If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

ალგებრა (ყველა მასალა)

კურსი: ალგებრა (ყველა მასალა) > თემა 20

გაკვეთილი 3: ელემენტარული მოქედებები მარტიცის რიგებზე
მათემატიკა
ალგებრა (ყველა მასალა)
მატრიცები
ელემენტარული მოქედებები მარტიცის რიგებზე
© 2023 Khan Academyგამოყენების პირობებიკონფიდენციალურობის პოლიტიკაშენიშვნა ქუქი-ჩანაწერებზე

მოქმედებები მატრიცის რიგებზე

Google–ის საკლასო ოთახი
ისწავლეთ მატრიცის რიგებზე ელემენტარული ოპერაციის შესრულება. ეს ოპერაციები დაგვეხმარება რთული წრფივი სისტემების ამოხსნაში (შედარებით) უფრო მარტივად!

მოქმედებები მატრიცის რიგებზე

მოცემული ცხრილი გვაჩვენებს მატრიცის რიგებზე სამ ელემენტარულ ოპეარციას.
მატრიცაში რიგის შეცვლის ოპერაციამაგალითი
ორ ნებისმიერ რიგს გაუცვალეთ ადგილები[253346]→[346253]  (ადგილები გაუცვალეთ 1-ელ და მე-2 რიგებს.)\left[\begin{array}{rr}{\blueD2} & {\blueD5} &{ \blueD{3}} \\ \greenD{3} &\greenD {4} &\greenD {6} \end{array}\right]\rightarrow\left[\begin{array}{rr} \greenD{3} & \greenD{4} &\greenD {6}\\\blueD{2} &\blueD {5} &\blueD{ 3} \end{array}\right]\\\\~~\\ \\ \small{\text{(ადგილები გაუცვალეთ 1-ელ და მე-2 რიგებს.)}}
რიგის გამრავლდება ნულის არატოლ მუდმივაზე[253346]→[3⋅23⋅53⋅3346] (1-ლი რიგის წევრები უბრალოდ 3-ჯერ გაიზრდებიან.)\left[\begin{array}{rr}{\maroonD2} & {\maroonD5} &{ \maroonD3} \\ {3} & {4} & {6} \end{array}\right]\rightarrow\left[\begin{array}{rrr}{\goldD3 \cdot \maroonD2} & {\goldD3 \cdot \maroonD5} &{ \goldD3 \cdot \maroonD3} \\ { 3} & { 4} & { 6} \end{array}\right] \\~\\ \small{\text{(1-ლი რიგის წევრები უბრალოდ 3-ჯერ გაიზრდებიან.)}}
შეკრიბეთ რიგები[253346]→[2533+24+56+3]  (მე-2 რიგი გახდება მე-2 და 1-ლი რიგების ჯამის ტოლი.)\left[\begin{array}{rr}{\tealD2} &\tealD5 &{ \tealD{3}} \\ \purpleC{3} &\purpleC {4} &\purpleC {6} \end{array}\right]\rightarrow\left[\begin{array}{rrr} {\tealD2} &\tealD5&{\tealD3}\\\purpleC{3}+\tealD2 & \purpleC{4}+\tealD5 &\purpleC{6} +\tealD3\end{array}\right]\\~~\\ \small{\text{(მე-2 რიგი გახდება მე-2 და 1-ლი რიგების ჯამის ტოლი.)}}
მატრიცის რიგებზე მოქმედებები გვეხმარება განტოლებათა სისტემების ამოხსნაში, მაგრამ სანამ გავიგებთ, რატომ, მანამდე უბრალოდ გავივარჯიშოთ ეს უნარები.

ნებისმიერ ორ რიგს გაუცვალეთ ადგილები

მაგალითი

შეასრულეთ მოქმედება რიგებზე R, start subscript, 1, end subscript, \leftrightarrow, R, start subscript, 2, end subscript მოცემულ მატრიცაში.
[483245712]\left[\begin{array} {rrr} 4 & 8 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 7 & 1 & 2 \end{array} \right]

ამოხსნა

R, start subscript, start color #11accd, 1, end color #11accd, end subscript, \leftrightarrow, R, start subscript, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, end subscript ნიშნავს, რომ ადგილები უნდა გავუცვალოთ რიგებს start color #11accd, 1, end color #11accd და start color #1fab54, 2, end color #1fab54.
ანუ, მატრიცა [483245712]\left[\begin{array} {rrr} \blueD4 & \blueD8 & \blueD{3} \\ \greenD2 & \greenD4 & \greenD5 \\ 7 & 1 & 2 \end{array} \right] გახდება [245483712]\left[\begin{array} {rrr} \greenD2 & \greenD4 & \greenD5 \\ \blueD4 & \blueD8 & \blueD{3} \\ 7 & 1 & 2 \end{array} \right] .
ზოგჯერ ამ ცვლილების აღმნიშვნელ შემდეგ ჩანაწერს იხილავთ.
[483245712]→R1↔R2[245483712]\left[\begin{array} {rrr} 4 & 8 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 7 & 1 & 2 \end{array} \right] \xrightarrow{{R_1\leftrightarrow R_2}}\left[\begin{array} {rrr} 2 & 4 & 5 \\ 4 &8 & 3 \\ 7 & 1 & 2 \end{array} \right]
მიაქციეთ ყურადღება, როგორ გაუცვალა ადგილი 1-ლმა რიგმა მე-2-ს და მე-2 რიგმა - 1-ელს. მესამე რიგი არ შეცვლილა.
ამოცანა 1
შეასრულეთ R, start subscript, 2, end subscript, \leftrightarrow, R, start subscript, 3, end subscript მოქმედება რიგებზე შემდეგ მატრიცაში.
[7296411312]\left[\begin{array} {rrr} 7 & 2 & 9 \\ 6 & 4 & 1 \\ 1 & 3 & 12 \end{array} \right]

ამოცანა 2
შეასრულეთ R, start subscript, 3, end subscript, \leftrightarrow, R, start subscript, 1, end subscript მოქმედება რიგებზე შემდეგ მატრიცაში.
[211−572180−410]\left[\begin{array} {rrr} 2 & 11 & -5 \\ 7 & 2 & 18 \\ 0& -4 & 10 \end{array} \right]

რიგი გაამრავლეთ ნულის არატოლ მუდმივაზე

მაგალითი

შეასრულეთ მოქმედება რიგებზე 3, R, start subscript, 2, end subscript, right arrow, R, start subscript, 2, end subscript შემდეგ მატრიცაზე.
[661230459]\left[\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right]

ამოხსნა

start color #ca337c, 3, end color #ca337c, R, start subscript, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, end subscript, right arrow, R, start subscript, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, end subscript ნიშნავს, რომ start color #e07d10, start text, მ, ე, negative, end text, 2, end color #e07d10 რიგი უნდა შევცვალოთ მისი და start color #ca337c, 3, end color #ca337c-ის ნამრავლით.
[661230459]\left[\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ \goldD{2} & \goldD{3} & \goldD{0} \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right] მატრიცა გახდება [6613⋅23⋅33⋅0459]=[661690459]\left[\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ \maroonD{3}\cdot \goldD{2} &\maroonD{3}\cdot \goldD{3} &\maroonD{3}\cdot \goldD{0} \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right] =\left[\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ 6 & 9 & {0} \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right]
მატრიცის რიგზე ამ მოქმედების აღსაწერად ხშირად შემდეგ ჩანაწერს ვხედავთ:
[661230459]→3R2→R2[661690459]\left[\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right] \xrightarrow{\Large{3R_2\rightarrow R_2}}\left[\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ 6 & 9 & {0} \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right]
მიაქციეთ ყურადღება, რომ მეორე რიგი შეცვალა მეორე რიგის გასამმაგებულმა მნიშვნელობამ. დანარჩენი რიგები უცვლელად გადავიტანეთ.
ამოცანა 3
შეასრულეთ 2, R, start subscript, 1, end subscript, right arrow, R, start subscript, 1, end subscript მოქმედება რიგებზე შემდეგ მატრიცაში.
[26517480]\left[\begin{array} {ccc} 2 & 6 & 5 & 1 \\ 7 & 4 & 8 & 0 \end{array} \right]

ამოცანა 4
შეასრულეთ minus, 5, R, start subscript, 3, end subscript, right arrow, R, start subscript, 3, end subscript მოქმედება რიგებზე შემდეგ მატრიცაში.
[−2174−36]\left[\begin{array} {rr} -2 & 1 \\ 7 & 4 \\ -3&6 \end{array} \right]

ორი რიგის შეკრიბეთ

მაგალითი

შეასრულეთ მოქმედება რიგებზე R, start subscript, 1, end subscript, plus, R, start subscript, 2, end subscript, right arrow, R, start subscript, 2, end subscript o შემდეგ მატრიცაში.
[234081]\left[\begin{array} {rrr} 2 & 3 & 4\\ 0 & 8 & 1 \end{array} \right]

ამოხსნა

R, start subscript, start color #01a995, 1, end color #01a995, end subscript, plus, R, start subscript, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, end subscript, right arrow, R, start subscript, 2, end subscript ნიშნავს, რომ start text, მ, ე, negative, end text, 2 რიგი უნდა შევცვალოთ start color #01a995, 1, start text, negative, ლ, ი, end text, end color #01a995 და start color #aa87ff, start text, მ, ე, negative, end text, 2, end color #aa87ff რიგების ჯამით.
[234081]\left[\begin{array} {rrr} \tealD2 & \tealD{3} &\tealD{ 4}\\ \purpleC0 & \purpleC8 & \purpleC1 \end{array} \right] მატრიცა გახდება [2342+03+84+1]=[2342115]\left[\begin{array} {lll} \tealD2 &{\tealD3} &{ \tealD4}\\ \tealD2+\purpleC0 & \tealD3+\purpleC8 & \tealD4 +\purpleC1 \end{array} \right]= \left[\begin{array} {rrr} 2 & 3 & 4\\ 2 & 11 & 5 \end{array} \right]
მატრიცის რიგზე ამ მოქმედების აღსაწერად შეგვიძლია, გავაკეთოთ შემდეგი ჩანაწერი:
[234081]→R1+R2→R2[2342115]\left[\begin{array} {rrr} 2 & 3 & 4\\ 0 & 8 & 1 \end{array} \right] \xrightarrow{\Large{R_1+R_2\rightarrow R_2}} \left[\begin{array} {rrr} 2 & 3 & 4\\ 2 & 11 & 5 \end{array} \right]
მიაქციეთ ყურადღება, რომ 1-ლი და მე-2 რიგების ჯამმა შეცვალა მე-2 რიგი. სხვა რიგი უცვლელად გადავიტანეთ.
ამოცანა 5
შეასრულეთ R, start subscript, 1, end subscript, plus, R, start subscript, 3, end subscript, right arrow, R, start subscript, 3, end subscript მოქმედება რიგებზე შემდეგ მატრიცაში.
[−16−2−350721]\left[\begin{array} {rrr} -1 & 6 & -2 \\ -3 & 5 & 0 \\ 7 & 2 & 1 \end{array} \right]

ამოცანა 6
შეასრულეთ R, start subscript, 2, end subscript, plus, R, start subscript, 3, end subscript, right arrow, R, start subscript, 2, end subscript მოქმედება რიგებზე შემდეგ მატრიცაში.
[−41297421510]\left[\begin{array} {rrr} -4 & 12 & 9 \\ 7 & 4 & 2 \\ 1 & 5 & 10 \end{array} \right]

რთული ამოცანა
შეასრულეთ R, start subscript, 1, end subscript, plus, 2, R, start subscript, 3, end subscript, right arrow, R, start subscript, 1, end subscript მოქმედება რიგებზე შემდეგ მატრიცაში.
[−573−2−1488−6]\left[\begin{array} {rrr} -5 & 7 & 3 \\ -2 & -1 & 4 \\ 8 & 8 & -6 \end{array} \right]

განტოლებათა სისტემები და მოქმედებები მატრიცის რიგებზე

გაიხსენეთ, რომ გაფართოებულ მატრიცაში თითოეული რიგი ასახავს სისტემის ერთ განტოლებას და თითოეული სვეტი წარმოადგენს ცვლადს ან მუდმივ წევრს.
მაგალითად, მარცხენივ მოცემული სისტემა შეესაბამება მარჯვნივ მოცემულ გაფართოებულ მატრიცას.
სისტემამატრიცა
1x+3y=52x+5y=6\begin{aligned} 1x+3y &=5\\2x+5y &=6\end{aligned}[135256]\left[\begin{array}{rr}1&3&5\\2&5&6\end{array}\right]
გაფართოებულ მატრიცებთან მუშაობისას ჩვენ შეგვიძლია, შევასრულოთ მატრიცის რიგებზე ნებისმიერი ოპერაცია ახალი გაფართოებული მატრიცის შესაქმნელად, რომელიც განტოლებათა ტოლფას სისტემას მოგვცემს. მოდი, დავაკვირდეთ, რატომ.

ნებისმიერი ორი რიგის გაცვლა

ტოლფასი სისტემებიგაფართოებული მატრიცა
1x+3y=52x+5y=6\begin{aligned} \blueD1x+\blueD3y &=\blueD{5} \\\greenD{2}x+\greenD{{5}}y &=\greenD{6} \end{aligned} [135256]\left[\begin{array}{rr}1&3&5\\2&5&6\end{array}\right]
\downarrow
2x+5y=61x+3y=5\begin{aligned}\greenD{2}x+\greenD{{5}}y &=\greenD{6}\\ \blueD1x+\blueD3y &=\blueD{5} \end{aligned}[256135]\left[\begin{array}{rr}2&5&6\\1&3&5\end{array}\right]
ცხრილში მოცემული ორი სისტემა ტოლფასია იმიტომ, რომ განტოლებათა თანმიმდევრობას მნიშვნელობა არ აქვს. ეს ნიშნავს, რომ როცა სისტემის ამოსახსნელად გაფართოებული მატრიცის სისტემას ვიყენებთ, ჩვენ შეგვიძლია, ადგილები გავუცვლაოთ ნებისმიერ ორ რიგს.

რიგის გამრავლება ნულის არატოლ მუდმივაზე

ტოლობის ორივე მხარე შეგვიძლია, გავამრავლოთ ერთსა და იმავე, ნულის არატოლ მუდმივაზე ტოლფასი ტოლობის მისაღებად.
განტოლებათა სისტემის ამოხსნისას ამას ხშირად ვაკეთებთ ცვლადების გამოსარიცხად. იმის გამო, რომ ორი განტოლება ტოლფასია, ვხედავთ, რომ ორი სისტემაც ტოლფასია.
ტოლფასი სისტემებიგაფართოებული მატრიცა
1x+3y=52x+5y=6\begin{aligned} \maroonD1x+\maroonD3y &=\maroonD5 \\2x+5y &=6\end{aligned} [135256]\left[\begin{array}{rr}\maroonD1 & \maroonD3 &\maroonD5 \\2&5&6\end{array}\right]
\downarrow
−2x+(−6)y=−102x+(−)5y=6\begin{aligned}\goldD{-2}x+(\goldD{-6})y &=\goldD{-10} \\2x+\phantom{(-)}5y &=6\end{aligned} [−2−6−10256]\left[\begin{array}{rr}\goldD{-2}&\goldD{-6}& \goldD{-10}\\2&5&6\end{array}\right]
ეს ნიშნავს, რომ სისტემის ამოსახსნელად გაფართოებული მატრიცის გამოყენებისას ჩვენ შეგვიძლია ნებისმიერი რიგის გამრავლება ნულის არატოლ მუდმივაზე.

ორი რიგის შეკრება

ჩვენ ვიცით, რომ ტოლობის ორივე მხარეს შეგვიძლია მივუმატოთ ერთი და იგივე მნიშვნელობა ტოლფასი ტოლობის მისაღებად.
ანუ, თუ A, equals, B და C, equals, D, მაშინ A, plus, C, equals, B, plus, D.
ამას განტოლებათა სისტემის ამოხსნისას ხშირად ვაკეთებთ ხოლმე. მაგალითად, ამ სისტემაში −2x−6y=−102x+5y=6\begin{aligned}-2x-6y &=-10 \\ {2}x+{{5}}y &={6}\end{aligned}, შეგვიძლია, შევკრიბოთ განტოლებები და მივიღოთ minus, y, equals, minus, 4.
ახალი განტოლების თავდაპირველი განტოლებებიდან ნებისმიერთან დაჯგუფებით ახალ ტოლფას განტოლებებს ვიღებთ.
ტოლფასი სისტემებიგაფართოებული მატრიცა
−2x−6y=−102x+5y=6\begin{aligned} -2x-6y &=-10\\2x+5y &=6\end{aligned} [−2−6−10256]\left[\begin{array}{rrr}-2&-6&-10\\2&5&6\end{array}\right]
\downarrow
−2x+(−6)y=−100x+(−1)y=−4\begin{aligned}-2x+(-6)y &=-10\\\purpleC0x+(\purpleC{-1})y &=\purpleC{-4} \end{aligned}[−2−6−100−1−4]\left[\begin{array}{rr}-2&-6&-10\\0&-1&-4\end{array}\right]
ანუ, როცაგაფართოებულ მატრიცას სისტემის ამოსახსნელად ვიყენებთ, ჩვენ შეგვიძლია, შევკრიბოთ რიგები.
დასკვნითი გამოწვევის ამოცანა
[2210−2−33]\left[\begin{array}{rrr}{2} & {2} &{ 10} \\ {-2} & {-3} & {3} \end{array}\right] მატრიცაზე მიმდევრობით სრულდება მოქმედებები რიგებზე. ქვემოთ მოცემული ცხრილი აღწერს მიმდევრობაში თითოეული ნაბიჯის შედეგს.
მოქმედებები რიგებზე დაალაგეთ თითოეული ნაბიჯის მიხედვით.
თავდაპირველი მატრიცა: [2210−2−33]\left[\begin{array}{rrr}{2} & {2} &{ 10} \\ {-2} & {-3} & {3} \end{array}\right]
1

მიაქციეთ ყურადღება, რომ თავდაპირველი მატრიცა შეესაბამება 2x+2y=10−2x−3y=3\begin{aligned} 2x+2y &={10} \\ {-2}x-3y &={ 3} \end{aligned} სისტემას, მაშინ, როცა საბოლოო მატრიცა შეესაბამება x=18y=−13\begin{aligned} x&=18 \\ y&=-13 \end{aligned} სისტემას, რომელიც უბრალოდ ამონახსნებს გვაჩვენებს.
სისტემა მთლიანად ამოიხსნა გაფართოებული მატრიცებითა და მოქმედებებით რიგებზე!

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა
პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.