ძირითადი მასალა

კურსი: ფიზიკა > თემა 10

გაკვეთილი 1: ტემპერატურა, კინეტიკური თეორია და იდეალური აირის კანონი

რა არის მაქსველ-ბოლცმანის განაწილება?

აირში ბევრი ნაწილაკი მოძრაობს და მათ ბევრი სხვადასხვა სიჩქარე აქვს. აი, როგორ შეგვიძლია ამის წარმოდგენა.

რას წარმოადგენს მაქსველ-ბოლცმანის განაწილება?

ჩვენ ირგვლივ არსებული ჰაერის მოლეკულები სულაც არ მოძრაობენ ერთი და იმავე სიჩქარით მაშინაც კი, როცა ჰაერი მთლიანად ერთ ტემპერატურაზეა. ზოგიერთი მოლეკულა მოძრაობს ძალიან სწრაფად, ზოგი უფრო ნელა, სხვები კი საერთოდაც არ მოძრაობენ. ამიტომ კითხვას - „რა სიჩქარით მოძრაობს ჰაერში მოლეკულა" - არანაირი აზრი არ აქვს. მისი შესაძლო სიჩქარეების რაოდენობა ძალიან, ძალიან დიდია.

ამიტომ, იმის მაგივრად, რომ დავინტერესდეთ ერთ-ერთი მოლეკულის სიჩქარით, ჩვენ შეგვიძლია, დავსვათ შემდეგი კითხვა: „როგორია მოცემულ ტემპერატურაზე აირის მოლეკულების სიჩქარის განაწილება?" ამ კითხვაზე პასუხის პოვნა 1800-იანების შუა წლებსა და მიწურულს ჯეიმს კლერკ მაქსველმა და ლუდვიგ ბოლცმანმა მოახერხეს. მათ მიერ მიღებულ შედეგს დღეს მაქსველ-ბოლცმანის განაწილებას ვუწოდებთ, რადგან ის გვიჩვენებს, თუ როგორია სიჩქარეების განაწილება იდეალურ აირში. მაქსველ-ბოლცმანის განაწილება ხშირად წარმოდგენილია შემდეგი გრაფიკის სახით.

მაქსველ-ბოლცმანის გრაფიკში y ღერძზე გადაზომილი რიცხვები აღნიშნავენ სიჩქარის ერთეულში მოცემული მოლეკულების რაოდენობას. ამრიგად, თუ გრაფიკი სიჩქარის გარკვეულ რეგიონში მაღალია, ეს ნიშნავს, რომ ამ სიჩქარის მქონე მოლეკულების რაოდენობა უფრო დიდია.

დიახ, კარგი შენიშვნაა. რაოდენობა მოლეკულებისა, რომლებიც მოძრაობენ ზუსტად

231,461 91432032804 \frac{მ}{წმ}

სიჩქარით, ძალიან ახლოსაა ნულთან და, შესაბამისად, ალბათობა, რომ რომელიმე მოლეკულას მაინც ექნება ზუსტად ეს სიჩქარე, ასევე ძალიან მცირეა. ამ მიზეზით თქვენ შეიძლება იფიქროთ, რომ „მოლეკულათა რაოდენობის" გრაფიკი x ღერძზე გადაზომილი ნებისმიერი სიჩქარისთვის ნული უნდა იყოს.

ჩვენ შეგვიძლია ამ პრობლემის თავიდან არიდება x ღერძის დანაწევრებით

Δ v = 1 \frac{მ}{წ მ}

სიგრძის მქონე „ყუთებად". ამის შემდეგ ჩვენ, უბრალოდ, ავაგებთ იმ მოლეკულების რაოდენობათა გრაფიკს, რომელთა სიჩქარეც

v

-დან

v + 1 \frac{მ}{წ მ}

შუალედშია მოქცეული. ეს მოგვცემს არანულოვან მნიშვნელობებს. ჩვენ ასევე შეგვიძლია ''ყუთების" ზომის შემცირება ჩვენთვის სასურველი სიზუსტის მისაღწევად.

ამ პრობლემის საბოლოოდ მოსაგვარებლად ადამიანები ხშირად იყენებენ ალბათობის სიმკვრივის ცნებას და მოლეკულათა რაოდენობის მაგივრად სწორედ ამ სიდიდეს ზომავენ y ღერძზე. ალბათობის სიმკვრივე არის სიჩქარის ერთეულზე მოსული ალბათობა იმისა, რომ ეს სიჩქარე

v

ნაწილაკის რეალურ სიჩქარესთან ძალიან ახლოსაა.

შევნიშნოთ, რომ გრაფიკი არაა სიმეტრიული. მას აქვს უფრო გრძელი „კუდი" მაღალი სიჩქარეებისკენ. გრაფიკი გრძელდება მარჯვნივ უსასრულოდ დიდ სიჩქარეებამდე, მაგრამ მარცხნივ ის უნდა დამთავრდეს ნულთან (რადგან მოლეკულის სიჩქარე არ შეიძლება იყოს ნულზე ნაკლები).

მაქსველ-ბოლცმანის განაწილების ფაქტობრივი მათემატიკური განტოლება ცოტა შემაშინებელია და ძალიან ხშირად შესავლითი ალგებრის კურსებში მისი ცოდნა არც მოითხოვება.

კარგი, ესაა მაქსველ-ბოლცმანის განაწილების განტოლება.

f (v) = \sqrt{[\frac{m}{2 π k T}]^{3}} 4 π v^{2} e^{(- \frac{m v^{2}}{2 k T})}

სიდიდე

f (v)

წარმოადგენს ალბათობის სიმკვრივეს, როგორც სიჩქარის ფუნქციას. ეს განტოლება გვეუბნება, რომ ალბათობის სიმკვრივე დამოკიდებულია აირის ტემპერატურაზე

T

, მოლეკულების მასასა

m

და ბოლცმანის მუდმივაზე

k

. ალბათობის სიმკვრივე ვერტიკალურ ღერძზე გადაზომილი მოლეკულათა რაოდენობის ალტერნატიული სიდიდეა. ალბათობის სიმკვრივე წარმოადგენს ერთეულ სიჩქარეზე ალბათობას იმისა, რომ ეს სიჩქარე

v

საკმარისად ახლოს იქნება შემთხვევით ამოღებული ნაწილაკის სიჩქარესთან.

მაქსველ-ბოლცმანის განაწილების კონცეპტუალური იდეის გასააზრებლად სულაც არაა საჭირო ზემოთ მოყვანილი განტოლების სრული გაგება. ამიტომ, ნუ ინერვიულებთ, თუ ეს განტოლება მათემატიკურ ჯადოქრობად გეჩვენებათ.

რას ნიშნავს საშუალო კვადრატული სიჩქარე?

თქვენ შეიძლება, ფიქრობთ, რომ სიჩქარე, რომელიც ზუსტად მაქსველ-ბოლცმანის გრაფიკის პიკის ქვემოთაა, არის აირის მოლეკულების საშუალო სიჩქარე, თუმცა ეს არ არის სიმართლე. სიჩქარეს, რომელიც ზუსტად პიკის ქვემოთაა, ეწოდება

ყველაზე მოსალოდნელი სიჩქარე v_{p}

, რადგან ესაა სიჩქარე, რომელიც ყველაზე დიდი ალბათობით ექნება აირიდან შემთხვევით არჩეულ მოლეკულას.

მოლეკულების

საშუალო სიჩქარე v_{ს ა შ}

სინამდვილეში მდებარეობს პიკისგან ოდნავ მარჯვნივ. ამის მიზეზი არის მაქსველ-ბოლცმანის გრაფიკის გრძელი „კუდი" მარჯვენა მხარეს. ეს გრძელი კუდი საშუალო სიჩქარეს ოდნავ მარჯვნივ წევს გრაფიკის პიკიდან.

კიდევ ერთი სასარგებლო სიდიდე არის

საშუალო კვადრატული სიჩქარე v_{ს კ}

. ეს სიდიდე საინტერესოა იმიტომ, რომ მისი განმარტება მისსავე სახელშია ჩამალული. საშუალო კვადრატული სიჩქარე არის კვადრატული ფესვი სიჩქარეების კვადრატების საშუალოდან. მათემატიკურად მისი ჩაწერა შემდეგნაირად შეიძლება,

v_{ს კ} = \sqrt{\frac{1}{N} (v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2} + …)}

შეიძლება, მოგეჩვენოთ, რომ საშუალო მნიშვნელობის პოვნის ეს ტექნიკა არასაჭიროდ რთულია, რადგან გვიწევს ყველა სიჩქარის კვადრატში აყვანა, შემდეგ კი ფესვის ამოღება. კი მაგრამ, „უბრალოდ რატომ არ ვპოულობთ სიჩქარეების საშუალოს?" უნდა გვახსოვდეს, რომ სიჩქარე არის ვექტორი და მას აქვს მიმართულება. აირის მოლეკულათა საშუალო სიჩქარე არის ნული, რადგან მასში სწორედ იმდენივე მოლეკულა მოძრაობს მარჯვნივ (+ სიჩქარე), რამდენიც მარცხნივ (- სიჩქარე). სწორედ ამიტომ აგვყავს სიჩქარეები კვადრატში, რათა ყველა მათგანი ვაქციოთ დადებით სიდიდედ. ეს კი უზრუნველყოფს იმას, რომ საშუალო სიჩქარე არ გამოგვივიდეს ნული. ფიზიკოსები ხშირად იყენებენ ამ მეთოდს, როდესაც უნდათ რაიმე ისეთი სიდიდეების საშუალოს გაგება, რომლებიც იღებენ დადებით და უარყოფით მნიშვნელობებს (მაგალითად, ძაბვა და დენი ცვლადი დენის წრედებში).

საშუალო კვადრატული სიჩქარის განხილვა სასარგებლოა, რადგან კინეტიკური ენერგია სწორედ სიჩქარის კვადრატის პროპორციულია (

K = \frac{1}{2} m v^{2}

). ამიტომ, საშუალო კინეტიკური ენერგიის საპოვნელად

K_{a v g}

საჭიროა სიჩქარეთა კვადრატების საშუალოს პოვნა.

K_{ს ა შ} = \frac{1}{N} (K_{1} + K_{2} + K_{3} + …)

K_{ს ა შ} = \frac{1}{N} (\frac{1}{2} m v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m v_{2}^{2} + \frac{1}{2} m v_{3}^{2} + …)

K_{ს ა შ} = \frac{1}{2} m [\frac{1}{N} (v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2} + …)]

K_{ს ა შ} = \frac{1}{2} m v_{ს კ}^{2}

ამრიგად, აირის მოლეკულათა საშუალო კინეტიკური ენერგია საშუალო კვადრატული სიჩქარის კვადრატის პროპორციულია. უცნაურად ჟღერს, რომ საშუალო კინეტიკური ენერგია საშუალო სიჩქარის კი არა, საშუალო კვადრატული სიჩქარის პროპორციულია, თუმცა საშუალო კინეტიკური ენერგიის საპოვნელად საჭიროა კვადრატების საშუალოს და არა საშუალოს კვადრატის გამოთვლა.

უნდა აღინიშნოს, რომ სამივე ეს სიდიდე (

v_{მ}

v_{ს ა შ}

, and

v_{ს კ}

) საკმაოდ დიდია ოთახის ტემპერატურაზე მყოფი აირისთვისაც კი. მაგალითად, ოთახის ტემპერატურაზე (

293 K

) მყოფი ნეონისთვის ყველაზე მოსალოდნელი სიჩქარე, საშუალო სიჩქარე და საშუალო კვადრატული სიჩქარე არის

v_{მ} = 491 \frac{მ}{წ მ}

(ან

1100 \frac{მილი}{სთ})

v_{ს ა შ} = 554 \frac{მ}{წ მ}

(ან

1240 \frac{მილი}{სთ})

v_{ს კ} = 602 \frac{მ}{წ მ}

(ან

1350 \frac{მილი}{სთ})

რა მნიშვნელობა აქვს მაქსველ-ბოლცმანის გრაფიკის მიერ შემოსაზღვრულ ფართობს?

მაქსველ-ბოლცმანის გრაფიკში y ღერძზე გადაზომილი სიდიდე გვიჩვენებს სიჩქარის ერთეულში მოლეკულათა რაოდენობას. ფართობი კი, რომელიც ამ გრაფიკსა და x ღერძს შორისაა მოქცეული, უდრის ნაწილაკთა სრულ რაოდენობას მოცემულ აირში.

თუ აირს გავაცხელებთ, გრაფიკის მაქსიმალური მნიშვნელობა მარჯვნივ გადაიწევს (რადგან მოლეკულების საშუალო სიჩქარე გაიზრდება). იმისთვის, რომ მრუდის ქვემოთ მოქცეული ფართობი შენარჩუნდეს, მისმა მარჯვნივ გაწევამ სიმაღლის შემცირება უნდა გამოიწვიოს. ანალოგიურად, როდესაც აირი ცივდება, გრაფიკის პიკი იწევს მარცხნივ. გრაფიკის მარცხნივ გაწევა კი მისი სიმაღლის ზრდას იწვევს იმავე მიზეზით. ამ ყველაფრის ნახვა შეგიძლიათ ქვედა სურათზე, რომელზეც ნაჩვენებია ერთი და იმავე აირის შესაბამისი გრაფიკი სხვადასხვა ტემპერატურაზე.

როდესაც აირი ცივდება, მისი გრაფიკი ხდება უფრო მაღალი და უფრო ვიწრო. ამის მსგავსად, როდესაც აირი ცხელდება, მისი გრაფიკის სიმაღლე იკლებს და ხდება უფრო ფართო. ეს ხდება იმისთვის, რომ მრუდის ქვეშ მოქცეული ფართობი (მაგალითად, მოლეკულების ჯამური რაოდენობა) დარჩეს უცვლელი.

თუ აირში იზრდება მოლეკულების რაოდენობა, მაშინ მრუდის ქვეშ არსებული ფართობიც გაიზრდება, ხოლო მოლეკულების რაოდენობის შემცირებისას მრუდის ფართობიც შემცირდება.

როგორია ამოხსნილი ამოცანები მაქსველ-ბოლცმანის განაწილების გამოყენებით?

მაგალითი 1: აირის გაცივება

ორატომიანი აზოტის აირი მოთავსებულია დალუქულ კონტეინერში. კონტეინერი შემდეგ მოთავსებულია ყინულის აბაზანაში და მასში მყარდება დაბალი, აბაზანასთან წონასწორული ტემპერატურა.

რა მოსდით ჩამოთვლილ სიდიდეებს აირის გაცივებისას? (აირჩიეთ ორი სწორი პასუხი)

(Choice A)
აირის საშუალო კვადრატული სიჩქარე იზრდება
(Choice B)
მოლეკულების რაოდენობისა და სიჩქარის გრაფიკი ხდება უფრო ვიწრო
(Choice C)
აირის მოლეკულების საშუალო სიჩქარე მცირდება
(Choice D)
მოლეკულების რაოდენობისა და სიჩქარის გრაფიკის მაქსიმალური სიმაღლე მცირდება

როდესაც აირი ცივდება, საშუალო სიჩქარე მცირდება, რადგან ცივ აირში მოლეკულები უფრო ნელა მოძრაობენ.

გარდა ამისა, აირის გაცივებისას მოლეკულათა რაოდენობისა და სიჩქარის გრაფიკი გახდება უფრო ვიწრო. ვინაიდან დალუქულ კონტეინერში მოთავსებული აირის მოლეკულების რაოდენობა არ იცვლება, ფართობი მრუდის ქვემოთ მუდმივი დარჩება. მაქსიმალური მნიშვნელობის მარცხნივ გაწევისას მისი სიმაღლეც გაიზრდება, რათა შენარჩუნდეს ფართობი, შესაბამისად, გაცივებისას მრუდი უფრო მაღალი და ვიწრო გახდება.

მაგალითი 2: ცვლილება აირში

აირს აქვს სიჩქარეთა განაწილება, რომელიც ნაჩვენებია ქვემოთ.

ჩამოთვლილთაგან რომელი მოქმედებით შეგვიძლია გრაფიკის შეცვლა მრუდ 1-დან მრუდ 2-ში, როგორც ნაჩვენებია ქვემოთ?

(Choice A)
სხვა, უფრო ცხელი აირის მოლეკულები შედიან ჩვენს აირში და მოდიან მასთან წონასწორობაში
(Choice B)
აირის ზოგიერთი მოლეკულა ტოვებს განსახილველ ნიმუშს, დარჩენილ აირს კი ვაცხელებთ დალუქულ კონტეინერში
(Choice C)
აირის ზოგიერთი მოლეკულა ტოვებს განსახილველ ნიმუშს, დარჩენილ აირს კი ვაცივებთ დალუქულ კონტეინერში
(Choice D)
მოლეკულების რაოდენობას ვტოვებთ უცვლელად, თუმცა ვაცივებთ აირს დალუქულ კონტეინერში

რადგან გრაფიკის ქვემოთ მოქცეული ფართობი მცირდება, აირის ზოგიერთმა მოლეკულამ უნდა დატოვოს ნიმუში. გარდა ამისა, რადგან გრაფიკის მაქსიმუმის წერტილმა გაიწია მარცხნივ, მოლეკულათა საშუალო სიჩქარე შემცირდა, ანუ, დარჩენილი აირის ტემპერატურაც შემცირდა.

ამრიგად, აირიდან მოლეკულების გამოშვება და შემდეგ მისი გაცივება გამოიწვევს ცვლილებებს, რომლებიც ჩანს განაწილების გრაფიკზე.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.