ძირითადი მასალა

ფიზიკა

კურსი: ფიზიკა > თემა 7

გაკვეთილი 2: ძალის მომენტი, მომენტები და იმპულსის მომენტი

ინერციის მომენტი

ისწავლეთ, როგორ გავლენას ახდენს მასის განაწილება კუთხური აჩქარების გამოწვევის სირთულეზე.

რა არის ბრუნვის ინერცია?

ბრუნვის ინერცია არის ნებისმიერი სხეულის თვისება, რომელსაც შეუძლია ბრუნვა. ის არის სკალარული სიდიდე, რომელიც გვეუბნება, თუ რამდენად რთულია მოცემული ბრუნვის ღერძის მიმართ სხეულის ბრუნვის სიჩქარის შეცვლა.

ბრუნვის ინერცია იმავე როლს თამაშობს ბრუნვის მექანიკაში, რასაც მასა - წრფივ მექანიკაში. მართლაც, ბრუნვის ინერცია დამოკიდებულია სხეულის მასაზე. ის ასევე დამოკიდებულია მასის განაწილებაზე ბრუნვის ღერძის მიმართ.

როდესაც მასა უფრო შორს მიდის ბრუნვის ღერძიდან, სისტემის ბრუნვის სიჩქარის შეცვლა უფრო რთული ხდება. ინტუიციურად, ეს იმიტომ ხდება, რომ ამ მასას ასეთ შემთხვევაში გადააქვს უფრო დიდი იმპულსი წრეწირის ირგვლივ (უფრო დიდი სიჩქარის გამო) და იმპულსის ვექტორი უფრო სწრაფად იცვლება. ორივე ეს ეფექტი დამოკიდებულია ღერძიდან დაშორებაზე.

ბრუნვის ინერციას აღვნიშნავთ სიმბოლოთი I. ერთი სხეულისთვის, მაგალითად, ჩოგბურთის ბურთისთვის, მასით m (ნაჩვენებია სურათზე 1), რომელიც ბრუნვის ღერძიდან დაშორებულია r მანძილით, ბრუნვის ინერციაა

I, equals, m, r, squared

შესაბამისად, SI სისტემაში ბრუნვის ინერციის ერთეულია კ, გ, dot, მ, squared.

ბრუნვის ინერცია ასევე ცნობილია, როგორც ბრუნვის მომენტი. ხანდახან მას უწოდებენ მასის მეორე მომენტსაც; 'მეორე' იმიტომ, რომ ის დამოკიდებულია მომენტის მხრის სიგრძის კვადრატზე.

როგორაა დაკავშირებული ბრუნვის ინერცია ნიუტონის მე-2 კანონთან?

ნიუტონის მე-2 კანონის ბრუნვით ვერსიაში ბრუნვის ინერცია იკავებს მასის ადგილს.

განვიხილოთ უმასო ღეროზე დამაგრებული m მასის სხეული. ღეროს მეორე ბოლო ისეა დამაგრებული, რომ მას შეუძლია ბრუნვა დამაგრების წერტილის ირგვლივ, როგორც სურათ 2-ზეა ნაჩვენები.

ჩვენ სისტემის ბრუნვის გამოწვევა შეგვიძლია მასაზე F, start subscript, ტ, end subscript ტანგენციალური ძალის მოდებით. ნიუტონის მე-2 კანონიდან

F, start subscript, ტ, end subscript, equals, m, a, start subscript, ტ, end subscript.

ამის ჩაწერა შემდეგნაირადაც შეგვიძლია

F, start subscript, ტ, end subscript, equals, m, left parenthesis, r, alpha, right parenthesis.

ნიუტონის მე-2 კანონი ერთმანეთთან აკავშირებს ძალასა და აჩქარებას. ბრუნვის მექანიკაში ძალის მომენტი tau ასრულებს ძალის როლს. ორივე მხრის რადიუსზე გამრავლება მოგვცემს სასურველ განტოლებას.

\begin{aligned} F_T r &= m (r \alpha) r\\ \tau &= m r^2 \alpha \\ \tau &= I \alpha\end{aligned}

ახლა ამ განტოლების გამოყენება შეიძლება იმის საპოვნელად, თუ როგორ მოიქცევა მასა ცნობილი ძალის მომენტის საპასუხოდ.

სავარჯიშო 1a:

ძრავა, რომელსაც შეუძლია 100, space, ნ, მ მუდმივი ძალის მომენტისა და 150, space, რ, ა, დ, slash, ს მაქსიმალური კუთხური სიჩქარის წარმოქმნა, მიერთებულია 0, comma, 1, space, კ, გ, მ, squared ბრუნვის ინერციის მქონე თვალთან. როგორი კუთხური აჩქარება ექნება თვალს ძრავის ჩართვის შემდეგ?
[ამოხსნა]

სავარჯიშო 1b:

რამდენ ხანში მიაღწევს ის დამყარებულ სიჩქარეს, თუ თავდაპირველად უძრავი იყო?
[ამოხსნა]

როგორ შეგვიძლია ბრუნვის ინერციის გამოთვლა ზოგად შემთხვევაში?

ძალიან ხშირად მექანიკური სისტემები კომპლექსური ფორმისაა ან შედგება ერთმანეთთან დაკავშრებული ბევრი მასისგან.

ნებისმიერი ფორმისთვის და ნებისმიერი ბრუნვის ღერძისთვის ჯამური ბრუნვის ინერციის პოვნა შესაძლებელია თითოეული მასის ბრუნვის ინერციების შეჯამებით.

\begin{aligned} I &= m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + \ldots \\ &= \Sigma m_i r_i^2 \end{aligned}

სავარჯიშო 2a:

განვიხილოთ სურათ 3(a)-ზე ნაჩვენები სხეული. როგორია მისი ბრუნვის ინერცია?
[ამოხსნა]

სავარჯიშო 2b:

განვიხილოთ სურათ 3(b)-ზე ნაჩვენები იგივე სისტემა, რომელიც ბრუნავს სხვა ბრუნვის ღერძის მიმართ. თქვენი ვარაუდით, როგორია ამ შემთხვევაში ბრუნვის ინერცია?
[ამოხსნა]

როგორ ვიპოვოთ ბრუნვის ინერცია არაერთგვაროვანი ფიგურებისთვის?

ბრუნვის ინერციის საპოვნელად უფრო ჩახლართული ფორმებისთვის ზოგადად საჭირო ხდება კალკულუსის გამოყენება. თუმცა გავრცელებული გეომეტრიული ფორმებისთვის ბრუნვის ინერციების ფორმულების სიის ნახვა წიგნებში ან სხვა წყაროებში შეგიძლიათ. ეს, სავარაუდოდ, მოგცემთ ბრუნვის ინერციას ფიგურის ცენტროიდის მიმართ (რომელიც ხშირად ემთხვევა მასათა ცენტრს).

მაგალითად, r რადიუსიანი ცილინდრის ბრუნვის ინერცია ცენტრალური ღერძის მიმართ არის

I, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, m, r, squared

ხოლო ცილინდრული შრისთვის შიდა და გარე რადიუსებით r, start subscript, i, end subscript და r, start subscript, o, end subscript

I, equals, start fraction, m, left parenthesis, r, start subscript, i, end subscript, squared, plus, r, start subscript, o, end subscript, squared, right parenthesis, divided by, 2, end fraction

სხვა მარტივი ფიგურებისთვის ბრუნვის ინერციები მოცემულია სურათ 4-ზე.

ხშირად კომპლექსური ფიგურების წარმოდგენა შესაძლებელია მარტივი ფიგურების ერთობლიობის სახით, რომელთათვისაც ცნობილია ბრუნვის ინერციის ფორმულები. შემდეგ ჩვენ შეგვიძლია ამ ბრუნვის ინერციების გაერთიანება და მისი პოვნა შედგენილი სხეულისთვის.

[მინიშნება]

პრობლემა, რომელსაც შეიძლება წავაწყდეთ მარტივი ფიგურების გაერთიანებისას არის ის, რომ ფორმულები გვეუბნება ცენტროიდის მიმართ დათვლილ ბრუნვის ინერციას, რომელიც სულაც არაა აუცილებელი, რომ შეესაბამებოდეს შედგენილი ფიგურის ბრუნვის ღერძს. ამ პრობლემის მოგვარება შეგვიძლია პარალელური ღერძების თეორემით.

პარალელური ღერძების თეორემის გამოყენებით ჩვენ შეგვიძლია ინერციის მომენტის პოვნა o წერტილის მიმართ, თუ ვიცით მისი ინერციის მომენტი c წერტილის, ანუ ცენტროიდის, მიმართ, მასა m და d მანძილი o და c წერტილებს შორის.

start box, I, start subscript, o, end subscript, equals, I, start subscript, c, end subscript, plus, m, d, squared, end box

სავარჯიშო 3:

სურათ 5-ზე ნაჩვენებ რგოლზე, რომლის მასაც არის 100, space, კ, გ, შედუღებულია სამი 10, space, მ, მ სისქის დისკი (თითოეულის მასაა 50, space, კ, გ). როგორია ბრუნვის ინერცია ცენტრალური ღერძის მიმართ (ეკრანიდან მაღლა) ბრუნვისას?
[ამოხსნა]

კიდევ სად გვხვდება ფიზიკაში ბრუნვის ინერცია?

ბრუნვის ინერცია მნიშნელოვანია თითქმის ყველა ფიზიკურ ამოცანაში, რომელშიც გვხვდება მბრუნავი მასა. ის გამოიყენება კუთხური მომენტის საპოვნელად, რაც გვაძლევს საშუალებას (კუთხური მომენტის შენახვის გამოყენებით), დავადგინოთ, თუ როგორ იცვლება ბრუნვითი მოძრაობა მასის განაწილების ცვლილებისას. ის ასევე საჭიროა სხეულის ბრუნვითი მოძრაობით გამოწვეული კინეტიკური ენერგიის საპოვნელად.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.