ძირითადი მასალა

კურსი: ელექტროინჟინერია > თემა 5

გაკვეთილი 2: ველები, პოტენციალი და დაძაბულობა

სიბრტყითი მუხტი

რთული მაგალითი: თანაბრად დამუხტული უსასრულო სიბრტყის ელექტრული ველი.

მაგალითი: ელექტრული ველი დამუხტული სიბრტყის სიახლოვეს

ახლა კიდევ ერთ საინტერესო მუხტების კონფიგურაციას განვიხილავთ — ელექტრულ ველს დამუხტული სიბრტყის სიახლოვეს.

შედეგი გვიჩვენებს, რომ უსასრულო დამუხტული სიბრტყის ელექტრული ველი სიბრტყიდან დაშორებისგან დამოუკიდებელია (ელექტრული ველი არ იკლებს).

წარმოიდგენეთ, რომ გვაქვს უსასრულო დამუხტული სიბრტყე.

სიბრტყეზე განთავსებული მთლიანი მუხტი, რა თქმა უნდა, უსასრულოა, თუმცა ფართობზე გადანაწილებული მუხტის რაოდენობის ასახვისთვის გამოსადეგი პარამეტრი მუხტის სიმკვრივეა,

σ (C / m^{2})

რა არის სიბრტყის ელექტრული ველი სიბრტყიდან $a$ ‍ მანძილის დაშორებით?

ცვლადების აღსანიშნად კონფიგურაციის სიმეტრიულობას გამოვიყენებთ:

$a$ ‍ სიბრტყის მიმართ პერპენდიკულარული მონაკვეთია, რომელიც სიბრტყიდან სატესტო მუხტამდე, $q$ ‍-მდე, მიდის.
წარმოიდგინეთ დამუხტული რკალი სიბრტყეზე, რომლის ცენტრი $a$ ‍-სა და სიბრტყის კვეთაა. რკალის რადიუსი არის $r$ ‍ და მას უმცირესი სისქე $d r$ ‍ აქვს.
$d Q$ ‍ რკალის რეგიონის პატარა მონაკვეთზე განლაგებული უმცირესი მუხტია.
მონაკვეთი $ℓ$ ‍ $d Q$ ‍-დან სატესტო მუხტისკენაა მიმართული.
$d E$ ‍ ელექტრული ველია $q$ ‍-ს ადგილას, რომელსაც $d Q$ ‍ მუხტი წარმოშობს.

q

-ს ადგილას

d Q

-სგან გამოწვეული ელექტრული ველი ვიცით; ეს წერტილოვანი მუხტის ელექტრული ველის განმარტებაა.

d E = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{d Q}{ℓ^{2}}

მთლიანი სიბრტყის ელექტრული ველის გასაგებად ორი ინტეგრალის გამოთვლა მოგვიწევს:

პირველი ინტეგრირებისას $d Q$ ‍ რკალის გარშემო დაჯამდება რკალის მიერ შექმნილი ელექტრული ველის მისაღებად,
მეორე ინტეგრალი კი ყველა შესაძლო რკალს დააჯამებს (ნული რადიუსიდან უსასრულო რადიუსამდე).

ერთი რკალის ელექტრული ველის გამოთვლა

რკალი პირველი ინტეგრალის მარტივად გამოთვლაში გვეხმარება. რკალის ყველა მონაკვეთი

ℓ

მანძილით

q

-დან თანაბარდაშორებულია, ანუ ყოველი

d Q

q

-ზე ერთსა და იმავე მაგნიტუდის ველს წარმოშობს. სიმეტრიის გამოყენებით ვიგებთ, რომ ყველა

d Q

-ს წვლილის დაჯამებით მიღებული ელექტრული ველი

a

მონაკვეთის გასწვრივაა მიმართული. რატომ? იმიტომ, რომ ველის ყოველი დახრილი კომპონენტი, რომელიც

d Q

-დან წარმოიშობა, ბათილდება მის გადაღმა არსებული

d Q

-ს ელექტრული ველით. პირდაპირ „

a

-მიმართულებით“ მიმართული ელექტრული ველის ნაწილი

d E_{a}

d E

-სთანაა დაკავშირებული,

თუ ცოტა განსხვავებული პერსპექტივიდან შევხედავთ სიბრტყესა და სატესტო მუხტს, სიმეტრიის არგუმენტი უფრო ნათელი ხდება. ამ დიაგრამებზე მარჯვენა მხარეს უსასრულო სიბრტყე კიდის მხრიდანაა ნაჩვენები. ამ პერსპექტივით რკალი ლურჯ ვერტიკალურ მონაკვეთს წააგავს.

$d Q_{1}$ ‍ რკალის ზემოთ განლაგებული მცირე მუხტია.
$d Q_{2}$ ‍ სიმეტრიულად მეორე მხარეს, რკალის ქვედა ნაწილში, განლაგებული უნცირესი მუხტია.
მუხტების, $d Q$ ‍-ს მიერ გამოწვეული ელექტრული ველებია $d E_{1}$ ‍ და $d E_{2}$ ‍.

მუხტი

q

ორივესგან,

d Q_{1}

-სა და

d Q_{2}

-დან, იმავე მანძილი

ℓ

-თ არის დაშორებული, შესაბამისად,

d E_{1}

-სა და

d E_{2}

-ს იგივე მაგნიტუდა (მაგრამ განსხვავებული მიმართულება) აქვს.

ელექტრული ველის ვექტორები შეგვიძლია ორთოგონალურ კომპონენტებად დავანაწევროთ, "

a

" და "

r

" მიმართულებით. ორი ელექტრული ველის ვექტორის "

r

" კომპონენტებს თანაბარი მაგნიტუდა აქვთ და საპირისპიროდ არიან მიმართული. შესაბამისად, ისინი ბათილდებიან და ჯამური ელექტრული ველი "

r

" მიმართულებით ნულია.

რაც გვრჩება არის ელექტრული ველის „

a

“ მიმართულების კომპონენტები. ამ კომპონენტებს იგივე მაგნიტუდა აქვთ და იმავე მიმართულებით არიან მიმართული. შესაბამისად, ისინი ერთმანეთს „აძლიერებენ“ და გვაძლევენ

d E_{1 + 2}

-ს.

შემდეგი დიაგრამა შედარებით მარტივია. მხოლოდ ერთ

d E

-ს განვიხილავთ და სუფიქსს 1 აღარ გადმოვიტანთ. ნათლად ვხედავთ ელექტრული ველის ორ ორთოგონალურ კომპონენტს,

d E_{r}

და

d E_{a}

-ს.

მსგავსი სამკუთხედების გამოყენებით ველის

a

მიმართულების კომპონენტს,

d E_{a}

-ს, იგივე თანაფარდობა აქვს

d E

-სთან, რაც მანძილ

a

-ს

ℓ

-თან. კოსინუსის განმარტებიდან,

\frac{a}{ℓ} = \cos θ

მსგავსი სამკუთხედების გამოყენებით, ეს ნიშნავს, რომ,

\frac{d E_{a}}{d E} = \cos θ

ანუ, ელექტრული ველის

a

მიმართულების მქონე კომპონენტი

d Q

-თია გამოწვეული, შესაბამისად,

d E_{a} = d E \cos θ

d E_{a} = d E \cos θ

ეს გვაძლევს ერთი წერტილოვანი მუხტის,

d Q

, წარმოქმნილ ველს

d E_{a}

d E_{a} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{d Q}{ℓ^{2}} \cos θ

შემდეგ გამოვსახოთ ელექტრულ ველში ერთი მთელი რკალის მიერ შეტანილი წვლილი

d E_{რ კ ა ლ ი}

d E_{რ კ ა ლ ი} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{d Q_{რ კ ა ლ ი}}{ℓ^{2}} cos θ

d Q_{რ კ ა ლ ი}

ერთ რკალზე განლაგებული მთლიანი მუხტია, თითოეული მონაკვეთი

d Q

მთელ რკალს ქმნის. ეს შეგვიძლია ინტეგრალის გარეშეც გამოვთვალოთ. რკალზე განლაგებული მთელი მუხტი არის სიბრტყის მუხტის სიმკვრივე,

σ

, გამრავლებული რკალის ფართობზე,

თხელი რკალის ფართობი დაახლოებით იგივეა, რაც წვრილი მართკუთხედის, რომლის სიგანე =

2 π r

(რკალის გარშემოწერილობა) და სიმაღლე =

d r

(რკალის სისქე).

ფ ა რ თ ო ბ ი_{რ კ ა ლ ი} = 2 π r d r

d Q_{რ კ ა ლ ი} = σ \cdot (2 π r \cdot d r)

q

-ს ლოკაციაზე

r

რადიუსისა და

Q_{რ კ ა ლ ი}

მუხტის მქონე რკალის მიერ შექმნილი ელექტრული ველი არის,

d E_{რ კ ა ლ ი} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{σ 2 π r d r}{ℓ^{2}} cos θ

ახლა ვიცით ერთი რკალის წვლილი მთლიან ელექტრულ ველში.

ყველა შესაძლო რკალის ელექტრული ველის ინტეგრირება

შემდეგი ნაბიჯია ყველა რკალის დაჯამება. სამწუხაროდ, ამ ინტეგრალის გამოთვლას თავს ვერ დავაღწევთ. როგორც დამუხტული ხაზის მაგალითისთვის, აქაც ცვლადის ჩანაცვლებას გამოვიყენებთ,

d r

-ს

d θ

-თი ჩავანაცვლებთ.

ამ ცვლადის ჩანაცვლების მიზანია, შევიმუშაოთ

d θ

-ს გამოსახულება, რომელშიც

d r

-ზე დამოკიდებულება გვექნება, რათა

d r

ჩავანაცვლოთ.

რამდენიმე გამოსადეგი იგივეობა ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განმარტებებიდან გვაქვს,

\cos θ = \frac{a}{ℓ} ℓ = a \frac{1}{cos θ} = a sec θ ℓ^{2} = a^{2} {sec}^{2} θ

\tan θ = \frac{r}{a} r = a tan θ

d θ

-ს გამოსახულების მისაღებად

r

-ს

θ

-ს მიმართ ტრიგონომეტრიული იგივეობის გამოყენებით გავაწარმოებთ,

\frac{d r}{d θ} = \frac{d}{d θ} a tan θ

\frac{d r}{d θ} = a {sec}^{2} θ

d r = a {sec}^{2} θ d θ

გავიხსენოთ

d E_{რ კ ა ლ ი}

-ს გამოსახულება,

d E_{რ კ ა ლ ი} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{σ 2 π r d r}{ℓ^{2}} cos θ

ჩავსვათ იგივეობები

r

d r

, და

ℓ^{2}

-სთვის,

d E_{რ კ ა ლ ი} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{σ 2 π (a \tan θ) (a \sec^{2} θ d θ)}{(a^{2} {sec}^{2} θ)} cos θ

გამარტივებისა და რაღაც გასაოცარი გაბათილებების შემდეგ, ცვლადის ჩანაცვლება დასრულებულია,

d E_{რ კ ა ლ ი} = \frac{σ}{2 ϵ_{0}} tan θ \cdot cos θ d θ

(ყურადღება მიაქციეთ, რომ ყველა

a

შეიკვეცა.)

ცვლადის ჩანაცვლების შემდეგ შეგვიძლია

d θ

და

θ

-ს გამოყენებით დიაგრამა გადავხატოთ,

ერთი რკალის ველის განტოლებაა,

d E_{რ კ ა ლ ი} = \frac{σ}{2 ϵ_{0}} tan θ \cdot cos θ d θ

რომლის კიდევ უფრო გამარტივებაა შესაძლებელი,

d E_{რ კ ა ლ ი} = \frac{σ}{2 ϵ_{0}} sin θ d θ

რაღაც ძალიან საინტერესო მოხდა. ცვლადით ჩანაცვლების და გაბათილების შედეგად ყველა

r

და

a

გაქრა! რანაირად?!

d E_{რ კ ა ლ ი ს}

საბოლოო ფორმაში, მანძილზე დამოკიდებულება არ გვაქვს. საოცარია!

თითქმის ბოლოში გავედით. მზად ვართ ინტეგრალის გამოთვლისთვის,

E = \int_{ყ ვ ე ლ ა რ კ ა ლ ი} d E_{რ კ ა ლ ი}

სადაც

E

მთლიანი ელექტრული ველია ყველა რკალიდან. ჩავანაცვლოთ

d E_{რ კ ა ლ ი}

-სთვის,

E = \int_{თ ე ტ ა} \frac{σ}{2 ϵ_{0}} sin θ d θ

რა არის ინტეგრალის ზღვრები? უმცირესი შესაძლო რკალი გვაქვს, როდესაც

r

ნულია;

ℓ

ემთხვევა

a

-ს და

θ

-ც ნულია. უდიდესი რკალის

r

უსასრულოა; მონაკვეთი

ℓ

ნებისმიერი მიმართულებით ჰორიზონტიკსენაა მიმართული და

θ

90^{\circ}

ან

π / 2

რადიანია. ანუ, ინტეგრირების ზღვრები

θ = 0 -დან π / 2

-მდეა.

E = \int_{0}^{π / 2} \frac{σ}{2 ϵ_{0}} sin θ d θ

E = - \frac{σ}{2 ϵ_{0}} cos θ |_{0}^{+ π / 2} = - \frac{σ}{2 ϵ_{0}} (0 - 1)

უსასრულო სიბრტყის ელექტრული ველია,

E = \frac{σ}{2 ϵ_{0}}

ნიუტონი/კულონი

დასკვნა

ეს არის სიბრტყის ელექტრული ველი (ერთეულოვან დადებით მუხტზე მოდებული ძალა). უცნაურია, რომ ველის გამოსახულება არ შეიცავს მანძილს, ანუ სიბრტყის ელექტრული ველი მანძილის ზრდასთან ერთად არ მცირდება! ამ წარმოსახვითი უსასრულოდ დამუხტული სიბრტყვისთვის მნიშვნელობა არ აქვს, ერთი მილიმეტრით ხარ მას დაშორებული თუ ერთი კილომეტრით, ელექტრული ველი იგივეა.

ეს უსასრულო დამუხტული სიბრტყის მაგალითია. რეალურ, ფიზიკურ სამყაროში ასეთი რამ არ არსებობს, მაგრამ მიღებული შედეგი რეალურ სიბრტყესაც კარგად მიესადაგება, თუ სიბრტყე

a

-სთან შედარებით დიდია და სიბრტყის კიდესთან ძალიან ახლოს არ ვართ.

მიმოხილვა

ელექტრული ველის იდეის გამოყენებით, გვაქვს შემდეგი ანალიზის ტექნიკა,

მუხტი წარმოშობს ელექტრულ ველს.
ელექტრული ველი სატესტო მუხტზე ლოკალურად მოქმედებს.

შევაჯამოთ განხილული სამი ელექტრული ველის მაგალითი,

ელექტრული ველის წყარო	იკლებს როგორც
წერტილოვანი მუხტი	$1 / r^{2}$ ‍
დამუხტული ხაზი	$1 / r^{1}$ ‍
დამუხტული სიბრტყე	$1 / r^{0}$ ‍

ეს სამი მუხტის კონფიგურაცია გამოსადეგი მეთოდია უამრავ პრაქტიკულ სიტუაციაში ელექტრული ველის სავარაუდოდ.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

ელექტროინჟინერია