ძირითადი მასალა

კურსი: ფიზიკა > თემა 7

გაკვეთილი 2: ძალის მომენტი, მომენტები და იმპულსის მომენტი

ინერციის მომენტი

ისწავლეთ, როგორ გავლენას ახდენს მასის განაწილება კუთხური აჩქარების გამოწვევის სირთულეზე.

რა არის ბრუნვის ინერცია?

ბრუნვის ინერცია არის ნებისმიერი სხეულის თვისება, რომელსაც შეუძლია ბრუნვა. ის არის სკალარული სიდიდე, რომელიც გვეუბნება, თუ რამდენად რთულია მოცემული ბრუნვის ღერძის მიმართ სხეულის ბრუნვის სიჩქარის შეცვლა.

ბრუნვის ინერცია იმავე როლს თამაშობს ბრუნვის მექანიკაში, რასაც მასა - წრფივ მექანიკაში. მართლაც, ბრუნვის ინერცია დამოკიდებულია სხეულის მასაზე. ის ასევე დამოკიდებულია მასის განაწილებაზე ბრუნვის ღერძის მიმართ.

როდესაც მასა უფრო შორს მიდის ბრუნვის ღერძიდან, სისტემის ბრუნვის სიჩქარის შეცვლა უფრო რთული ხდება. ინტუიციურად, ეს იმიტომ ხდება, რომ ამ მასას ასეთ შემთხვევაში გადააქვს უფრო დიდი იმპულსი წრეწირის ირგვლივ (უფრო დიდი სიჩქარის გამო) და იმპულსის ვექტორი უფრო სწრაფად იცვლება. ორივე ეს ეფექტი დამოკიდებულია ღერძიდან დაშორებაზე.

ბრუნვის ინერციას აღვნიშნავთ სიმბოლოთი

I

. ერთი სხეულისთვის, მაგალითად, ჩოგბურთის ბურთისთვის, მასით

m

(ნაჩვენებია სურათზე 1), რომელიც ბრუნვის ღერძიდან დაშორებულია

r

მანძილით, ბრუნვის ინერციაა

I = m r^{2}

შესაბამისად, SI სისტემაში ბრუნვის ინერციის ერთეულია

კ გ \cdot მ^{2}

ბრუნვის ინერცია ასევე ცნობილია, როგორც ბრუნვის მომენტი. ხანდახან მას უწოდებენ მასის მეორე მომენტსაც; 'მეორე' იმიტომ, რომ ის დამოკიდებულია მომენტის მხრის სიგრძის კვადრატზე.

როგორაა დაკავშირებული ბრუნვის ინერცია ნიუტონის მე-2 კანონთან?

ნიუტონის მე-2 კანონის ბრუნვით ვერსიაში ბრუნვის ინერცია იკავებს მასის ადგილს.

განვიხილოთ უმასო ღეროზე დამაგრებული

m

მასის სხეული. ღეროს მეორე ბოლო ისეა დამაგრებული, რომ მას შეუძლია ბრუნვა დამაგრების წერტილის ირგვლივ, როგორც სურათ 2-ზეა ნაჩვენები.

ჩვენ სისტემის ბრუნვის გამოწვევა შეგვიძლია მასაზე

F_{ტ}

ტანგენციალური ძალის მოდებით. ნიუტონის მე-2 კანონიდან

F_{ტ} = m a_{ტ}

ამის ჩაწერა შემდეგნაირადაც შეგვიძლია

F_{ტ} = m (r α)

ნიუტონის მე-2 კანონი ერთმანეთთან აკავშირებს ძალასა და აჩქარებას. ბრუნვის მექანიკაში ძალის მომენტი

τ

ასრულებს ძალის როლს. ორივე მხრის რადიუსზე გამრავლება მოგვცემს სასურველ განტოლებას.

\begin{aligned} F_{T} r & = m (r α) r \\ τ & = m r^{2} α \\ τ & = I α \end{aligned}

ახლა ამ განტოლების გამოყენება შეიძლება იმის საპოვნელად, თუ როგორ მოიქცევა მასა ცნობილი ძალის მომენტის საპასუხოდ.

სავარჯიშო 1a:

ძრავა, რომელსაც შეუძლია $100 ნ მ$ ‍ მუდმივი ძალის მომენტისა და $150 რ ა დ / ს$ ‍ მაქსიმალური კუთხური სიჩქარის წარმოქმნა, მიერთებულია $0, 1 კ გ მ^{2}$ ‍ ბრუნვის ინერციის მქონე თვალთან. როგორი კუთხური აჩქარება ექნება თვალს ძრავის ჩართვის შემდეგ?

სავარჯიშო 1b:

რამდენ ხანში მიაღწევს ის დამყარებულ სიჩქარეს, თუ თავდაპირველად უძრავი იყო?
გამოვიყენოთ ბრუნვის კინემატიკა,
$ω = ω_{0} + α t$ ‍
რადგან ჩვენ ვიცით მაქსიმალური კუთხური სიჩქარე, შეგვიძლია, ამოვხნათ დრო, რომელიც საჭირო იქნება ამ კუთხური სიჩქარის მისაღწევად.
$\begin{aligned} t & = \frac{ω_{\max}}{α} \\ = \frac{150 რ ა დ / წ მ}{1000 რ ა დ / წ მ^{2}} \\ = 0, 15 წ მ \end{aligned}$ ‍

როგორ შეგვიძლია ბრუნვის ინერციის გამოთვლა ზოგად შემთხვევაში?

ძალიან ხშირად მექანიკური სისტემები კომპლექსური ფორმისაა ან შედგება ერთმანეთთან დაკავშრებული ბევრი მასისგან.

ნებისმიერი ფორმისთვის და ნებისმიერი ბრუნვის ღერძისთვის ჯამური ბრუნვის ინერციის პოვნა შესაძლებელია თითოეული მასის ბრუნვის ინერციების შეჯამებით.

\begin{aligned} I & = m_{1} r_{1}^{2} + m_{2} r_{2}^{2} + \dots \\ = Σ m_{i} r_{i}^{2} \end{aligned}

სავარჯიშო 2a:

განვიხილოთ სურათ 3(a)-ზე ნაჩვენები სხეული. როგორია მისი ბრუნვის ინერცია?

სავარჯიშო 2b:

განვიხილოთ სურათ 3(b)-ზე ნაჩვენები იგივე სისტემა, რომელიც ბრუნავს სხვა ბრუნვის ღერძის მიმართ. თქვენი ვარაუდით, როგორია ამ შემთხვევაში ბრუნვის ინერცია?
მიუხედავად იმისა, რომ მასათა სისტემა იგივეა, ისინი ბრუნავენ უფრო ახლოს მყოფი ბურნვის ღერძის მიმართ. ბრუნვის ღერძიდან მანძილის კვადრატზე დამოკიდებულების გამო კი ჩვენ შეგვიძლია, ვივარაუდოთ, რომ ბრუნვის ინერცია საგრძნობლად უნდა შემცირდეს.
$\begin{aligned} I & = (2 კ გ \cdot 0, 5^{2} მ^{2}) + (1 კ გ \cdot 0, 5^{2} მ^{2}) + (1 კ გ \cdot 0, 5^{2} მ^{2}) + (1 კ გ \cdot 0, 5^{2} მ^{2}) \\ = 1, 25 კ გ \cdot მ^{2} \end{aligned}$ ‍

როგორ ვიპოვოთ ბრუნვის ინერცია არაერთგვაროვანი ფიგურებისთვის?

ბრუნვის ინერციის საპოვნელად უფრო ჩახლართული ფორმებისთვის ზოგადად საჭირო ხდება კალკულუსის გამოყენება. თუმცა გავრცელებული გეომეტრიული ფორმებისთვის ბრუნვის ინერციების ფორმულების სიის ნახვა წიგნებში ან სხვა წყაროებში შეგიძლიათ. ეს, სავარაუდოდ, მოგცემთ ბრუნვის ინერციას ფიგურის ცენტროიდის მიმართ (რომელიც ხშირად ემთხვევა მასათა ცენტრს).

მაგალითად,

r

რადიუსიანი ცილინდრის ბრუნვის ინერცია ცენტრალური ღერძის მიმართ არის

I = \frac{1}{2} m r^{2}

ხოლო ცილინდრული შრისთვის შიდა და გარე რადიუსებით

r_{i}

და

r_{o}

I = \frac{m (r_{i}^{2} + r_{o}^{2})}{2}

სხვა მარტივი ფიგურებისთვის ბრუნვის ინერციები მოცემულია სურათ 4-ზე.

ხშირად კომპლექსური ფიგურების წარმოდგენა შესაძლებელია მარტივი ფიგურების ერთობლიობის სახით, რომელთათვისაც ცნობილია ბრუნვის ინერციის ფორმულები. შემდეგ ჩვენ შეგვიძლია ამ ბრუნვის ინერციების გაერთიანება და მისი პოვნა შედგენილი სხეულისთვის.

ხანდახან ასევე შესაძლებელია ბრუნვის ინერციის პოვნა ერთგვაროვანი სიმკვირივის სხეულისთვის, რომელსაც აქვს სიცარიელე. ამის გაკეთება შეიძლება ამ ცარიელი ადგილის ბრუნვის მომენტის უარყოფითად ჩათვლით.

პრობლემა, რომელსაც შეიძლება წავაწყდეთ მარტივი ფიგურების გაერთიანებისას არის ის, რომ ფორმულები გვეუბნება ცენტროიდის მიმართ დათვლილ ბრუნვის ინერციას, რომელიც სულაც არაა აუცილებელი, რომ შეესაბამებოდეს შედგენილი ფიგურის ბრუნვის ღერძს. ამ პრობლემის მოგვარება შეგვიძლია პარალელური ღერძების თეორემით.

პარალელური ღერძების თეორემის გამოყენებით ჩვენ შეგვიძლია ინერციის მომენტის პოვნა

o

წერტილის მიმართ, თუ ვიცით მისი ინერციის მომენტი

c

წერტილის, ანუ ცენტროიდის, მიმართ, მასა

m

და

d

მანძილი

o

და

c

წერტილებს შორის.

I_{o} = I_{c} + m d^{2}

სავარჯიშო 3:

სურათ 5-ზე ნაჩვენებ რგოლზე, რომლის მასაც არის $100 კ გ$ ‍, შედუღებულია სამი $10 მ მ$ ‍ სისქის დისკი (თითოეულის მასაა $50 კ გ$ ‍). როგორია ბრუნვის ინერცია ცენტრალური ღერძის მიმართ (ეკრანიდან მაღლა) ბრუნვისას?
ამოხსნა:
დავიწყოთ ცალკეული კომპონენტების ინერციის მომენტის პოვნით.
დიდი დისკის ინერციის მომენტის, $I_{b}$ ‍, პოვნა შეგვიძლია ცილინდრული შრისთვის უკვე მოცემული განტოლების გამოყენებით. რადგან მისი ცენტროიდი ემთხვევა ბრუნვის ღერძს, არანაირი შესწორება არაა საჭირო.
$\begin{aligned} I_{b} & = \frac{1}{2} m (r_{i}^{2} + r_{o}^{2}) \\ = \frac{1}{2} (100 კ გ) \cdot (0, 75^{2} + 1^{2}) მ^{2} \\ ≃ 78,125 კ გ \cdot მ^{2} \end{aligned}$ ‍
ჩავატაროთ იგივე პროცედურა პატარა დისკებისთვის. ჯერ საკუთარი ბრუნვის ღერძის მიმართ:
$\begin{aligned} I_{s} & = \frac{1}{2} m r_{c}^{2} \\ = \frac{1}{2} \cdot (50 \cdot კ გ) (0, 30 მ)^{2} \\ = 2, 25 კ გ \cdot მ^{2} \end{aligned}$ ‍
რადგან თითოეული ეს დისკი ბრუნავს თავიანითი ცენტროიდებიდან $d$ ‍ მანძილზე არსებული წერტილის მიმართ, ეფექტური ბრუნვის ინერციის, $I_{s}$ ‍, საპოვნელად ჩვენ შეგვიძლია, გამოვიყენოთ პარალელური ღერძების თეორემა.
$d = \frac{1}{2} (1 + 0, 75) = 0,875 მ$ ‍
$\begin{aligned} I_{s}^{'} & = I_{s} + m d^{2} \\ = (2, 25 კ გ \cdot მ^{2}) + (50 კ გ) \cdot (0,875 მ)^{2} \\ ≃ 40, 5 კ გ \cdot მ^{2} \end{aligned}$ ‍
რადგან სამივე დისკი ბრუნვის ღერძიდან თანაბარი მანძლითაა დაშორებული, ჩვენ შეგვიძლია ბრუნვის ინერციაში მათი წვლილის პოვნა, როგორც სამჯერ აღებული ერთი ნაწილისა. საბოლოოდ, სხეულის ბრუნვის ინერცია იქნება:
$\begin{aligned} I & ≃ 78 + 3 \cdot 40, 5 \\ ≃ 200 კ გ \cdot მ^{2} \end{aligned}$ ‍

კიდევ სად გვხვდება ფიზიკაში ბრუნვის ინერცია?

ბრუნვის ინერცია მნიშნელოვანია თითქმის ყველა ფიზიკურ ამოცანაში, რომელშიც გვხვდება მბრუნავი მასა. ის გამოიყენება კუთხური მომენტის საპოვნელად, რაც გვაძლევს საშუალებას (კუთხური მომენტის შენახვის გამოყენებით), დავადგინოთ, თუ როგორ იცვლება ბრუნვითი მოძრაობა მასის განაწილების ცვლილებისას. ის ასევე საჭიროა სხეულის ბრუნვითი მოძრაობით გამოწვეული კინეტიკური ენერგიის საპოვნელად.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.