ძირითადი მასალა

კურსი: მათემატიკა II > თემა 6

გაკვეთილი 5: კომპლექსურ რიცხვთა გამრავლება

კომპლექსურ რიცხვთა გამრავლება

ისწავლეთ ორი კომპლექსური რიცხვის გამრავლება. მაგალითად, გაამრავლეთ (1+2i)⋅(3+i).

კომპლექსური რიცხვი არის ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც ჩაიწერება, როგორც

a + b i

, სადაც

i

არის წარმოსახვითი ერთეული და

a

და

b

ნამდვილი რიცხვებია.

კომპლექსური რიცხვების გამრავლებისას სასარგებლოა, დავიმახსოვროთ, რომ თვისებები, რომელთაც ვიყენებდით ნამდვილ რიცხვებზე არითმეტიკული მოქმედებებისას, კომპლექსურ რიცხვებშიც მსგავსად მოქმედებს.

ხანდახან სასარგებლოა,

i

მივიჩნიოთ

x

–ის მსგავს ცვლადად. მხოლოდ რამდენიმე ცვლილების შეტანის შემდეგ შეგვიძლია, ისე გავამრავლოთ, როგორც მოველით. მოდით უფრო ახლოს ვნახოთ ეს, დავაკვირდეთ რამდენიმე მაგალითს.

ნამდვილი რიცხვის კომპლექსურ რიცხვზე გამრავლება

მაგალითი

გაამრავლეთ

- 4 (13 + 5 i)

. მიღებული რიცხვი ჩაწერეთ

a + b i

ფორმით.

ამოხსნა

თუ ინტუიცია გეუბნებათ, რომ

- 4

უნდა გაამრავლოთ ფრჩხილებში თითოეულ წევრზე, თქვენი ინტუიცია სწორია! მოდით, გავაკეთოთ ეს!

\begin{aligned} - 4 (13 + 5 i) & = - 4 (13) + (- 4) (5 i) \\ = - 52 - 20 i \end{aligned}

სულ ეს არის! ჩვენ, განრიგებადობის კანონის გამოყენებით, ნამდვილი რიცხვი გავამრავლეთ კომპლექსურ რიცხვზე. ახლა რამე უფრო რთული ვცადოთ.

წმნიდა წარმოსახვითი რიცხვის კომპლექსურ რიცხვზე გამრავლება

მაგალითი

გაამრავლეთ

2 i (3 - 8 i)

. მიღებული რიცხვი ჩაწერეთ

a + b i

ფორმით.

ამოხსნა

კიდევ ერთხელ, დავიწყოთ ფრჩხილების გახსნა

2 i

-ის თითოეულ წევრზე გამრავლებით.

\begin{aligned} 2 i (3 - 8 i) & = 2 i (3) - 2 i (8 i) \\ = 6 i - 16 i^{2} \end{aligned}

ახლა პასუხი არ არის

a + b i

ფორმის, რადგან ის შეიცავს

i^{2}

-ს.

მაგრამ, ჩვენ ვიცით, რომ

i^{2} = - 1

. ჩავსვათ და ვნახოთ, რა გამოვა.

\begin{aligned} = 6 i - 16 i^{2} \\ = 6 i - 16 (- 1) \\ = 6 i + 16 \end{aligned}

გადანაცვლებადობის კანონის გამოყენებით, შეგვიძლია, პასუხი

16 + 6 i

სახით ჩავწეროთ და გვექნება

2 i (3 - 8 i) = 16 + 6 i

შეამოწმეთ თქვენი ცოდნა

ამოცანა 1

გაამრავლეთ $3 (- 2 + 10 i)$ ‍.
პასუხი დაწერეთ $a + b i$ ‍ ფორმით.

ამოცანა 2

გაამრავლეთ $- 6 i (5 + 7 i)$ ‍.
პასუხი დაწერეთ $a + b i$ ‍ ფორმით.

მოდით, დავიწყოთ ფრჩხილების გახსნა

- 6 i

–ის ფრჩხილებში თითოეულ რიცხვზე გამრავლებით.

\begin{aligned} - 6 i (5 + 7 i) & = - 6 i (5) + (- 6 i) (7 i) \\ = - 30 i + (- 42 i^{2}) \end{aligned}

რადგან

i^{2} = - 1

, მივიღებთ:

\begin{aligned} = - 30 i + (- 42 i^{2}) \\ = - 30 i + (- 42 (- 1)) \\ = - 30 i + 42 \\ = 42 - 30 i \end{aligned}

მშვენიერია! ახლა შეგვიძლია კიდევ ერთი ნაბიჯი გადავდგათ! შემდეგ მოდის ის შემთხვევა, რომელიც უფრო ხშირად შეგხვდებათ, თუ საქმე კომპლექსური რიცხვების გამრავლებას შეეხება.

ორი კომპლექსური რიცხვის გამრავლება

მაგალითი

გაამრავლეთ

(1 + 4 i) (5 + i)

. მიღებული რიცხვი ჩაწერეთ

a + b i

ფორმით.

ამოხსნა

ამ მაგალითში ზოგიერთს ძალიან ეხმარება

i

–ის წარმოდგენა ცვლადის სახით.

სინამდვილეში, ამ ორი კომპლექსური რიცხვის გამრავლება ძალიან გავს ორი ორწევრის გამრავლებას! პირველი რიცხვის თითოეული წევრი გაამრავლეთ მეორე რიცხვის თითოეულ წევრზე.

\begin{aligned} (1 + 4 i) (5 + i) & = (1) (5) + (1) (i) + (4 i) (5) + (4 i) (i) \\ = 5 + i + 20 i + 4 i^{2} \\ = 5 + 21 i + 4 i^{2} \end{aligned}

რადგან

i^{2} = - 1

, შეგვიძლია

i^{2}

შევცვალოთ

- 1

-ით, რათა სასურველი

a + b i

ფორმა მივიღოთ.

\begin{aligned} = 5 + 21 i + 4 i^{2} \\ = 5 + 21 i + 4 (- 1) \\ = 5 + 21 i - 4 \\ = 1 + 21 i \end{aligned}

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

ამოცანა 3

გაამრავლეთ $(1 + 2 i) (3 + i)$ ‍.
პასუხი დაწერეთ $a + b i$ ‍ ფორმით.

დაიწყეთ პირველი რიცხვის თითოეული წევრის მეორე რიცხვის თითოეულ წევრზე გამრავლებით.

\begin{aligned} (1 + 2 i) (3 + i) & = 1 (3) + 1 (i) + 2 i (3) + 2 i (i) \\ = 3 + i + 6 i + 2 i^{2} \\ = 3 + 7 i + 2 i^{2} \end{aligned}

რადგან

i^{2} = - 1

, შეგვიძლია

i^{2}

შევცვალოთ

- 1

-ით, რათა სასურველი

a + b i

ფორმა მივიღოთ.

\begin{aligned} = 3 + 7 i + 2 i^{2} \\ = 3 + 7 i + 2 (- 1) \\ = 3 + 7 i - 2 \\ = 1 + 7 i \end{aligned}

ამოცანა 4

გაამრავლეთ $(4 + i) (7 - 3 i)$ ‍.
პასუხი დაწერეთ $a + b i$ ‍ ფორმით.

\begin{aligned} (4 + i) (7 - 3 i) & = 4 (7) + 4 (- 3 i) + i (7) + i (- 3 i) \\ = 28 - 12 i + 7 i + (- 3 i^{2}) \\ = 28 - 5 i - 3 i^{2} \end{aligned}

რადგან

i^{2} = - 1

, შეგვიძლია

i^{2}

შევცვალოთ

- 1

-ით, რათა სასურველი

a + b i

ფორმა მივიღოთ.

\begin{aligned} = 28 - 5 i - 3 i^{2} \\ = 28 - 5 i - 3 (- 1) \\ = 28 - 5 i + 3 \\ = 31 - 5 i \end{aligned}

ამოცანა 5

გაამრავლეთ $(2 - i) (2 + i)$ ‍.
პასუხი დაწერეთ $a + b i$ ‍ ფორმით.

ამოცანა 6

გაამრავლეთ $(1 + i) (1 + i)$ ‍.
პასუხი დაწერეთ $a + b i$ ‍ ფორმით.

რთული ამოცანები

ამოცანა 1

ვთქვათ, $a$ ‍ და $b$ ‍ ნამდვილი რიცხვებია. რა იქნება $(a - b i) (a + b i)$ ‍?

ამოცანა 2

შეასრულეთ აღნიშნული მოქმედება და გაამარტივეთ. $(1 + 3 i)^{2} \cdot (2 + i)$ ‍
პასუხი ჩაწერეთ $a + b i$ ‍ ფორმით.

(1 + 3 i)^{2} \cdot (2 + i)

ნიშნავს

(1 + 3 i) (1 + 3 i) (2 + i)

-ს. ნამრავლის საპოვნელად გავამრავლოთ პირველი ორი რიცხვი, შემდეგ კი ამის ნამრავლი გავამრავლოთ

(2 + i)

-ზე.

\begin{aligned} (1 + 3 i)^{2} \cdot (2 + i) & = (1 + 3 i) (1 + 3 i) (2 + i) \\ = (1 + 3 i + 3 i + 9 i^{2}) (2 + i) \\ = (1 + 6 i + 9 i^{2}) (2 + i) \\ = (1 + 6 i + 9 (- 1)) (2 + i) \\ = (- 8 + 6 i) (2 + i) \\ = - 16 - 8 i + 12 i + 6 i^{2} \\ = - 16 + 4 i + 6 (- 1) \\ = - 22 + 4 i \end{aligned}

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.