ძირითადი მასალა

კურსი: ალგებრა (ყველა მასალა) > თემა 20

გაკვეთილი 3: ელემენტარული მოქედებები მარტიცის რიგებზე

მოქმედებები მატრიცის რიგებზე

ისწავლეთ მატრიცის რიგებზე ელემენტარული ოპერაციის შესრულება. ეს ოპერაციები დაგვეხმარება რთული წრფივი სისტემების ამოხსნაში (შედარებით) უფრო მარტივად!

მოქმედებები მატრიცის რიგებზე

მოცემული ცხრილი გვაჩვენებს მატრიცის რიგებზე სამ ელემენტარულ ოპეარციას.

მატრიცაში რიგის შეცვლის ოპერაცია	მაგალითი
ორ ნებისმიერ რიგს გაუცვალეთ ადგილები	$\begin{aligned} [\begin{array}{rr} 2 & 5 & 3 \\ 3 & 4 & 6 \end{array}] \to [\begin{array}{rr} 3 & 4 & 6 \\ 2 & 5 & 3 \end{array}] \\ (ადგილები გაუცვალეთ 1-ელ და მე-2 რიგებს.) \end{aligned}$ ‍
რიგის გამრავლდება ნულის არატოლ მუდმივაზე	$\begin{aligned} [\begin{array}{rr} 2 & 5 & 3 \\ 3 & 4 & 6 \end{array}] \to [\begin{array}{rrr} 3 \cdot 2 & 3 \cdot 5 & 3 \cdot 3 \\ 3 & 4 & 6 \end{array}] \\ (1-ლი რიგის წევრები უბრალოდ 3-ჯერ გაიზრდებიან.) \end{aligned}$ ‍
შეკრიბეთ რიგები	$\begin{aligned} [\begin{array}{rr} 2 & 5 & 3 \\ 3 & 4 & 6 \end{array}] \to [\begin{array}{rrr} 2 & 5 & 3 \\ 3 + 2 & 4 + 5 & 6 + 3 \end{array}] \\ (მე-2 რიგი გახდება მე-2 და 1-ლი რიგების ჯამის ტოლი.) \end{aligned}$ ‍

მატრიცის რიგებზე მოქმედებები გვეხმარება განტოლებათა სისტემების ამოხსნაში, მაგრამ სანამ გავიგებთ, რატომ, მანამდე უბრალოდ გავივარჯიშოთ ეს უნარები.

ნებისმიერ ორ რიგს გაუცვალეთ ადგილები

მაგალითი

შეასრულეთ მოქმედება რიგებზე

R_{1} \leftrightarrow R_{2}

მოცემულ მატრიცაში.

[\begin{array}{rrr} 4 & 8 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 7 & 1 & 2 \end{array}]

ამოხსნა

R_{1} \leftrightarrow R_{2}

ნიშნავს, რომ ადგილები უნდა გავუცვალოთ რიგებს

1

და

2

ანუ, მატრიცა

[\begin{array}{rrr} 4 & 8 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 7 & 1 & 2 \end{array}]

გახდება

[\begin{array}{rrr} 2 & 4 & 5 \\ 4 & 8 & 3 \\ 7 & 1 & 2 \end{array}]

ზოგჯერ ამ ცვლილების აღმნიშვნელ შემდეგ ჩანაწერს იხილავთ.

[\begin{array}{rrr} 4 & 8 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 7 & 1 & 2 \end{array}] \overset{R_{1} \leftrightarrow R_{2}}{\to} [\begin{array}{rrr} 2 & 4 & 5 \\ 4 & 8 & 3 \\ 7 & 1 & 2 \end{array}]

მიაქციეთ ყურადღება, როგორ გაუცვალა ადგილი

1

-ლმა რიგმა მე-

2

-ს და მე-

2

რიგმა -

1

-ელს. მესამე რიგი არ შეცვლილა.

ამოცანა 1

შეასრულეთ $R_{2} \leftrightarrow R_{3}$ ‍ მოქმედება რიგებზე შემდეგ მატრიცაში.

[\begin{array}{rrr} 7 & 2 & 9 \\ 6 & 4 & 1 \\ 1 & 3 & 12 \end{array}]

ამოცანა 2

შეასრულეთ $R_{3} \leftrightarrow R_{1}$ ‍ მოქმედება რიგებზე შემდეგ მატრიცაში.

[\begin{array}{rrr} 2 & 11 & - 5 \\ 7 & 2 & 18 \\ 0 & - 4 & 10 \end{array}]

რიგი გაამრავლეთ ნულის არატოლ მუდმივაზე

მაგალითი

შეასრულეთ მოქმედება რიგებზე

3 R_{2} \to R_{2}

შემდეგ მატრიცაზე.

[\begin{array}{rrr} 6 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}]

ამოხსნა

3 R_{2} \to R_{2}

ნიშნავს, რომ

მე- 2

რიგი უნდა შევცვალოთ მისი და

3

-ის ნამრავლით.

[\begin{array}{rrr} 6 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}]

მატრიცა გახდება

[\begin{array}{rrr} 6 & 6 & 1 \\ 3 \cdot 2 & 3 \cdot 3 & 3 \cdot 0 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}] = [\begin{array}{rrr} 6 & 6 & 1 \\ 6 & 9 & 0 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}]

მატრიცის რიგზე ამ მოქმედების აღსაწერად ხშირად შემდეგ ჩანაწერს ვხედავთ:

[\begin{array}{rrr} 6 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}] \overset{3 R_{2} \to R_{2}}{\to} [\begin{array}{rrr} 6 & 6 & 1 \\ 6 & 9 & 0 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}]

მიაქციეთ ყურადღება, რომ მეორე რიგი შეცვალა მეორე რიგის გასამმაგებულმა მნიშვნელობამ. დანარჩენი რიგები უცვლელად გადავიტანეთ.

ამოცანა 3

შეასრულეთ $2 R_{1} \to R_{1}$ ‍ მოქმედება რიგებზე შემდეგ მატრიცაში.

[\begin{array}{ccc} 2 & 6 & 5 & 1 \\ 7 & 4 & 8 & 0 \end{array}]

ამოცანა 4

შეასრულეთ $- 5 R_{3} \to R_{3}$ ‍ მოქმედება რიგებზე შემდეგ მატრიცაში.

[\begin{array}{rr} - 2 & 1 \\ 7 & 4 \\ - 3 & 6 \end{array}]

ორი რიგის შეკრიბეთ

მაგალითი

შეასრულეთ მოქმედება რიგებზე

R_{1} + R_{2} \to R_{2}

o შემდეგ მატრიცაში.

[\begin{array}{rrr} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 8 & 1 \end{array}]

ამოხსნა

R_{1} + R_{2} \to R_{2}

ნიშნავს, რომ

მე- 2

რიგი უნდა შევცვალოთ

1 -ლი

და

მე- 2

რიგების ჯამით.

[\begin{array}{rrr} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 8 & 1 \end{array}]

მატრიცა გახდება

[\begin{array}{lll} 2 & 3 & 4 \\ 2 + 0 & 3 + 8 & 4 + 1 \end{array}] = [\begin{array}{rrr} 2 & 3 & 4 \\ 2 & 11 & 5 \end{array}]

მატრიცის რიგზე ამ მოქმედების აღსაწერად შეგვიძლია, გავაკეთოთ შემდეგი ჩანაწერი:

[\begin{array}{rrr} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 8 & 1 \end{array}] \overset{R_{1} + R_{2} \to R_{2}}{\to} [\begin{array}{rrr} 2 & 3 & 4 \\ 2 & 11 & 5 \end{array}]

მიაქციეთ ყურადღება, რომ

1

-ლი და მე-

2

რიგების ჯამმა შეცვალა მე-

2

რიგი. სხვა რიგი უცვლელად გადავიტანეთ.

ამოცანა 5

შეასრულეთ $R_{1} + R_{3} \to R_{3}$ ‍ მოქმედება რიგებზე შემდეგ მატრიცაში.

[\begin{array}{rrr} - 1 & 6 & - 2 \\ - 3 & 5 & 0 \\ 7 & 2 & 1 \end{array}]

ამოცანა 6

შეასრულეთ $R_{2} + R_{3} \to R_{2}$ ‍ მოქმედება რიგებზე შემდეგ მატრიცაში.

[\begin{array}{rrr} - 4 & 12 & 9 \\ 7 & 4 & 2 \\ 1 & 5 & 10 \end{array}]

რთული ამოცანა

შეასრულეთ $R_{1} + 2 R_{3} \to R_{1}$ ‍ მოქმედება რიგებზე შემდეგ მატრიცაში.

[\begin{array}{rrr} - 5 & 7 & 3 \\ - 2 & - 1 & 4 \\ 8 & 8 & - 6 \end{array}]

განტოლებათა სისტემები და მოქმედებები მატრიცის რიგებზე

გაიხსენეთ, რომ გაფართოებულ მატრიცაში თითოეული რიგი ასახავს სისტემის ერთ განტოლებას და თითოეული სვეტი წარმოადგენს ცვლადს ან მუდმივ წევრს.

მაგალითად, მარცხენივ მოცემული სისტემა შეესაბამება მარჯვნივ მოცემულ გაფართოებულ მატრიცას.

სისტემა	მატრიცა
$\begin{aligned} 1 x + 3 y & = 5 \\ 2 x + 5 y & = 6 \end{aligned}$ ‍	$[\begin{array}{rr} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & 6 \end{array}]$ ‍

გაფართოებულ მატრიცებთან მუშაობისას ჩვენ შეგვიძლია, შევასრულოთ მატრიცის რიგებზე ნებისმიერი ოპერაცია ახალი გაფართოებული მატრიცის შესაქმნელად, რომელიც განტოლებათა ტოლფას სისტემას მოგვცემს. მოდი, დავაკვირდეთ, რატომ.

ნებისმიერი ორი რიგის გაცვლა

ტოლფასი სისტემები	გაფართოებული მატრიცა
$\begin{aligned} 1 x + 3 y & = 5 \\ 2 x + 5 y & = 6 \end{aligned}$ ‍	$[\begin{array}{rr} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & 6 \end{array}]$ ‍
	$↓$ ‍
$\begin{aligned} 2 x + 5 y & = 6 \\ 1 x + 3 y & = 5 \end{aligned}$ ‍	$[\begin{array}{rr} 2 & 5 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \end{array}]$ ‍

ცხრილში მოცემული ორი სისტემა ტოლფასია იმიტომ, რომ განტოლებათა თანმიმდევრობას მნიშვნელობა არ აქვს. ეს ნიშნავს, რომ როცა სისტემის ამოსახსნელად გაფართოებული მატრიცის სისტემას ვიყენებთ, ჩვენ შეგვიძლია, ადგილები გავუცვლაოთ ნებისმიერ ორ რიგს.

რიგის გამრავლება ნულის არატოლ მუდმივაზე

ტოლობის ორივე მხარე შეგვიძლია, გავამრავლოთ ერთსა და იმავე, ნულის არატოლ მუდმივაზე ტოლფასი ტოლობის მისაღებად.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნისას ამას ხშირად ვაკეთებთ ცვლადების გამოსარიცხად. იმის გამო, რომ ორი განტოლება ტოლფასია, ვხედავთ, რომ ორი სისტემაც ტოლფასია.

ტოლფასი სისტემები	გაფართოებული მატრიცა
$\begin{aligned} 1 x + 3 y & = 5 \\ 2 x + 5 y & = 6 \end{aligned}$ ‍	$[\begin{array}{rr} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & 6 \end{array}]$ ‍
	$↓$ ‍
$\begin{aligned} - 2 x + (- 6) y & = - 10 \\ 2 x + 5 y & = 6 \end{aligned}$ ‍	$[\begin{array}{rr} - 2 & - 6 & - 10 \\ 2 & 5 & 6 \end{array}]$ ‍

ეს ნიშნავს, რომ სისტემის ამოსახსნელად გაფართოებული მატრიცის გამოყენებისას ჩვენ შეგვიძლია ნებისმიერი რიგის გამრავლება ნულის არატოლ მუდმივაზე.

ორი რიგის შეკრება

ჩვენ ვიცით, რომ ტოლობის ორივე მხარეს შეგვიძლია მივუმატოთ ერთი და იგივე მნიშვნელობა ტოლფასი ტოლობის მისაღებად.

ანუ, თუ

A = B

და

C = D

, მაშინ

A + C = B + D

ამას განტოლებათა სისტემის ამოხსნისას ხშირად ვაკეთებთ ხოლმე. მაგალითად, ამ სისტემაში

\begin{aligned} - 2 x - 6 y & = - 10 \\ 2 x + 5 y & = 6 \end{aligned}

, შეგვიძლია, შევკრიბოთ განტოლებები და მივიღოთ

- y = - 4

ახალი განტოლების თავდაპირველი განტოლებებიდან ნებისმიერთან დაჯგუფებით ახალ ტოლფას განტოლებებს ვიღებთ.

თავდაპირველი სისტემიდან განტოლებების შეკრებით ვიღებთ

- y = - 4

-ს ან

y = 4

-ს. მაგრამ სხვა განტოლებები არ გამქრალა სისტემიდან, მათი გამოყენება

x

-ის საპოვნელად გვჭირდება.

ნებისმიერი მათგანის არჩევა ტოლფას სისტემას მოგვცემს. მოცემულ ცხრილში ჩვენ შევინახეთ პირველი განტოლება.

ტოლფასი სისტემები	გაფართოებული მატრიცა
$\begin{aligned} - 2 x - 6 y & = - 10 \\ 2 x + 5 y & = 6 \end{aligned}$ ‍	$[\begin{array}{rrr} - 2 & - 6 & - 10 \\ 2 & 5 & 6 \end{array}]$ ‍
	$↓$ ‍
$\begin{aligned} - 2 x + (- 6) y & = - 10 \\ 0 x + (- 1) y & = - 4 \end{aligned}$ ‍	$[\begin{array}{rr} - 2 & - 6 & - 10 \\ 0 & - 1 & - 4 \end{array}]$ ‍

ანუ, როცაგაფართოებულ მატრიცას სისტემის ამოსახსნელად ვიყენებთ, ჩვენ შეგვიძლია, შევკრიბოთ რიგები.

დასკვნითი გამოწვევის ამოცანა

[\begin{array}{rrr} 2 & 2 & 10 \\ - 2 & - 3 & 3 \end{array}]

მატრიცაზე მიმდევრობით სრულდება მოქმედებები რიგებზე. ქვემოთ მოცემული ცხრილი აღწერს მიმდევრობაში თითოეული ნაბიჯის შედეგს.

მოქმედებები რიგებზე დაალაგეთ თითოეული ნაბიჯის მიხედვით.

თავდაპირველი მატრიცა:

[\begin{array}{rrr} 2 & 2 & 10 \\ - 2 & - 3 & 3 \end{array}]

1

მიაქციეთ ყურადღება, რომ თავდაპირველი მატრიცა შეესაბამება

\begin{aligned} 2 x + 2 y & = 10 \\ - 2 x - 3 y & = 3 \end{aligned}

სისტემას, მაშინ, როცა საბოლოო მატრიცა შეესაბამება

\begin{aligned} x & = 18 \\ y & = - 13 \end{aligned}

სისტემას, რომელიც უბრალოდ ამონახსნებს გვაჩვენებს.

სისტემა მთლიანად ამოიხსნა გაფართოებული მატრიცებითა და მოქმედებებით რიგებზე!

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.