If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

მათემატიკა III

კურსი: მათემატიკა III > თემა 1

გაკვეთილი 8: როგორ დავამტკიცოთ, რომ ფუნქციები შებრუნებულია
მათემატიკა
მათემატიკა III
ფუნქციები
როგორ დავამტკიცოთ, რომ ფუნქციები შებრუნებულია
© 2023 Khan Academyგამოყენების პირობებიკონფიდენციალურობის პოლიტიკაშენიშვნა ქუქი-ჩანაწერებზე

შებრუნებული ფუნქციების შემოწმება შედგენით

Google–ის საკლასო ოთახი
ისწავლეთ, როგორ გაიგოთ, არის თუ არა ორი ფუნქცია ერთმანეთის შებრუნებული მათი შედგენით. მაგალითად, არის თუ არა f(x)=5x-7 და g(x)=x/5+7 ფუნქციები ერთმანეთის შებრუნებული?
ეს სტატია მრავალ ფუნქციათა კომპოზიციას მოიცავს. თუ ამ საკითხის გახსენება გჭირდებათ, გირჩევთ ამ სტატიის წაკითხვამდე შეხვიდეთ აქ.
შებრუნებული ფუნქციები, ყველაზე ზოგადი თვალსაზრისით არის ფუნქციები, რომლებიც ერთმანეთს „აბრუნებენ". მაგალითად, თუ ფუნქცია a–ს აქცევს b–დ, მაშინ მისმა შებრუნებულმა, b უნდა აქციოს a–დ.
მოდით, მაგალითისთვის ავიღოთ f და g ფუნქციები: f(x)=x+13 და g(x)=3x−1.
ყურადღება მიაქციეთ, რომ f(5)=2 და g(2)=5.
აქ ვხედავთ, რომ როცა ვიყენებთ f ფუნქციას, რომელსაც მოსდევს g ფუნქცია, ვიღებთ თავდაპირველ არგუმენტს. ეს კომპოზიციის სახით ჩაწერილი იქნება g(f(5))=5.
მაგრამ ორი ფუნქცია ერთმანეთის შებრუნებულები რომ იყოს, უნდა ვაჩვენოთ, რომ ეს ხდება ნებისმიერი შესაძლო არგუმენტისთვის, მიუხედავად იმისა, თუ რა რიგით გამოვიყენებთ f–სა და g–ს. ეს იძლევა შებრუნებული ფუნქციების კომპოზიციის წესს.

შებრუნებული ფუნქციების კომპოზიციის წესი

ეს არის პირობები, რომ ორი ფუნქცია, f და g, იყოს ერთმანეთის შებრუნებული:
  • f(g(x))=x g განსაზღვრის არეზე ნებისმიერი x–ისთვის
  • g(f(x))=x f განსაზღვრის არეზე ნებისმიერი x–ისთვის
ეს იმიტომ, რომ, თუ f და g ერთმანეთის შებრუნებულია, f–ისა და g–ს კომპოზიცია (ნებისმიერი რიგით) ქმნის ფუნქციას, რომელიც ნებისმიერი არგუმენტისთვის აბრუნებს ამავე არგუმენტს. ამ ფუნქციას “იგივურ ფუნქციას" ვუწოდებთ.

მაგალითი 1: f და g ფუნქციები ერთმანეთის შებრუნებულებია

მოდით, გამოვიყენოთ შებრუნებული ფუნქციების კომპოზიციის წესი, რომ დავამტკიცოთ, რომ ზემოთ მოცემული f და g ნამდვილად ერთმანეთის შებრუნებულებია.
გაიხსენეთ, რომ f(x)=x+13 და g(x)=3x−1.
მოდით, ვიპოვოთ f(g(x)) და g(f(x)).
f(g(x))g(f(x))
f(g(x))=g(x)+13=3x−1+13=3x3=xg(f(x))=3(f(x))−1=3(x+13)−1=x+1−1=x
ასე რომ, ვხედავთ, რომ f და g ერთმანეთის შებრუნებული ფუნქციებია, რადგან f(g(x))=x და g(f(x))=x.

მაგალითი 2: f და g ფუნქციები არ არის ერთმანეთის შებრუნებულები

თუ f(g(x)) ან g(f(x)) არ უდრის x–ს, მაშინ f და g ვერ იქნება ერთმანეთის შებრუნებული.
მოდით, ეს ვცადოთ f(x)=5x−7–ისა და g(x)=x5+7–ისთვის.
f(g(x))g(f(x))
f(g(x))=5(g(x))−7=5(x5+7)−7=x+35−7=x+28g(f(x))=f(x)5+7=5x−75+7=x−75+7=x+285
ასე რომ, f და g არაა ერთმანეთის შებრუნებული ფუნქციები, რადგან f(g(x))≠x და g(f(x))≠x.
(შენიშნეთ, რომ შეგვეძლო, დაგვესკვნა, რომ f და g არაა ერთმანეთის შებრუნებულები იმის ჩვენების შემდეგ, რომ f(g(x))=x+28.)

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

ზოგადად, რომ შევამოწმოთ f და g არის თუ არა ერთმანეთის შებრუნებული ფუნქციები, შეგვიძლია, განვიხილოთ მათი კომპოზიცია. თუ შედეგი არის x, მაშინ ფუნქციები ერთმანეთის შებრუნებულებია. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ისინი არ არის შებრუნებულები.

1) f(x)=2x+7 და h(x)=x−72

x–ის გამოყენებით ჩაწერეთ f(h(x))–ისა და h(f(x))–ის გამარტივებული გამოსახულებები.
f(h(x))=
h(f(x))=
f და h ფუნქციები ერთმანეთის შებრუნებულებია?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

2) f(x)=4x+10 და g(x)=14x−10

x–ის გამოყენებით ჩაწერეთ f(g(x))–ისა და g(f(x))–ის გამარტივებული გამოსახულებები.
f(g(x))=
g(f(x))=
f და g ფუნქციები ერთმანეთის შებრუნებულებია?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

3) f(x)=23x−8 და h(x)=32(x+8)

x–ის გამოყენებით ჩაწერეთ f(h(x))–ისა და h(f(x))–ის გამარტივებული გამოსახულებები.
f(h(x))=
h(f(x))=
f და h ფუნქციები ერთმანეთის შებრუნებულებია?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა
პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.