ძირითადი მასალა

კურსი: მათემატიკა III > თემა 1

გაკვეთილი 1: ფუნქციების გაერთიანება

ფუნქციების გაერთიანება. შესავალი

გაეცანით ახალი ფუნქციის მისაღებად ფუნქციების შეკრების, გამოკლების, გამრავლებისა და გაყოფის იდეას.

ჩვენ შეგვიძლია, შევკრიბოთ, გამოვაკლოთ, გავამრავლოთ და გავყოთ ფუნქციები, ისევე, როგორც შეგვიძლია, შევკრიბოთ, გამოვაკლოთ, გავამრავლოთ და გავყოთ რიცხვები.

ორი ფუნქციის ჯამი

ნაწილი 1: ახალი ფუნქციის შექმნა ორი ფუნქციის შეკრებით

მოდით, შევკრიბოთ

f (x) = x + 1

და

g (x) = 2 x

, რომ მივიღოთ ახალი ფუნქცია.

$\begin{aligned} f (x) + g (x) & = (x + 1) + (2 x) \\ = x + 1 + 2 x \\ = 3 x + 1 \end{aligned}$ ‍

მოდით, ამ ახალ ფუნქციას ვუწოდოთ

h

. ასე რომ, გვექნება:

$h (x) = f (x) + g (x) = 3 x + 1$ ‍

ნაწილი 2: გაერთიანებული ფუნქციის შეფასება

გაერთიანებული ფუნქციების შეფასება კონკრეტული მონაცემებისთვისაც შეგვიძლია. შევაფასოთ ფუნქცია

h

x = 2

–ის ზემოთ. ქვემოთ მოცემულია ამის გაკეთების გზები.

მეთოდი 1: ჩავსვათ

x = 2

შედგენილ ფუნქციაში

h

$\begin{aligned} h (x) & = 3 x + 1 \\ h (2) & = 3 (2) + 1 \\ = 7 \end{aligned}$ ‍

მეთოდი 2: იპოვეთ

f (2)

და

g (2)

და შედეგები შეკრიბეთ.

რადგან

h (x) = f (x) + g (x)

h (2)

–ის პოვნა ასევე შეგვიძლია

f (2) + g (2)

–ის პოვნით.

მოდით, ჯერ ვიპოვოთ

f (2)

$\begin{aligned} f (x) & = x + 1 \\ f (2) & = 2 + 1 \\ = 3 \end{aligned}$ ‍

ახლა მოდით, ვიპოვოთ

g (2)

$\begin{aligned} g (x) & = 2 x \\ g (2) & = 2 \cdot 2 \\ = 4 \end{aligned}$ ‍

ასე რომ,

f (2) + g (2) = 3 + 4 = 7

ყურადღება მიაქციეთ, რომ

x = 2

–ის

h

ფუნქციაში პირდაპირ ჩასმამ და

f (2) + g (2)

–ის პოვნამ ერთი და იგივე პასუხი მოგვცა!

მოდით, ახლა ამოვხსნათ რამდენიმე ამოცანა.

1–ელ და მე–2 ამოცანებში დავუშვათ, რომ

f (x) = 3 x + 2

და

g (x) = x - 3

ამოცანა 1

იპოვეთ $f (x) + g (x)$ ‍.

ამოცანა 2

ამოხსენით $f (- 1) + g (- 1)$ ‍.

აქ არის პასუხის პოვნის რამდენიმე მეთოდი.

მეთოდი 1: დამოუკიდებლად ვიპოვოთ

f (- 1)

და

g (- 1)

. შემდეგ ეს ორი შევკრიბოთ.

მოდით, ჯერ ვიპოვოთ

f (- 1)

$\begin{aligned} f (x) & = 3 x + 2 \\ f (- 1) & = 3 (- 1) + 2 \\ = - 1 \end{aligned}$ ‍

მოდით, შემდეგ ვიპოვოთ

g (- 1)

$\begin{aligned} g (x) & = x - 3 \\ g (- 1) & = - 1 - 3 \\ = - 4 \end{aligned}$ ‍

ასე რომ,

f (- 1) + g (- 1) = - 1 + (- 4) = - 5

მეთოდი 2: ჯერ ვიპოვოთ

f (x) + g (x)

და შემდეგ ეს გამოსახულება ამოვხსნათ

x = - 1

–ისთვის.

$\begin{aligned} f (x) + g (x) & = (3 x + 2) + (x - 3) \\ = 3 x + 2 + x - 3 \\ = 4 x - 1 \end{aligned}$ ‍

როცა

x = - 1

, ეს გამოსახულება უდრის

4 (- 1) - 1

–ს, ანუ

- 5

–ს.

გრაფიკული კავშირი

იმის გაგება, თუ რას ნიშნავს ორი ფუნქციის შეკრება, ამ ფუნქციების გრაფიკებზე შეხედვითაც შეგვიძლია.

y = m (x)

–ისა და

y = n (x)

–ის გრაფიკები ნაჩვენებია ქვემოთ. პირველ გრაფიკში ყურადღება მიაქციეთ, რომ

m (4) = 2

. მეორე გრაფიკში ყურადღება მიაქციეთ, რომ

n (4) = 5

ვთქვათ,

p (x) = m (x) + n (x)

. ახლა შეხედეთ

y = p (x)

–ის გრაფიკს. ყურადღება მიაქციეთ, რომ

p (4) = 2 + 5 = 7

სცადეთ, სამ გრაფიკზე შეხედვით დაინახოთ, რომ

x

–ის ყველა მნიშვნელობისათვის

p (x) = m (x) + n (x)

მოდით, ვივარჯიშოთ.

ამოცანა 3

y = f (x)

–ისა და

y = g (x)

–ის გრაფიკები ნაჩვენებია ქვემოთ.

რომელია $f (3) + g (3)$ ‍-ის საუკეთესო მიახლოება?

შეგვიძლია, გამოვიყენოთ

y = f (x)

–ისა და

y = g (x)

–ის გრაფიკები, რომ ვიპოვოთ

f (3)

და

g (3)

ქვემოთ მოცემული გრაფიკი გვაჩვენებს, რომ

f (3) = 6

ქვემოთ მოცემული გრაფიკი გვაჩვენებს, რომ

g (3) = 3

ასე რომ,

f (3) + g (3) = 6 + 3 = 9

ფუნქციების გაერთიანების სხვა გზები

ყველა მაგალითში, რომელიც აქამდე ვნახეთ, ახალი ფუნქცია იქმნება ორი ფუნქციის შეკრებით, მაგრამ ახალი ფუნქციის შესაქმნელად ასევე შეგიძლიათ, გამოაკლოთ, გაამრავლოთ და გაყოთ ორი ფუნქცია!

მაგალითად, თუ

f (x) = x + 3

და

g (x) = x - 2

, მაშინ ჯამის გარდა ასევე შეგვიძლია, ვიპოვოთ ...

... სხვაობა.

\begin{aligned} f (x) - g (x) & = (x + 3) - (x - 2) ჩასმა. \\ = x + 3 - x + 2 გადაანაწილეთ უარყოფითი ნიშანი. \\ = 5 გააერთიანეთ მსგავსი წევრები. \end{aligned}

... ნამრავლი.

\begin{aligned} f (x) \cdot g (x) & = (x + 3) (x - 2) ჩასვით. \\ = x^{2} - 2 x + 3 x - 6 გადაანაწილეთ. \\ = x^{2} + x - 6 გააერთიანეთ მსგავსი წევრები. \end{aligned}

... განაყოფი.

\begin{aligned} f (x) \div g (x) & = \frac{f (x)}{g (x)} \\ = \frac{(x + 3)}{(x - 2)} ჩასვით. \end{aligned}

ამის კეთებით ჩვენ სამი ახალი ფუნქცია შევქმენით!

გამოწვევა: ამოცანა

p (t) = t + 2

q (t) = t - 1

r (t) = t

ამოხსენით $p (3) \cdot q (3) \cdot r (3) - p (3)$ ‍.

მოდით, ჯერ ვიპოვოთ

p (3)

q (3)

და

r (3)

თითოეულ ფორმულაში

t = 3

–ის ჩასმით.

მოდით, ჯერ ვიპოვოთ

p (3)

$\begin{aligned} p (t) & = t + 2 \\ p (3) & = 3 + 2 \\ = 5 \end{aligned}$ ‍

მოდით, შემდეგ ვიპოვოთ

q (3)

$\begin{aligned} q (t) & = t - 1 \\ q (3) & = 3 - 1 \\ = 2 \end{aligned}$ ‍

ბოლოს ვიპოვოთ

r (3)

$\begin{aligned} r (t) & = t \\ r (3) & = 3 \\ = 3 \end{aligned}$ ‍

ახლა

p (3) \cdot q (3) \cdot r (3) - p (3)

შეგვიძლია, ვიპოვოთ შემდეგნაირად:

\begin{aligned} p (3) \cdot q (3) \cdot r (3) - p (3) & = 5 \cdot 2 \cdot 3 - 5 \\ = 30 - 5 \\ = 25 \end{aligned}

ასევე, შეგვეძლო, ჯერ

p (t) \cdot q (t) \cdot r (t) - p (t)

გვეპოვნა და შემდეგ გამოსახულების მნიშვნელობა გამოგვეთვალა

t = 3

–ისთვის, თუმცა ეს უფრო რთული იქნებოდა, რადგან შედეგი იქნებოდა მესამე ხარისხის მრავალწევრი!

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.