მოდულიანი განტოლებები და გრაფიკები: შესავალი

მოდით რამდენიმე მოდულიანი განტოლება გავაკეთოთ. ამასთანავე, ცოტათი მიმოვიხილოთ რიცხვის მოდული. ვთქვათ გვაქვს მინუს ერთი მოდულში, სინამდვილეში მოდულში ჩაწერა გვეუბნება, თუ რამდენად შორს არის ეს რიცხვი ნულიდან განვიხილოთ მინუს ერთი, რისთვისაც დავხაზოთ რიცხვითი წრფე. ეს ძალიან ცუდად დახატული რიცხვითი წრფეა. თუ აქ დავხაზავ რიცხვით წრფეს, ეს იქნება ნული, მინუს ერთი გვექნება აქ. გამოვა, ის ნულიდან ერთითაა დაშორებული. გამოვიდა, რომ მინუს ერთი მოდულში არის ერთი. ერთი მოდულში ასევე ერთი ერთეულითაა დაშირებული ნულიდან. ის ასევე ერთს უდრის. მოდული არის მანძილი ნულიდან. ვფიქრობ, არსებობს უფრო მარტივი განმარტება, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ის ყოველთვის ასახავს რიცხვის დადებითი ვერსიას. მინუს 7,346-ის მოდული უდრის 7,346-ს. მოდით ვცადოთ მოდულიანი განტოლებების ამოხსნა. ვთქვათ მაქვს შემდეგი განტოლება: x–ს მინუს ხუთის მოდული უდრის ათს. შეგვიძლია ეს განტოლება გავამარტივოთ. დაფიქრდით ამაზე, ეს განტოლება გვეუბნება, რომ მანძილი x -სა და ხუთს შორის არის ათი. ზუსტად რამდენი რიცხვია ხუთიდან ათი ერთეულით დაშორებული? შეგიძლიათ უკვე იფიქროთ ამ განტოლების ამონახსენზე, მაგრამ გაჩვენებთ, თუ როგორ ამოხსნათ იგი სისტემურად. ეს განტოლება ჭეშმარიტია ორ შემთხვევაში. x მინუს ხუთი უდრის დადებით ათს, მაშინ, როდესაც მოდული გამოსახავს დადებით ათს. დადებითი ათის აღებისას, მისი მოდული ათი იქნება. x–ს მინუს ხუთი მოდულში შეიძლება გამოსახავდეს მინუს ათსაც. თუკი x–ს მინუს ხუთი გამოსახავს მინუს ათს, მისი მოდული ათი იქნება. x–ს მინუს ხუთი მოდულში, ასევე შეიძლება უდრიდეს მინუს ათს. ორივე მათგანი დააკმაყოფილებს ამ განტოლებას. განტოლების ამოსახსნელად, განტოლების ორივე მხარეს დავუმატოთ ხუთი. მივიღებთ, რომ x უდრის 15-ს. ამის ამოსახსნელად განტოლების ორივე მხარეს დავუმატოთ ხუთი. x უდრის მინუს ხუთს. მაშ ასე, ჩვენი ამონახსნი აქ არის ორი x და ეს აკმაყოფილებს ამ განტოლებას. x შეიძლება იყოს 15. 15–ს მინუს ხუთი არის ათი, ავიღოთ მისი მოდული. მივიღებთ ათს ან x შეიძლება იყოს მინუს ხუთს. მინუს ხუთს მინუსხუთი არის მინუს ათი. ამის მოდულის აღებისას ვიღებთ ათს. ორივე ეს რიცხვი, ზუსტად ათი ერთეულითაა დაშორებული ხუთიდან. სხვა განტოლება გავაკეთოთ. ვთქვათ გვაქვს შემდეგი განტოლება: x-ს ოლუს ორის მოდული უდრის ექვსს. რას გვეუბნება ეს? ეს გვეუბნება რომ x–ს პლუს ორის მოდულის შიდა რიცხვუ უდრის ექვსს. ან მოდულის შიგნითა რიცხვი: x–ს პლუს ორი შეიძლება უდრიდეს მინუს ექვსს. თუკი ეს მთლიანი რიცხვი გამოსახავს მინუს ექვსს, მისი მოდული ექვსი იქნება. x–ს პლუს ორი შეიძლება უდრიდს მინუს ექვსს. თუ განტოლების ორივე მხარეს გამოვაკლებთ ორს, მივიღებთ, რომ x შეიძლება იყოს ოთხი. ან თუ ამ განტოლების ორივე მხარეს გამოვაკლებთ ორს, x შეიძლება მინუს რვა იყოს ეს არის ამ განტოლების ორი ამონახსნი. რათა უფრო ნათელი გახდეს, თუ რა არის მოდული, ის მანძილად შეიძლება განვიხილოთ. შეგიძლიათ ხელახლა ჩაწეროთ ეს ამოცანა: x–ს მინუს მინუს ორი უდრის ექვსს. რა რიცხვია x, რომელიც ზუსტად ექვსი ერთეულითაა დაშორებული მინუს ორიდან? დაიმახსოვრეთ, ჩვენ ვთქვით, თუ რა რიცხვია ზუსტად ათი ერთეულით დაშორებული ხუთიდან. ნებისმიერი რიცხვი, რომელსაც გამოაკლებთ ხუთს. ორივე ამონახსნი ხუთიდან დაშორებული იქნება ათი ერთეულით. ამოცანა მეკითხება: რა რიცხვია X, რომელიც ზუსტად ექვსი ერთეულითაა დაშორებული მინუს ორიდან? ესენი იქნება ოთხი ან მინუს რვა. შეგიძლიათ თავად შეამოწმოთ ეს რიცხვები. მოდით კიდევ გავაკეთოთ ერთ–ერთი მათგანი. მეორე ამოცანა გავაკეთოთ, დავწეროთ ის წითლად. ვთქვათ რომ ჩვენ გვაქვს 4x-ის მოდული. ოდნავ შევცვალოთ ეს ამოცანა. 4x მინუს ერთი. 4x–ს მინუს ერთის მოდული უდრის 19–ს. ბოლო ამოცანის მსგავსად, 4x–ს მინუს ერთი შეიძლება იყოს 19, ან 4x–ს მინუს ერთი შეიძლება იყოს მინუს 19. ორივე შემთხვევაში მისი მოდული 19 იქნება ანუ 4x–ს მინუს ერთი იქნება ან 19 ან მინუს 19. უბრალოდ უნდა ამოვხსნათ ეს ორ განტოლება. დავუმატოთ ერთი განტოლების ორივე მხარეს შეგვიძლია ეს ერთდროულადაც გავაკეთოთ. ამ განტოლების ორივე მხარისთვის ერთის დამატებით ვიღებთ: 4x უდრის 20–ს. ამ განტოლების ორივე მხარისთვის ერთის დამატებით ვღებთ: 4x უდრის მინუს 18–ს. ამ განტოლების ორივე მხარე გავყოთ ოთხზე, მივიღებთ რომ ის არის ხუთის ტოლი. ამ განტოლების ორივე მხარის ოთხზე თუ გავყოფთ, მივიღებთ: x უდრის მინუს 18/4–ს. მინუს 18/4 იგივე მინუს 9/2–ია. x–ის ორივე სიდიდე აკმაყოფოლიებს განტოლებას. შევამოწმოთ. მინუს 9/2 გამრავლებული ოთხზე იქნება მინუს 18. მინუს 18–ს გამოვაკლოთ ერთი არის მინუს 19. ავიღოთ მინუს 19-ის მოდული, მივიღებთ 19-ს. დავსვათ აქ ხუთი: ოთხჯერ ხუთი არის 20. 20–ს მინუს ერთი არის დადებითი 19. აქაც ავიღოთ ამის მოდული და ისევ მივიღებთ 19–ს. მოდით გართობის მიზნით ვცადოთ და გრაფიკი დავხაზოთ. ვთქვათ გვაქვს y არის x-ს პლუს სამის მოდული. მაშ ასე, ეს არის ფუნქცია ან გრაფიკი, რომელშიც გვაქვს მოდული. მოდით ვიფიქროთ ორ შემთხვევაზე. ეს არის პირველი შემთხვევა: მოდულის შიგნით სიდიდე დადებითია. აი აქ ჩავწერ: x–ს პლუს სამი მეტია ნულზე. სხვა შემთხვევაში, x პლუს სამი ნაკლებია ნულზე. როდესაც x–ს პლუს სამი მეტია ნულზე, ეს გრაფიკი, ან ეს ხაზი–– ეს ფუნქცია იგივეა, რაც y უდრის x–ს პლუს სამს. თუკი ეს რაღაცა მეტია ნულზე, მაშინ მოდულის ნიშანი უმნიშვნელოა. ეს იგივეა, რაც y უდრის x–ს პლუს სამი. მაგრამ, როდესაც x–ს პლუს სამი ნულზე მეტია? თუ ორივე მხარეს გამოვაკლებთ სამს, მივიღებთ, რომ x მეტია მინუს სამზე. როდესაც x მეტია მინუს სამზე, ეს გრაფიკი გამოიყურება როგორც y უდრის x–ს პლუს სამს. ახლა, როდესაც x–ს პლუს სამი ნაკლებია ნულზე. იმ შემთხვევაში, როდესაც მოდულის ნიშნების შიგნითა რიცხვი უარყოფითია, ეს განტოლებაა: y უდრის მინუს x–ს პლუს სამი. როგორ მივხვდი ამას? შეხედეთ, თუ ეს უარყოფოთი რიცხვია, თუ x-ს პლუს სამი უარყოფითია, ჩვენ ვამბობთ–– ჩვენ აქ ვამბობთ - თუ ის უარყოფითი რიცხვია, უარყოფითი რიცხვის მოდულში ჩასმისას ის დადებითი ხდება. ეს მინუს ერთზე გამრავლებას ჰგავს. უარყოფითი რიცხვის მოდულის აღებისას, ჩვენ თითქოს მინუს ერთზე ვამრავლებთ რიცხვს, რადგან უარყოფით რიცხვს დადებითად ვაქცევთ. ეს სწორედ ის შემთხვევაა, როდესაც x–ს პლუს სამი ნაკლები იქნება ნულზე. თუ განტოლების ორივე მხარეს გამოვაკლებთ სამს, მივიღებთ, რომ x ნაკლებია მინუს სამზე როდესაც x ნაკლებია მინუს სამზე, გრაფიკი ასე გამოიყურება. როდესაც x უფრო დიდია ვიდრე მინუს სამი, გრაფიკი ასე გამოიყურება. მოდით ვნახოთ როგორ გამოიყურება მთლიანი გრაფიკი. დავხატავ საკოორდინატო სიბრტყეს. ეს არის ჩემი X-ღერძი, ეს კი არის y-ღეძი. მოდით უბრალოთ გადავამრავლოთ იგი, mx-ს პლუს b ფორმაში რომ გვქონდეს. ეს უდრის მინუს x–ს მინუს სამს. უბრალოდ გამოვსახოთ, თუ როგორი იქნება ეს გრაფიკი ზოგადად. მინუს x–ს მინუს სამი. y კოორდინატი არის მინუს სამი, გვექნება 1,2,3. უარყოფითი x ნიშნავს, რომ იგი იხრება ქვევით, მას აქვს ერთის ტოლი დახრილობა. იგი აი ასე გამოიყურება. X-კოორდინატი იქნება X- ღერძზე -- y იმ შემთხვევაში უდრის ნულს, როდესაც x უდრის მინუს სამს. ის ამ ხაზის გასწვრივ წავა ამ წერტილამდე. თუ ჩვენ არ გვაქვს შეზღუდვა, მაშინ გრაფიკი ასეთი იქნება. ეს იმ შემთხვევაში, თუ მას x–ღერძზე, განსაზღვრულ ინტერვალში არ ავაგებთ. ახლა კი ეს გრაფიკი. როგორ გამოიყურება ის? y-კოორდინატი მას დადებით 3-ზე აქვს. აი ამის მსგავსად. სად არის მისი X-კოორდინატი? როდესაც y ნულის ტოლია, x იქნება მინუს სამი. ასე რომ იგი ასევე მიდის აი ამ წერტილამდე და აქვს ერთის ტოლი დახრილობა. იგი აი ასე გამოიყურება. ასეთია ეს გრაფიკი. ის რაც ჩვენ ახლა გამოვსახეთ მოდულის ფუნქციაა. იგი გავს ამ წითელ გრაფიკს, სადაც x ნაკლებია მინუს სამზე. როდსაც x ნაკლებია მინუს სამზე –- x მინუს სამის ტოლია აქ–– როდესაც x ნაკლებია მინუს სამზე, ის ამ წითელ გრაფიკს ჰგავს. აი აქ. ეს არის ის შემთხვევა, როდესაც x ნაკლებია მინუს სამზე. როდესაც x მეტია მინუს სამზე, ის ჰგავს ამ მწვანე გრაფიკს. ის გამოიყურება აი ასე. ეს გრაფიკი ჰგავს უცნაურ v-ს. როდესაც x მეტია მინუს სამზე, ეს დადებითია. ჩვენ გვაქვს გრაფიკი და გვაქვს დადებითი დახრილობა. მაგრამ როდესაც x ნაკლებია მინუს სამზე, უარყოფით ფუნქციას ვღებულობთ, გვაქვს უარყოფითი დახრილობა. აქაა v-ს ფორმის ფუნქცია,v-ს ფორმის გრაფიკი რომელიც მიუთითებს მოდულის ფუნქციაზე.