რა არის კუთხით გასროლილი სხეულის ორგანზომილებიანი მოძრაობა?

ფრუქტოზის გავლენით გაცოფებულმა ჰაერში ლაიმის კუთხით გასროლა გადაწყვიტეთ. ის გადის ტრაექტორიას, რომელიც ქვემოთა დიაგრამაზე წყვეტილი მრუდითაა მოცემული. ლაიმი ამ შემთხვევაში განიხილება, როგორც ორგანზომილებიანი კუთხით გასროლილი სხეული, რადგან ის ჰაერში ვერტიკალურადაც მიფრინავს და ჰორიზონტალურადაც და მხოლოდ გრავიტაციის გავლენის ქვეშაა.

რადგან გრავიტაციული ძალა მიმართულია ქვევით, ის გავლენას მოახდენს ლაიმის სიჩქარის მხოლოდ ვერტიკალურ კომპონენტზე $\red {v_y}$start color #df0030, v, start subscript, y, end subscript, end color #df0030 . რაც შეეხება სიჩქარის ჰორიზონტალურ კომპონენტს $\blue {v_x}$start color #6495ed, v, start subscript, x, end subscript, end color #6495ed, მასზე გრავიტაცია არ მოახდენს არანაირ გავლენას და, შესაბამისად, უცვლელი დარჩება ლაიმის მოძრაობის მთელ ტრაექტორიაზე.

გადაადგილეთ წითელი წერტილი, რათა დაინახოთ, რომ ვერტიკალური სიჩქარე $\red {v_y}$start color #df0030, v, start subscript, y, end subscript, end color #df0030 იცვლება, ხოლო ჰორიზონტალური სიჩქარე $\blue {v_x}$start color #6495ed, v, start subscript, x, end subscript, end color #6495ed რჩება უცვლელი.

კონცეპტუალური შემოწმება: ლაიმის ტრაექტორიის უმაღლეს წერტილში როგორია მისი სიჩქარის ვერტიკალური კომპონენტი?

ერთ-ერთი ყველაზე მარტივი გზა ორგანზომიმლებიანი მოძრაობის აღსაწერად არის მისი განხილვა ყველა მიმართულებით ცალ-ცალკე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ გამოვიყენებთ ერთ განტოლებათა სისტემას ლაიმის ჰორიზონტალური მოძრაობის აღწერისთვის, ხოლო მეორეს - ვერტიკალური მოძრაობის აღწერისთვის. ეს მიდგომა ორგანზომილებიან რთულ ამოცანას შლის ორ შედარებით მარტივ ამოცანად. ჩვენ შეგვიძლია ამ მეთოდის გამოყენება გამომდინარე იქიდან, რომ ლაიმის სიჩქარის ვერტიკალური კომპონენტის ცვლილება არ ახდენს გავლენას ჰორიზონტალურ სიჩქარეზე. ანალოგიურად, ლაიმის სიჩქარის ვერტიკალური კომპონენტისთვის არანაირი მნიშვნელობა არ აქვს მის ჰორიზონტალურ სიჩქარეს. თუ ჩვენ ერთ ტყვიას გავისვრით იარაღიდან, ხოლო მეორეს იმავე მომენტში, უბრალოდ, გავუშვებთ ხელს, ისინი დედამიწის ზედაპირზე ერთდროულად დაეცემიან.

ჰორიზონტალური მიმართულებით არ გვაქვს აჩქარება, რადგან გრავიტაციული ძალა არ მოქმედებს სხეულზე ამ მიმართულებით, ის მხოლოდ ქვევით ექაჩება სხეულს. ჰაერის წინააღმდეგობა გამოიწვევდა სხეულის სიჩქარის ჰორიზონტალური კომპონენტის ცვლილებას, თუმცა, როგორ უკვე აღვნიშნეთ, ჩვენ განვიხილავთ მხოლოდ იმ სიტუაციებს, რომლებშიც ჰაერის წინააღმდეგობა უგულებელყოფილია და, შესაბამისად, ჰორიზონტალური სიჩქარეც შეგვიძლია, უცვლელად ჩავთვალოთ.

ამრიგად, ჰორიზონტალური მიმართულებისთვის ჩვენ შეგვიძლია, გამოვიყენოთ შემდეგი განტოლება,

მინიშნება: უნდა დავრწმუნდეთ, რომ ჰორიზონტალური მოძრაობისთვის ჩაწერილ განტოლებებში ვიყენებთ მხოლოდ ჰორიზონტალურ ცვლადებს. თუ ჩვენ ვიცით ამ განტოლებაში ორი ცვლადი, შეგვიძლია, ის ამოვხსნათ დარჩენილი უცნობი ცვლადებისთვის.

ორგანზომილებიანი მოძრაობის განხილვისას კუთხით გასროლილი სხეული განიცდის ვერტიკალურად ქვევით მიმართულ აჩქარებას $a_y=-9{,}8 \dfrac{\text{მ}}{\text{წმ}^2}$a, start subscript, y, end subscript, equals, minus, 9, comma, 8, start fraction, start text, მ, end text, divided by, start text, წ, მ, end text, squared, end fraction, რომელიც გამოწვეულია გრავიტაციით. გამომდინარე იქიდან, რომ ვერტიკალური აჩქარება მუდმივია, ჩვენ შეგვიძლია, ვიპოვოთ ვერტიკალური ცვლადები ქვემოთ მოცემული ოთხი განტოლების კინემატიკის ფორმულების დახმარებით.

ამ შემთხვევაშიც აუცილებელია დავრწმუნდეთ, რომ ვერტიკალური მოძრაობისთვის ჩაწერილ განტოლებებში ვიყენებთ მხოლოდ ვერტიკალურ ცვლადებს. თუ ვიცით ნებისმიერი სამი ცვლადი ამ განტოლებებში, ჩვენ შეგვიძლია, მათი მეშვეობით გამოვსახოთ ნებისმიერი სხვა უცნობი ცვლადი.

შენიშვნა: მოცემული პროცესისთვის დროის ინტერვალი $t$t ერთი და იგივეა ვერტიკალური და ჰორიზონტალური მოძრაობის განტოლებებისთვის. ეს ნიშნავს, რომ ერთ-ერთი მათგანიდან ამოხსნილი დრო $t$t შეგვიძლია გამოვიყენოთ, როგორც ვერტიკალური, ისე ჰორიზონტლური მოძრაობისთვის ჩაწერილ განტოლებებში. ამ სტრატეგიის გამოყენება ხელსაყრელია ძალიან ბევრ ამოცანაში. ძალიან ხშირად ჩვენ გვიწევს ამოვხსნათ დრო $t$t ვერტიკალური განტოლებებიდან და გამოვიყენოთ ის ჰორიზონტალურ განტოლებებში (ან პირიქით).

ძალიან ხშირად ადამიანები იყენებენ მოძრაობის ვერტიკალურ კომპონენტებს მოძრაობის ჰორიზონტალურ განტოლებაში, ან პირიქით. კუთხით გასროლილი სხეულის მოძრაობის ანალიზი ორივე მიმართულებით (ჰორიზონტლური და ვერტიკალური) ცალ-ცალკე სწორ შედეგს მოგვცემს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთმანეთში არ ავურევთ მოძრაობის ჰორიზონტალურ და ვერტიკალურ ($x$x და $y$y) მახასიათებლებს.

საწყისი სიჩქარე, რომელიც დიაგონალურადაა მიმართული, უნდა დაიშალოს ვერტიკალურ და ჰორიზონტალურ კომპონენტებად. ხშირად ადამიანებისთვის ამის გაკეთება რთულია ხოლმე. იხილეთ ეს სტატია ტრიგონომეტრიაზე, რომელსაც ვიყენებთ სიჩქარის ვექტორის მდგენელებად დასაშლელად.

როდესაც სხეული გასროლილია ჰორიზონტალურად, მისი საწყისი ვერტიკალური სიჩქარე არის ნული $\red {v_{0y}=0}$start color #df0030, v, start subscript, 0, y, end subscript, equals, 0, end color #df0030 (ქვემოთ იხილეთ მაგალითი). სწავლის პროცესში ხშირად უჭირთ ხოლმე აღქმა, როგორ ხდება, რომ საწყის მომენტში სხეულს აქვს არანულოვანი ჰორიზონტალური, თუმცა ნულოვანი ვერტიკალური სიჩქარე.

$H=23{,}0\text{ მ}$H, equals, 23, comma, 0, start text, space, მ, end text სიმაღლის მქონე შენობის სახურავიდან $v_0=8{,}31 \dfrac{\text მ}{\text{წმ}}$v, start subscript, 0, end subscript, equals, 8, comma, 31, start fraction, start text, მ, end text, divided by, start text, წ, მ, end text, end fraction საწყისი სიჩქარით ჰორიზონტალურად გაისროლეს წყლიანი ბუშტი.

დავიწყოთ დიაგრამის აგებით, რომელიც შეიცავს ამოცანის პირობაში მოცემულ ინფორმაციას.

თუ ჩვენ ვიპოვით ფრენის მთლიან დროს, შეგვეძლება $\Delta x=v_xt$delta, x, equals, v, start subscript, x, end subscript, t ფორმულის გამოყენებით ჰორიზონტალურად გავლილი მანძილის გაგებაც. ფრენის დროის საპოვნელად გავითვალისწინოთ, რომ ვიცით სამი ცვლადი, რომლებიც ახასიათებს ვერტიკალურ მოძრაობას ($\Delta y=-23{,}0\text { მ}$delta, y, equals, minus, 23, comma, 0, start text, space, მ, end text, $v_{0y}=0$v, start subscript, 0, y, end subscript, equals, 0, $a=-9{,}8\dfrac{\text მ}{\text {წმ}^2}$a, equals, minus, 9, comma, 8, start fraction, start text, მ, end text, divided by, start text, წ, მ, end text, squared, end fraction).

ამრიგად, ჩვენ გამოვიყენებთ კინემატიკურ ფორმულას ვერტიკალური მიმართულებისთვის, რათა გავიგოთ მოძრაობის სრული დრო $t$t. გამომდინარე იქიდან, რომ არ ვიცით საბოლოო სიჩქარე $v_y$v, start subscript, y, end subscript და ამოცანაც არ გვთხოვს მის გაგებას, გამოვიყენოთ კინემატიკური ფორმულა, რომელიც არ შეიცავს საბოლოო სიჩქარეს.

შევიტანოთ $t$t დროისთვის მიღებული შედეგი ჰორიზონტალური მოძრაობისთვის ჩაწერილ განტოლებაში და გამოვთვალოთ ჰორიზონტალური გადაადგილება $\Delta x$delta, x.

$\Delta x=(8{,}31 \dfrac{\text მ}{\text წმ})(2{,}17\text { წმ}) \quad \text{(შევიტანოთ ფრენის დრო და } v_x)$delta, x, equals, left parenthesis, 8, comma, 31, start fraction, start text, მ, end text, divided by, start text, წ, end text, მ, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 2, comma, 17, start text, space, წ, მ, end text, right parenthesis, start text, left parenthesis, შ, ე, ვ, ი, ტ, ა, ნ, ო, თ, space, ფ, რ, ე, ნ, ი, ს, space, დ, რ, ო, space, დ, ა, space, end text, v, start subscript, x, end subscript, right parenthesis

ეს ნიშნავს, რომ ბუშტი მიწას დაეცემა შენობის ძირიდან $18{,}0 \text{ მ}$18, comma, 0, start text, space, მ, end text მანძილზე.

$H=18{,}0 \text{ მ}$H, equals, 18, comma, 0, start text, space, მ, end text სიმაღლის კლდიდან საჰაერო ჭავლის გამოყენებით ვისროლეთ გოგრა, რომელსაც მივანიჭეთ $v_0=11{,}4 \dfrac{\text მ}{\text წმ}$v, start subscript, 0, end subscript, equals, 11, comma, 4, start fraction, start text, მ, end text, divided by, start text, წ, end text, მ, end fraction საწყისი სიჩქარე. გასროლის კუთხე, როგორც დიაგამაზეა ნაჩვენები, არის $\theta=52{,}1^\circ$theta, equals, 52, comma, 1, degrees.

რას უდრის გოგრის სიჩქარე მიწასთან შეჯახების მომენტში?

თუ შევძლებთ, გავიგოთ საბოლოო სიჩქარის კომპონენტები ($v_x$v, start subscript, x, end subscript და $v_y$v, start subscript, y, end subscript), გვეცოდინება აგრეთვე სიჩქარე, როგორც ვექტორული სიდიდე.

თავდაპირველად საჭიროა, ვიპოვოთ საწყისი სიჩქარის კომპონენტები ($v_{0x}$v, start subscript, 0, x, end subscript and $v_{0y}$v, start subscript, 0, y, end subscript) სინუსისა და კოსინუსის განმარტებების გამოყენებით.

(შენიშვნა: თუ ეს ყველაფერი რთული მოგეჩვენათ, იხილეთ ეს სტატია, რომელიც დაგეხმარებათ, გაერკვეთ, თუ როგორ დაშალოთ ვექტორი კომპონენტებად.)

ჩვენ მიერ ნაპოვნი სიჩქარის ჰორიზონტალური კომპონენტი $v_{0x}=7{,}00 \dfrac{\text მ}{\text წმ}$v, start subscript, 0, x, end subscript, equals, 7, comma, 00, start fraction, start text, მ, end text, divided by, start text, წ, end text, მ, end fraction აგრეთვე იქნება საბოლოო სიჩქარის ჰორიზონტალური კომპონენტი $v_x=7{,}00 \dfrac{\text მ}{\text წმ}$v, start subscript, x, end subscript, equals, 7, comma, 00, start fraction, start text, მ, end text, divided by, start text, წ, end text, მ, end fraction, რადგან ვიცით, რომ სიჩქარის ჰორიზონტალური კომპონენტი მუდმივია მთელი მოძრაობის განმავლობაში (ვთლით, რომ არ გვაქვს ჰაერის წინააღმდეგობა).

საწყისი სიჩქარის ვერტიკალური კომპონენტის საპოვნელად გამოვიყენებთ ზუსტად იმავე მიდგომას, რომელიც გამოვიყენეთ ჰორიზონტალური სიჩქარის შემთხვევაში, თუმცა კოსინუსის მაგივრად სინუსის დახმარებით.

რადგან სიჩქარის ვერტიკალური კომპონენტი $v_y$v, start subscript, y, end subscript სხეულის მოძრაობისას იცვლება, კინემატიკური განტოლებების დახმარებით უნდა ვიპოვოთ საბოლოო სიჩქარის ვერტიკალური კომპონენტი. რადგან არ ვიცით მოძრაობის მთლიანი დრო $t$t და არც ამოცანის პირობა გვავალებს მის გაგებას, გამოვიყენოთ კინემატიკური ფორმულა, რომელიც არ შეიცავს დროს $t$t.

ახლა კი პითაგორას თეორემის გამოყენებით შეგვიძლია გავიგოთ საბოლოო სიჩქარე (საბოლოო სიჩქარის აბსოლუტური მნიშვნელობა, იგივე მოდული).

მიღებული შედეგი $v=21{,}9 \dfrac{\text {მ}}{\text {წმ}}$v, equals, 21, comma, 9, start fraction, start text, მ, end text, divided by, start text, წ, მ, end text, end fraction არის საბოლოო სიჩქარის ვექტორის სიგრძე (მოდული) მიწასთან შეჯახების მომენტში. კავშირი საბოლოო სიჩქარესა და მის კომპონენტებს შორის ნაჩვენებია ქვემოთ დიაგრამაზე.

ტანგენსის განმარტების გამოყენებით ასევე შეგვიძლია, გავიგოთ კუთხე $\phi$\phi საბოლოო სიჩქარესა და ჰორიზონტალურ მიმართულებებს შორის.

$\text{tan}\phi=\dfrac{20{,}8\dfrac{\text მ}{\text წმ}}{7{,}00\dfrac{\text მ}{\text წმ}}$start text, t, a, n, end text, \phi, equals, start fraction, 20, comma, 8, start fraction, start text, მ, end text, divided by, start text, წ, end text, მ, end fraction, divided by, 7, comma, 00, start fraction, start text, მ, end text, divided by, start text, წ, end text, მ, end fraction, end fraction

ტოლობის ორივე მხარის შებრუნებული ტანგენსის დათვლით მივიღებთ,

მარცხენა მხარე ხდება პირდაპირ $\phi$\phi, ხოლო მარჯვენა მხარის მნიშვნელობის პოვნა შეგვიძლია კალკულატორის დახმარებით.