ნაჭერი, რომელიც წარმოადგენს y-ის მუდმივ მნიშვნელობას:

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

განიხილეთ მხოლოდ ერთი ასეთი ნაჭერი, ისეთი, როგორიც y, equals, start fraction, pi, divided by, 2, end fraction-ს წარმოადგენს. ამ ნაჭრის ფართობი მოიცემა ინტეგრალით

$\begin{aligned} \int_0^2 f\left(x, \dfrac{\pi}{2}\right)\,dx &= \int_0^2 \left(x + \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + 1 \right)\,dx \end{aligned}$

უფრო აბსტრაქტული ჩანაწერით, როცა მოცემული გვაქვს y-ის მნიშვნელობა, ნაჭრის ფართობია

$\begin{aligned} \int_0^2 f(x, y)\,dx \end{aligned}$

ყურადღება მიაქციეთ, რომ ეს არის ინტეგრალი x-ის მიმართ, რომელიც d, x-ით აღინიშნება, ასე რომ, სანამ ეს ინტეგრალი გვაქვს, „y“ სიმბოლო წარმოადგენს მუდმივას.

ამ ინტეგრალის გახსნის შემდეგ, იგი გახდება y-ის რაიმე გამოსახულება.

თავად სცადეთ: გახსენით ინტეგრალი, რომ გამოთვალოთ ამ მუდმივი y მნიშვნელობის მქონე ნაჭრების ფართობი:

$\begin{aligned} \int_0^2 (x+\sin(y)+1)\,dx = \end{aligned}$

[პასუხი]

როცა გამოსახულებაში სვამთ y-ის რაიმე მნიშვნელობას, როგორიცაა - y, equals, start fraction, pi, divided by, 2, end fraction, თქვენ მიიღებთ ჩვენს მოცულობაში იმ ნაჭრის ფართობს, რომელიც ამ y მნიშვნელობას წარმოადგენს.

ახლა თუ თითოეული ნაჭრის ფართობს გავამრავლებთ d, y-ზე, y მიმართულებაში უმცირეს ცვლილებაზე, მივიღებთ მოცულობის უმცირეს ნაჭერს. მაგალითად, 4, plus, 2, sine, left parenthesis, y, right parenthesis შეიძლება, წარმოადგენდეს ნაჭრის ფართობს, მაგრამ left parenthesis, 4, plus, 2, sine, left parenthesis, y, right parenthesis, right parenthesis, d, y წარმოადგენს ამ ნაჭრის უსასრულოდ მცირე მოცულობას.

კიდევ ერთი ინტეგრალის გამოყენებით, ამჯერად y-ის მიმართ, ეფექტურად შეგვიძლია, დავაჯამოთ ამ უმცირესი ნაჭრების მოცულობები, რომ მივიღოთ მოცულობა ზედაპირის ქვეშ:

\begin{aligned} \overbrace{ \int_{-\pi}^{\pi}\left( \underbrace{ \int_0^2 f(x, y)dx }_{\text{ნაჭრის ფართობი}} \right)dy }^{\text{მოცულობა $f(x, y)$-ის ქვეშ}} \end{aligned}

თავად სცადეთ! რას მიიღებთ, როცა ჩასვამთ ზემოთ ნაპოვნ integral, start subscript, 0, end subscript, squared, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, d, x მნიშვნელობას და ამოხსნით მეორე ინტეგრალს?

$\begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi}\left(\int_0^2(x+\sin(y)+1) dx \right)dy = \end{aligned}$

[პასუხი]

ორი არჩევანი მიმართულებაში

საძიებელი მოცულობის დაყოფა სხვაგვარადაც შეგიძლიათ. აიღეთ ნაჭრები, რომლებიც წარმოადგენს მუდმივ x მნიშვნელობას y მნიშვნელობის ნაცვლად და დააჯამეთ ამ ნაჭრების მოცულობები.

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

კონცეფციის შემოწმება: შემდეგი ინტეგრალებიდან რომელი წარმოადგენს მუდმივი x მნიშვნელობის ნაჭრის ფართობს?

[პასუხი]

ახლა წარმოიდგინეთ თითოეული ასეთი ფართობის გამრავლება d, x-ზე, უმცირეს ნაბიჯზე x მიმართულებით, რომელიც ნაჭრის მართობულია. ეს მოგვცემს რაღაცნაირ, უსასრულოდ მცირე მოცულობის ნაჭერს. ყველა უსასრულოდ მცირე მოცულობის დაჯამებით, როცა x მოძრაობს 0-დან 2-მდე, მივიღებთ მოცულობას ზედაპირის ქვეშ.

კონცეფციის შემოწმება: შემდეგი ორმაგი ინტეგრალებიდან რომელი წარმოადგენს მოცულობას ჩვენი ფუნქციის გრაფიკის ქვეშ

f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, plus, sine, left parenthesis, y, right parenthesis, plus, 1

რეგიონში, სადაც

0, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 2 და minus, pi, is less than or equal to, y, is less than or equal to, pi?

(Choice A)
$\begin{aligned} \int_0^2 \left(\int_{-\pi}^{\pi} (x+\sin(y)+1)\,\blueE{dx} \right) \, \redE{dy} \end{aligned}$
(Choice B)
$\begin{aligned} \int_0^2 \left(\int_{-\pi}^{\pi} (x+\sin(y)+1)\,\redE{dy} \right) \, \blueE{dx} \end{aligned}$

[პასუხი]

თავად სცადეთ!: გახსენით ორმაგი ინტეგრალი, რომ გამოთვალოთ მოცულობა ზედაპირის ქვეშ (რა თქმა უნდა, მოცულობა უკვე იპოვეთ წინა სექციაში, მაგრამ ეს გვეხმარება, დავინახოთ, თუ როგორ შეიძლება მისი გამოთვლა სხვა გზით).

$\begin{aligned} \int_0^2\left( \int_{-\pi}^{\pi} (x+\sin(y)+1) dy \right) dx = \end{aligned}$

[პასუხი]

საბედნიეროდ, ეს გამოთვლა იმავე მოცულობას გვაძლევს, რაც წინა სექციაში ვიპოვოთ. ასე რომ არ ყოფილიყო, ჩვენს მსჯელობაში რაღაც შეცდომა იქნებოდა.

მოკლედ რომ ვთქვათ, ინტეგრაციის რიგს არ აქვს მნიშვნელობა. ერთი შეხედვით, ეს შეიძლება, ნათელი ჩანდეს, რადგან ერთსა და იმავე მოცულობას ითვლით, თუმცა, ესენი არსებითად განსხვავებული გამოთვლებია, ასე რომ, ის ფაქტი, რომ ისინი ტოლია, ძალიან გამოსადეგი მათემატიკური ხრიკია.

მაგალითად, ალბათობის თეორიაში რამდენიმე დამტკიცება მოიცავს ორი ოდენობის ტოლობის ჩვენებას იმის წარმოდგენით, რომ ორივე მათგანი მიიღება ერთი ორმაგი ინტეგრალიდან, უბრალოდ განსხვავებული რიგით გამოითვლება.

[სინამდვილეში, ზოგჯერ, რიგს აქვს მნიშვნელობა]

კიდევ ერთი მაგალითი

განიხილეთ ფუნქცია

f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, y, right parenthesis, x, squared, plus, 1

რას უდრის ამ ფუნქციის გრაფიკის ქვეშ მოცულობა იმ რეგიონში, სადაც

minus, 1, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 1

და

minus, pi, is less than or equal to, y, is less than or equal to, pi?

აი, როგორ გამოიყურება ეს მოცულობა:

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

კონცეფციის შემოწმება: წარმოიდგინეთ ამ მოცულობის დაჭრა f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, y, right parenthesis, x, squared, plus, 1-ის ქვეშ იმ მოცულობის გასწვრივ, რომელიც y, equals, 1-ს წარმოადგენს. შემდეგი ინტეგრალებიდან რომელი წარმოადგენს ამ ნაჭრის ფართობს?

(Choice A)
$\begin{aligned} \int_{-1}^1 \big(\cos(1)x^2 + 1 \big)\, dx \end{aligned}$
(Choice B)
$\begin{aligned} \int_{-\pi}^\pi \big(\cos(y)(1)^2 + 1 \big)\, dy \end{aligned}$

[პასუხი]

ვარჯიში: რას მიიღებთ, როდესაც გამოთვლით ამ ინტეგრალს y-ის ზოგადი მნიშვნელობისთვის და არა მხოლოდ y, equals, 1-სთვის?

$\begin{aligned} \int_{-1}^1 \big(\cos(y)x^2 + 1 \big)\, dx = \end{aligned}$

[პასუხი]

მეტი ვარჯიში: გამოსახულება, რომელიც ახლა იპოვეთ, წარმოადგენს ჩვენი მოცულობის იმ ნაჭრების ფართობს, რომლებიც წარმოადგენს y-ის მუდმივ მნიშვნელობებს. ამ გამოსახულების გამოყენებით ააგეთ ინტეგრალი, რომ იპოვოთ მოცულობა ზედაპირის ქვეშ და გამოთვალეთ ინტეგრალი.

საბოლოო მოცულობა:

\quad

[პასუხი]

შეჯამება

თუ მოცემული გაქვთ ორცვლადიანი f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis ფუნქცია, მის გრაფიკსა და x, y სიბრტყის მართკუთხედ რეგიონს შორის მოცულობა შეგიძლიათ, იპოვოთ ინტეგრალის ინტეგრალის აღებით,
$\begin{aligned} \int_{y_1}^{y_2}\overbrace{\left( \int_{x_1}^{x_2} f(x, y)dx \right)}^{\text{ეს არის $y$-ის ფუნქცია}}dy \end{aligned}$
ამას ეწოდება ორმაგი ინტეგრალი.
იგივე მოცულობა შეგიძლიათ, გამოთვალოთ ინტეგრაციის რიგის შეცვლით:
$\begin{aligned} \int_{x_1}^{x_2}\overbrace{\left( \int_{y_1}^{y_2} f(x, y)dy \right)}^{\text{ეს არის $x$-ის ფუნქცია}}dx \end{aligned}$
გამოთვლა ძალიან განსხვავებული მოგვეჩვენება, მაგრამ იმავე შედეგს მივიღებთ.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.