ძირითადი მასალა

კურსი: მათემატიკა III > თემა 4

გაკვეთილი 1: შესავალი რაციონალური გამოსახულებებში

შესავალი რაციონალური გამოსახულებებში

შესავალი რაციონალური გამოსახულებებში

გაიგეთ, რა არის რაციონალური გამოსახულება და მნიშვნელობები, რომლისთვისაც ის არ არის განსაზღვრული.

რას ისწავლით ამ გაკვეთილში

ამ გაკვეთილში თქვენ გაეცნობით რაციონალურ გამოსახულებებს. ისწავლით იმის დადგენას, თუ როდისაა გამოსახულება განუსაზღვრელი და როგორ ვიპოვოთ მისი განსაზღვრის არე.

რა არის რაციონალური გამოსახულება?

მრავალწევრი არის გამოსახულება, რომელიც შედგება ისეთი წევრების ჯამებისგან, რომლებიც შეიცავენ

x

–ის მთელ ხარისხებს, მაგალითად

3 x^{2} - 6 x - 1

რაციონალური გამოსახულება არის ორი მრავალწევრის განაყოფი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, იგი არის წილადი, რომლის მრიცხველი და მნიშვნელიც მრავალწევრებია.

ესენია რაციონალური გამოსახულების მაგალითები:

$\frac{1}{x}$ ‍, $\frac{x + 5}{x^{2} - 4 x + 4}$ ‍, $\frac{x (x + 1) (2 x - 3)}{x - 6}$ ‍

მიაქციეთ ყურადღება, რომ მრიცხველი შეიძლება, მუდმივი რიცხვი იყოს და მრავალწევრები – სხვადასხვა ხარისხისა და ფორმის.

რაციონალური გამოსახულებები და განუსაზღვრელი მნიშნელობები

განიხილეთ რაციონალური გამოსახულება

\frac{2 x + 3}{x - 2}

გამოსახულების მნიშვნელობა შეგვიძლია, განვსაზღვროთ კონკრეტული

x

–ის მნიშვნელობისთვის. მაგალითად, ამოვხსნათ ეს გამოსახულება, როცა

x = 1

$\begin{aligned} \frac{2 (1) + 3}{1 - 2} & = \frac{5}{- 1} \\ = - 5 \end{aligned}$ ‍

აქედან ვხედავთ, რომ, როცა

x = 1

, გამოსახულების მნიშვნელობა არის

- 5

ახლა მოდით, ვიპოვოთ გამოსახულების მნიშვნელობა, როცა

x = 2

$\begin{aligned} \frac{2 (2) + 3}{2 - 2} & = \frac{7}{0} \\ = undefined! \end{aligned}$ ‍

2

–ის ტოლი არგუმენტისთვის მნიშვნელი ხდება

0

. რადგან

0

–ზე გაყოფა განუსაზღვრელია,

x = 2

არ არის ამ გამოსახულების შესაძლო არგუმენტი!

რაციონალური გამოსახულების განსაზღვრის არე

ნებისმიერი გამოსახულების განსაზღვრის არე არის მისი ყველა შესაძლო არგუმენტის მნიშვნელობათა ერთობლიობა.

რაციონალური გამოსახულების შემთხვევაში არგუმენტს ნებისმიერი მნიშვნელობა შეიძლება, ჰქონდეს, გარდა იმ მნიშვნელობისა, რომლისთვისაც მნიშვნელი

0

ხდება (რადგან

0

–ზე გაყოფა განუსაზღვრელია).

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რაციონალური გამოსახულების მნიშვნელობათა არე მოიცავს ყველა ნამდვილ რიცხვს, გარდა იმ რიცხვებისა, რომლებისთვისაც მნიშვნელი ნული ხდება.

მაგალითი: $\frac{x + 1}{(x - 3) (x + 4)}$ ‍–ის განსაზღვრის არის პოვნა

მოდით, ვიპოვოთ მნიშვნელის ნულები და შევზღუდოთ ეს მნიშვნელობები:

$\begin{aligned} (x - 3) (x + 4) = 0 \\ x - 3 = 0 or x + 4 = 0 & ნულზე გამრავლების თვისება \\ x = 3 or x = - 4 & იპოვეთ x \end{aligned}$ ‍

ესე იგი, ვწერთ, რომ განსაზღვრის არე არის $3$ ‍–ისა და $-4$ ‍–ის გარდა ყველა ნამდვილი რიცხვი, ან უფრო მარტივად,

x \neq 3, - 4

შეამოწმეთ თქვენი ცოდნა

1) რა არის $\frac{x + 1}{x - 7}$ ‍–ის განსაზღვრის არე?

რაციონალური გამოსახულების მნიშვნელობათა არე არის ყველა ნამდვილი რიცხვი, გარდა იმ რიცხვებისა, რომლებისთვისაც მნიშვნელი ნული ხდება.

მოდით, ვიპოვოთ მნიშვნელის ნულები:

$\begin{aligned} x - 7 = 0 \\ x = 7 & გამოთვალეთ x \end{aligned}$ ‍

რადგან თუ არგუმენტი არის

7

, მნიშვნელი

0

ხდება, იგი უნდა გამოვრიცხოთ განსაზღვრის არედან.

განსაზღვრის არე არის $7$ ‍–ის გარდა ყველა ნამდვილი რიცხვი, ან უფრო მარტივად,

x \neq 7

2) რა არის $\frac{3 x - 7}{2 x + 1}$ ‍–ის განსაზღვრის არე?

მოდით, ვიპოვოთ მნიშვნელის ნულები:

$\begin{aligned} 2 x + 1 & = 0 \\ 2 x & = - 1 & გამოაკელით 1 ორივე მხარეს \\ x & = - \frac{1}{2} & გაყავით ორივე მხარე 2 -ზე \end{aligned}$ ‍

რადგან

- \frac{1}{2}

–ისთვის მნიშვნელი

0

ხდება, იგი უნდა გამოვრიცხოთ განსაზღვრის არედან.

განსაზღვრის არე არის $- \frac{1}{2}$ ‍–ის გარდა ყველა ნამდვილი რიცხვი, ან უფრო მარტივად,

x \neq - \frac{1}{2}

3) რა არის $\frac{2 x - 3}{x (x + 1)}$ ‍–ის განსაზღვრის არე?

მოდით, ვიპოვოთ მნიშვნელის ნულები:

$\begin{aligned} x (x + 1) = 0 \\ x = 0 or x + 1 = 0 & ნულზე გამრავლების თვისება \\ x = 0 ან x = - 1 & იპოვეთ x \end{aligned}$ ‍

რადგან მნიშვნელის ნულებია

0

და

- 1

, ეს მნიშვნელობები განსაზღვრის არედან გამოირიცხება.

განსაზღვრის არე არის $0$ ‍–ისა და $- 1$ ‍–ის გარდა ყველა ნამდვილი რიცხვი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ,

x \neq 0, - 1

რთული ამოცანები

4*) რა არის $\frac{x - 3}{x^{2} - 2 x - 8}$ ‍–ის განსაზღვრის არე?

ამ შემთხვევაში მნიშვნელი ნამრავლის სახით არ არის მოცემული. ასე რომ, იგი ან უნდა დავშალოთ მამრავლებად, ან ნულების საპოვნელად სხვა მეთოდი გამოვიყენოთ.

ყურადღება მიაქციეთ, რომ

x^{2} - 2 x - 8 = 0

ადვილად შეიძლება, დაიშალოს მამრავლებად. ასე რომ, გვექნება:

$\begin{aligned} x^{2} - 2 x - 8 = 0 \\ (x - 4) (x + 2) = 0 \\ x - 4 = 0 or x + 2 = 0 & ნულზე გამრავლების თვისება \\ x = 4 or x = - 2 & იპოვეთ x \end{aligned}$ ‍

რადგან მნიშვნელის ნულებია

- 2

და

4

, ეს მნიშვნელობები განსაზღვრის არედან გამოირიცხება.

განსაზღვრის არე არის $- 2$ ‍–ისა და $4$ ‍–ის გარდა ყველა ნამდვილი რიცხვი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ,

x \neq - 2, 4

5*) რა არის $\frac{x + 2}{x^{2} + 4}$ ‍–ის განსაზღვრის არე?

თუმცა ამ შემთხვევაში მნიშვნელი ნული ვერასდროს ვერ იქნება, რადგან

x

–ის ნებისმიერი ნამდვილი მნიშვნელობისთვის

x^{2} + 4 > 0

ამის გაკეთების სხვა გზაა, მნიშვნელი გავუტოლოთ ნულს და ამოვხსნათ

x

–ის მიმართ.

$\begin{aligned} x^{2} + 4 & = 0 \\ x^{2} & = - 4 & ნამდვილი რიცხვის კვადრატი ყოველთვის დადებითია! \end{aligned}$ ‍

მაგრამ აქ ვხედავთ, რომ ეს შეუძლებელია, რადგან ნამდვილი რიცხვის კვადრატი ვერასდროს ვერ იქნება უარყოფითი!

რადგან მნიშველი ვერ იქნება

0

–ის ტოლი, განსაზღვრის არეს არ აქვს შეზღუდვა. შესაბამისად, განსაზღვრის არე არის ყველა ნამდვილი რიცხვის ერთობლიობა.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

მათემატიკა III

კურსი: მათემატიკა III > თემა 4

რას ისწავლით ამ გაკვეთილში

რა არის რაციონალური გამოსახულება?

რაციონალური გამოსახულებები და განუსაზღვრელი მნიშნელობები

რაციონალური გამოსახულების განსაზღვრის არე

მაგალითი: x+1(x−3)(x+4)‍ –ის განსაზღვრის არის პოვნა

შეამოწმეთ თქვენი ცოდნა

რთული ამოცანები

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

მაგალითი: $\frac{x + 1}{(x - 3) (x + 4)}$ ‍–ის განსაზღვრის არის პოვნა