ძირითადი მასალა

კურსი: ტრიგონომეტრია > თემა 1

გაკვეთილი 3: მართკუთხა სამკუთხედის კუთხის პოვნა ტრიგონომეტრიული შეფარდებების საშუალებით

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები (შესავალი)

ისწავლეთ, რა არის არკსინუსი, არკკოსინუსი და არკტანგენსი და როგორ გამოიყენოთ ისინი მართკუთხა სამკუთხედის უცნობი გვერდის საპოვნელად.

განვიხილოთ ახალი სახის ტრიგონომეტრიული ამოცანა. სინამდვილეში, ამ ამოცანების ამოხსნა არ შეგვიძლია სინუსით, კოსინუსით ან ტანგენსით.

ამოცანა: ქვემოთ მოცემულ სამკუთხედში რას უდრის კუთხე

L

-ის ზომა?

ჩვენ ვიცით:

∠ L

-დან გამომდინარე მოპირდაპირე და მოსაზღვრე გვერდების სიგრძეები, ამიტომ, შეგვიძლია, დავწეროთ:

\tan (L) = \frac{მოპირდაპირე}{მოსაზღვრე} = \frac{35}{65}

მაგრამ ეს არ გვეხმარება

∠ L

-ის ზომის პოვნაში. გავიჭედეთ!

რა გვჭირდება: მსგავსი პრობლემების გადასაჭრელად ჩვენ ახალი მათემატიკური ინსტრუმენტები გვჭირდება. ჩვენი ძველი მეგობრები სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი ამ შემთხვევაში ვერ გვეხმარებიან. ისინი კუთხის საშუალებით გვაძლევენ გვერდების შეფარდებას, მაგრამ ჩვენ გვჭირდება ფუნქცია, რომელიც გვერდების შეფარდებით გვაძლევს კუთხეს. ჩვენ გვჭირდება შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები!

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

ჩვენ უკვე ვისწავლეთ შებრუნებული მოქმედებები. მაგალითად, შეკრება და გამოკლება შებრუნებული მოქმედებებია. ასევე, გამრავლება და გაყოფა შებრუნებული მოქმედებებია. ყოველი მოქმედება მისი შებრუნებული მოქმედების საპირისპირო მოქმედებას ასრულებს.

ეს ტრიგონომეტრიაშიც ასეა. შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები მოქმედებენ „ჩვეულებრივი" ტრიგონომეტრიული ფუნქციების საპირისპიროდ. მაგალითად:

შებრუნებული სინუსი $(\sin^{- 1})$ ‍ სინუსის საპირისპირო მოქმედებაა.
შებრუნებული კოსინუსი $(\cos^{- 1})$ ‍ კოსინუსის საპირისპირო მოქმედებაა.
შებრუნებული ტანგენსი $(\tan^{- 1})$ ‍ ტანგენსის საპირისპირო მოქმედებაა.

ზოგადად, თუ იცით ტრიგონომეტრიული შეფარდება, მაგრამ კუთხის ზომა არა, შეგიძლიათ, გამოიყენოთ შესაბამისი შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქცია და იპოვოთ კუთხის ზომა. ეს მათემატიკურად გამოხატულია ქვემოთ მოცემულ დებულებებში.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები იღებენ კუთხეებს და აბრუნებენ გვერდების შეფარდებებს		შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები იღებენ გვერდების შეფარდებებს და აბრუნებენ კუთხეებს
$\sin (θ) = \frac{მოპირდაპირე}{ჰიპოტენუზა}$ ‍	$\to$ ‍	$\sin^{- 1} (\frac{მოპირდაპირე}{ჰიპოტენუზა}) = θ$ ‍
$\cos (θ) = \frac{მოსაზღვრე}{ჰიპოტენუზა}$ ‍	$\to$ ‍	$\cos^{- 1} (\frac{მოსაზღვრე}{ჰიპოტენუზა}) = θ$ ‍
$\tan (θ) = \frac{მოპირდაპირე}{მოსაზღვრე}$ ‍	$\to$ ‍	$\tan^{- 1} (\frac{მოპირდაპირე}{მოსაზღვრე}) = θ$ ‍

არ შეცდეთ!

გამოსახულება

\sin^{- 1} (x)

არ არის იგივე, რაც

\frac{1}{\sin (x)}

. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, the

- 1

არ არის ხარისხი. ეს უბრალოდ ნიშნავს შებრუნებულ ფუნქციას.

თუ რიცხვი ან ცვლადი აყვანილია

- 1

ხარისხში, მაშინ საქმე გვაქვს თანამამრავლის შებრუნებულთან, ანუ, შებრუნებულ სიდიდესთან. მაგალითად,

3^{- 1} = \frac{1}{3}

. ზოგადად, თუ

a

ნულისგან განსხვავებული რიცხვია, მაშინ

a^{- 1} = \frac{1}{a}

ეს ასე არ არის

\sin^{- 1} (x)

-ის შემთხვევაში. ეს იმიტომ, რომ სინუსი ფუნქციაა და არა რაოდენობა!

ზოგადად, როდესაც ფუნქციის დასახელების შემდეგ

- 1

ხარისხშია აყვანილი, ის მიანიშნებს შებრუნებულ ფუნქციაზე. ანუ, მაგალითად, თუ

f

არის ფუნქცია, მაშინც

f^{- 1}

იქნება

f

-ის შებრუნებული ფუნქცია. გამოსახულება

f^{- 1} (x)

წარმოადგენს შებრუნებული ფუნქციის

x

არგუმენტის მნიშვნელობას.

მიუხედავად ამისა, არსებობს ამის ჩაწერის სხვა გზაც, ისე, რომ მახეს გვერდი ავუაროთ. სინუსის შექცეული შეგვიძლია, გამოვსახოთ, როგორც

\arcsin

, კოსინუსის შექცეული, როგორც -

\arccos

, ტანგენსის შექცეული კი - როგორც

\arctan

. ასეთი ჩანაწერი პროგრამირების ენებში ხშირად შეგხვდებათ, თუმცა არა - მათემატიკაში.

შესავალი ამოცანის ამოხსნა

შესავალ ამოცანაში მოცემული გვქონდა მოპირდაპირე და მოსაზღვრე გვერდების სიგრძეები, ასე რომ, შეგვიძლია, შებრუნებული ტანგენსით ვიპოვოთ კუთხე.

\begin{aligned} m ∠ L & = \tan^{- 1} (\frac{მოპირდაპირე}{მოსაზღვრე}) განსაზღვრეთ. \\ m ∠ L & = \tan^{- 1} (\frac{35}{65}) ჩასვით მნიშვნელობები. \\ m ∠ L & \approx 28, 30^{\circ} გამოთვალეთ კალკულატორით. \end{aligned}

მოდით, ახლა ამოვხსნათ რამდენიმე ამოცანა.

ამოცანა 1

მოცემულია $△ K I P$ ‍, იპოვეთ $m ∠ I$ ‍.
პასუხი დაამრგვალეთ გრადუსის უახლოეს მეასედამდე.

^{\circ}

ამოცანა 2

მოცემულია $△ D E F$ ‍, იპოვეთ $m ∠ E$ ‍.
პასუხი დაამრგვალეთ გრადუსის უახლოეს მეასედამდე.

^{\circ}

ამოცანა 3

მოცემულია $△ L Y N$ ‍, იპოვეთ $m ∠ Y$ ‍.
პასუხი დაამრგვალეთ გრადუსის უახლოეს მეასედამდე.

^{\circ}

რთული ამოცანა

სამკუთხედი სრულად ამოხსენით. ეს ნიშნავს ყველა უცნობი გვერდისა და კუთხის პოვნას.
პასუხები დაამრგვალეთ უახლოეს მეასედებამდე.

O E =

\hat{O} =

^{\circ}

\hat{Z} =

^{\circ}

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

ანა მიქავა
გამოქვეყნების თარიღია 3 წლის წინ. მომხმარებლის ანა მიქავა გზავნილზე „m∠L ამ ჩანაწერში m რას აღ...“ პირდაპირი ბმული
m∠L ამ ჩანაწერში m რას აღნიშნავს?
Button navigates to signup pageდატოვეთ კომენტარი მომხმარებლის ანა მიქავა გზავნილზე „m∠L ამ ჩანაწერში m რას აღ...“
(2 მოწონება)
პასუხი
- min yuki
  გამოქვეყნების თარიღია 2 თვის წინ. მომხმარებლის min yuki გზავნილზე „კუთხის ზომას“ პირდაპირი ბმული
  კუთხის ზომას
  Button navigates to signup page
  (1 მოწონება)

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.