ძირითადი მასალა

კურსი: მათემატიკა III > თემა 2

გაკვეთილი 9: მრავალწევრის ნულები და მისი გრაფიკი

მრავალწევრების ნულები და გრაფიკები

ისწავლეთ მრავალწევრების ამონახსნების, ფესვებისა და x ღერძთან გადაკვეთის წერტილების კავშირზე. მეტი გაიგეთ ამონახსნების ჯერადობაზე.

რას ისწავლით ამ გაკვეთილში

მრავალწევრების შესწავლისას ხშირად გვესმის ტერმინები: ნულები, ფესვები, მამრავლები და

x

ღერძთან გადაკვეთის წერტილები.

ამ გაკვეთილში ჩვენ გამოვიკვლევთ მრავალწევრების ამ მახასიათებლებს და იმ სპეციალურ კავშირს, რომელიც მათ ერთმანეთთან აქვთ.

ძირითადი კავშირები მრავალწევრა ფუნქციებში

f

მრავალწევრისა და ნამდვილ რიცხვ

k

-სთვის ქვემოთმოყვანილი მტკიცებები ტოლფასია:

$x = k$ ‍ არის ფესვი, ან განტოლების ამონახსნი $f (x) = 0$ ‍
$k$ ‍ არის ნული ფუნქციისა $f$ ‍
$(k, 0)$ ‍ არის მოცემული გრაფიკის $x$ ‍ ღერძთან გადაკვეთის წერტილი $y = f (x)$ ‍
$x - k$ ‍ არის $f (x)$ ‍-ის წრფივი მამრავლი

მოდით გავიაზროთ ეს

g (x) = (x - 3) (x + 2)

მრავალწევრის დახმარებით, რომელიც შეიძლება, ჩაიწეროს, როგორც

g (x) = (x - 3) (x - (- 2))

პირველ რიგში, ვხედავთ, რომ

g (x)

-ის წრფივი მამრავლებია

(x - 3)

და

(x - (- 2))

თუ

g (x) = 0

მოცემული ფუნქციის მნიშვნელობას ნულს გავუტოლებთ და

x

-ს ვიპოვით, მაშინ მივიღებთ

x = 3

-ს ან

x = - 2

-ს. ეს გახლავთ მოცემული განტოლების ამონახსნები, იგივე ფესვები.

ფუნქციის ნული არის

x

-ის ის მნიშვნელობა, რომლისთვისაც ფუნქცია

0

-ის ტოლი ხდება. რადგან ვიცით, რომ

x = 3

და

x = - 2

ფუნქციის

g (x) = 0

-ს ამონახსნებია, ამიტომ,

3

და

- 2

g

ფუნქციის ნულებია.

საბოლოოდ,

y = g (x)

გრაფიკის

x

ღერძთან გადაკვეთის წერტილები აკმაყოფილებენ განტოლებას

0 = g (x)

, რომელიც ზემოთ ამოვხსენით. მოცემულ განტოლებაში

x

ღერძთან გადაკვეთის წერტილებია

(3, 0)

და

(- 2, 0)

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

1) რა არის $f (x) = (x + 4) (x - 7)$ ‍ ფუნქციის ნულები?

ვიცით რომ თუ

x - k

არის

f (x)

-ის წრფივი მამრავლი, მაშინ

k

არის

f

ფუნქციის ნული.

შეგვიძლია

f (x) = (x + 4) (x - 7)

გადავწეროთ, როგორც

f (x) = (x - (- 4)) (x - 7)

. მაშასადამე,

f

-ის ნულებია

- 4

და

7

2) $g$ ‍-ის გრაფიკი $x$ ‍ ღერძს კვეთს წერტილში $(2, 0)$ ‍. რა უნდა იყოს $g (x) = 0$ ‍ განტოლების ფესვი?

x =

თუ

(k, 0)

f

ფუნქციის გრაფიკის

x

ღერძთან გადაკვეთის წერტილია, მაშინ ვიცით, რომ

x = k

არის ფესვი ან ამონახსნი განტოლებისა

f (x) = 0

რადგან

g

-ის გრაფიკი

x

ღერძს

(2, 0)

წერტილში კვეთს, ამიტომ,

x = 2

g (x) = 0

-ის ფესვია.

3) $h$ ‍ ფუნქციის ნულებია $- 1$ ‍ და $3$ ‍. ქვემოთ მოყვანილთაგან რომელი შეიძლება იყოს $h (x)$ ‍?

ვიცით, რომ თუ

k

არის

f

ფუნქციის ნული, მაშინ

x - k

არის

f (x)

-ის წრფივი მამრავლი.

რადგან

h

ფუნქციის ნულებია

- 1

და

3

, ვიცით, რომ

(x - (- 1))

და

(x - 3)

h

-ის მამრავლები უნდა იყოს.

რომ გავამარტივოთ, ვხედავთ რომ

h (x)

-ის მამრავლები უნდა იყოს

(x + 1)

და

(x - 3)

. ამ მამრავლების შემცველია მხოლოდ:

h (x) = (x + 1) (x - 3)

ნულები და ჯერადობა

მრავალწევრის მამრავლებად დაშლისას, განტოლებაში წრფივი მამრავლის გამეორების რაოდენობა არის ამ მამრავლის ნულის ჯერადობა.

მაგალითად, მრავალწევრში

f (x) = (x - 1) (x - 4)^{2}

, ციფრი

4

არის ფუნქციის ნული, ჯერადობით

2

ყურადღება მივაქციოთ, რომ

f (x)

-ის გაშლილად ჩაწერისას მამრავლი

(x - 4)

წერია

2

-ჯერ.

$f (x) = (x - 1) (x - 4) (x - 4)$ ‍

ასე რომ, როდესაც ამოხსნით

f (x) = 0

-ს, მიიღებთ

x = 4

-ს ორჯერ.

$\begin{aligned} 0 & = (x - 1) (x - 4) (x - 4) \\ x - 1 = 0 x - 4 = 0 x - 4 = 0 \\ x = 1 x = 4 x = 4 \end{aligned}$ ‍

ზოგადად, თუ მრავალწევრის მამრავლებად დაშლის პროცესში

x - k

მეორდება

m

-ჯერ, მაშინ

k

არის ფუნქციის ნული ჯერადობით

m

. ფუნქციის ნულს ჯერადობით

2

ეწოდება ორმაგი ნული.

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

4) $f (x) = (x - 3) (x - 1)^{3}$ ‍-ის რომელ ნულს აქვს $3$ ‍-ის ტოლი ჯერადობა?

f (x) = (x - 3) (x - 1)^{3}

ყურადღება მიაქციეთ, რომ

f (x)

-ის მამრავლებად დაშლისას

(x - 1)

მეორდება სამჯერ. ამ მამრავლის შესაბამისი ნულია

1

. მაშასადამე,

1

-ის ჯერადობა ტოლია

3

-ის.

5) $g (x) = (x + 1)^{3} (2 x + 1)^{2}$ ‍-ის რომელი ნულია ორმაგი?

g (x) = (x + 1)^{3} (2 x + 1)^{2}

ყურადღება მივაქციოთ, რომ

g (x)

-ის მამრავლებად დაშლისას

(2 x + 1)

მეორდება ორჯერ. ამ მამრავლთან დაკავშირებული ნულია

- \frac{1}{2}

$\begin{aligned} 2 x + 1 & = 0 \\ 2 x & = - 1 \\ x & = - \frac{1}{2} \end{aligned}$ ‍

მაშასადამე

- \frac{1}{2}

არის ორმაგი ნული.

გრაფიკული კავშირი

ფუნქციის ნულის ჯერადობა მნიშვნელოვანია რადგან ის გვეუბნება, როგორ იქცევა გრაფიკი ფუნქციის ნულის ირგვლივ.

მაგალითად, მივაქციოთ ყურადღება, რომ

f (x) = (x - 1) (x - 4)^{2}

-ის გრაფიკი განსხვავებულად იქცევა, როცა ნულის არის

1

, ვიდრე როცა ნული არის

4

, რომელიც თავის მხრივ ორმაგ ნულს წარმოადგენს.

კერძოდ, როდესაც გრაფიკი კვეთს

x

ღერძს

x = 1

წერტილში, იგი მხოლოდ ეხება

x

ღერძს წერტილში

x = 4

მოდით, განვიხილოთ ისეთი ფუნქციის გრაფიკი, რომელსაც აქვს იგივე ნულები, თუმცა განსხვავებული ჯერადები. მაგალითად, ავიღოთ

g (x) = (x - 1)^{2} (x - 4)

. ყურადღება მივაქციოტ რომ ამ ფუნქციისთვის

1

არის ორმაგი ნული, მაშინ როდესაც

4

არის ერთმაგი ნული.

ახლა ვხედავთ, რომ

g

-ის გრაფიკი ეხება

x

ღერძს წერტილში

x = 1

და კვეთს

x

ღერძს წერტილში

x = 4

ზოგადად, თუ

f

ფუნქციას აქვს ნული კენტი ჯერადობით, მაშინ

y = f (x)

გრაფიკი გადაკვეთს

x

ღერძს

x

წერტილში. თუ

f

ფუნქციას აქვს ნული, ხარისხის ლუწი ჯერადობით, მაშინ

y = f (x)

-ის გრაფიკი შეეხება

x

ღერძს ამ წერტილში.

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

6) ქვემოთ დახატულ გრაფიკში ნულ $6$ ‍-ის ჯერადობა ლუწია თუ კენტი?

7) რომელია $h (x) = x^{2} (x - 3)$ ‍-ის გრაფიკი?

მოცემულ ფუნქციას აქვს ორი ნული,

0

და

3

, ასე რომ,

y = h (x)

-ის გრაფიკი გადაკვეთს

x

-რერძს წერტილებში

(0, 0)

და

(3, 0)

რადგან

h

-ის მამრავლებად დაშლისას

x

ორჯერ მეორდება, მისი შესაბამისი ნულის,

0

-ის ჯერადობა იქნება

2

. ორი არის ლუწი, ამიტომ

h

-ის გრაფიკი შეეხება

x

ღერძს

x = 0

წერტილში .

რადგან

h

-ის მამრავლებად დაშლისას

x - 3

ორჯერ მეორდება, მისი შესაბამისი ნულის,

3

-ის ჯერადობა იქნება

1

. ერთი არის კენტი, ამიტომ

h

-ის გრაფიკი გადაკვეთს

x

ღერძს

x = 3

წერტილში.

ერთადერთი გრაფიკი რომელიც ამას ასახავს არის

B

რთული ამოცანა

8*) რომელია $f (x) = - x^{3} + 4 x^{2} - 4 x$ ‍-ის გრაფიკი?

ყურადღება მივაქციოთ, რომ ეს მრავალწევრი ჩაწერილია სტანდარტული ფორმით; ნულების საპოვნელად, ის უნდა დავშალოთ მამრავლებად.

\begin{aligned} f (x) & = - x^{3} + 4 x^{2} - 4 x \\ = - x (x^{2} - 4 x + 4) \\ = - x (x - 2) (x - 2) \\ = - x (x - 2)^{2} \end{aligned}

აქედან ვხედავთ, რომ

0

არის ფუნქციის ნული კენტი ჯერადობით, ხოლო

2

არის ნული ლუწი ჯერადობით. ამგვარად,

f

-ის გრაფიკი გადაკვეთს

x

ღერძს წერტილში

(0, 0)

და შეეხება

x

ღერძს წერტილში

(2, 0)

ერთადერთი ვარიანტი რომელიც ამას ასახავს არის

D

გრაფიკი

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.