ძირითადი მასალა

კურსი: ფიზიკა > თემა 6

გაკვეთილი 3: მასათა ცენტრი

რა არის მასათა ცენტრი?

ისწავლეთ მასათა ცენტრის განმარტება და ისწავლეთ მისი გამოთვლა.

რა არის მასათა ცენტრი?

მასათა ცენტრი არის მდებარეობა, რომელიც განსაზღვრულია სხეულთან ან სხეულების სისტემასთან მიმართებით. ეს არის სისტემის სხეულთა მასებით შეწონილი მათი საშუალო მდებარეობა.

მარტივი მყარი სხეულებისთვის, რომლებსაც ერთგვარონი სიმკვრივე აქვთ, მასათა ცენტრი მდებარეობს ცენტროიდში. მაგალითად, ერთგვაროვანი დისკისთვის მასათა ცენტრი იქნება მის ცენტრში. ხანდახან მასათა ცენტრი არ ემთხვევა სხეულის არც ერთ ნაწილს. რგოლის მასათა ცენტრიც მის ცენტრშია, სადაც არ არის სხეულის არცერთი ნაწილი.

უფრო რთული ფორმებისთვის ჩვენ გვჭირდება მასათა ცენტრის უფრო ზოგადი მათემატიკური განმარტება: ეს არის უნიკალური მდებაროება, სადაც შეწონილი მდებარეობების ვექტორების ჯამი არის ნული.

შეწონილი მდებარეობის ვექტორი არის ვექტორი, რომელიც მიმართულია სათავიდან სხეულის მიმართულებით და აქვს მაგნიტუდა

m

, სადაც

m

არის სხეულის მასა. ანუ

(m \cdot r)

, სადაც

r

არის მდებარეობის ვექტორი სათავიდან სხეულამდე.

n

სხეულების შემცველი სისტემის მასათა ცენტრი არის წერტილი, რომელშიც

\sum_{i = 1}^{n} m_{i} r_{i} = 0

თუ ჩვენ მიერ არჩეული სათავე დამეთხვევა მასათა ცენტრს, მაშინ ეს ჯამი ნული იქნება. სხვა შემთხვევაში, ვექტორული ჯამი

S

მიგვითითებს მასათა ცენტრის მდებარეობაზე. აქ

M

არის მთლიანი სისტემის მასა.

S = \frac{1}{M} \sum_{i = 1}^{n} m_{i} r_{i}

რაში ვიყენებთ მასათა ცენტრს?

საინტერესოა, რომ სხეულის ან სხეულთა სისტემის მასათა ცენტრი არის წერტილი, რომელზეც მოდებულია სხეულზე მოქმედი ნებისმიერი ერთგვაროვანი ძალა. ეს ძალიან სასარგებლო თვისებაა, რადგან მისი წყალობით შესაძლებელი ხდება, გადავჭრათ მექანიკის პრობლემები, რომლებშიც გვჭირდება უცნაური ფორმის სხეულებისა და რთული სისტემების მოძრაობის აღწერა.

გამოთვლებისთვის შეგვიძლია, დავუშვათ, რომ ნებისმიერი უცნაური ფორმის სხეულის მთლიანი მასა მოთავსებულია პატარა სხეულში, რომელიც მდებარეობს მის მასათა ცენტრში. ამ წარმოსახვით სხეულს ხადანახან წერტილოვან მასას ვუწოდებთ.

თუ სხეულს მივაწვებით მის მასათა ცენტრში, ის ყოველთვის იმოძრავებს, როგორც წერტილოვანი სხეული, და არ დაიწყებს ბრუნვას არანაირი ღერძის გარშემო, მიუხედავად მისი ნამდვილი ფორმისა. თუ სხეულზე მოქმედებს დაუბალანსებელი (გაუბათილებელი) ძალა მასათა ცენტრისგან განსხვავებულ წერტილში, მაშინ ის დაიწყებს ბრუნვას მასათა ცენტრის გარშემო.

როგორ ვიპოვოთ სხეულის ან სისტემის მასათა ცენტრი?

ზოგადად, მასათა ცენტრის პოვნა შეიძლება იმ შეწონილი ვექტორების ვექტორული ჯამით, რომლებიც მიმართულია სისტემაში შემავალი თითოეული სხეულის მასათა ცენტრისკენ. ვექტორული არითმეტიკის თავიდან არიდების მოსახერხებელი ტექნიკაა მასათა ცენტრის დათვლა თითოეულ ღერძზე ცალ-ცალკე.

სხეულთა მდებარეობებისთვის x ღერძზე:

{COM}_{x} = \frac{m_{1} \cdot x_{1} + m_{2} \cdot x_{2} + m_{3} \cdot x_{3} + \dots}{m_{1} + m_{2} + m_{3} + \dots}

ანალოგიურად y ღერძისთვის:

{COM}_{y} = \frac{m_{1} \cdot y_{1} + m_{2} \cdot y_{2} + m_{3} \cdot y_{3} + \dots}{m_{1} + m_{2} + m_{3} + \dots}

ეს ორი განტოლება ერთად გვაძლევს მასათა ცენტრის კოორდინატებს

({COM}_{x}, {COM}_{y})

. მაგალითად, განვიხილოთ სამი ბრტყელი და ერთგვაროვანი სიმკვრივის მქონე სხეულისგან შემდგარი სისტემა, რომელიც ნაჩვენებია სურათ 2-ზე.

x

ღერძზე მასათა ცენტრის მდებარეობა იქნება:

\frac{1 \cdot 4 + 1 \cdot 6 + 2 \cdot 12}{1 + 1 + 2} = 8, 5

ხოლო

y

ღერძზე:

\frac{1 \cdot 5 + 1 \cdot 12 + 2 \cdot 8, 5}{1 + 1 + 2} = 8, 5

რთული სხეულები ხშირად შეიძლება წარმოვადგინოთ შედარებით მარტივი ფორმების ერთობლიობების სახით, რომლებშიც მასა ერთგვაროვნადაა განაწილებული. შემდეგ თითოეული ეს კომპონენტი წარმოვადგინოთ, როგორც ცენტროიდში მოთავსებული წერტილოვანი მასა. სხეულიდან ამოჭრილი ნაწილები შეგვიძლია განვიხილოთ, როგორც ფიგურები უარყოფითი მასით.

განვიხილოთ სურათ 3a-ზე ნაჩვენები არარეგულარული ფორმის, ბრტყელი, ერთგვაროვანი სიმკვრივის მქონე სხეული.

ჩვენ შეგვიძლია ამ სხეულის დანაწევრება ოთხ მართხკუთხედად და ერთ წრედ, როგორც ნაჩვენებია 3b სურათზე. ამ შემთხვევაში გვაინტერესებს მხოლოდ მასათა ცენტრის მდებარეობა სურათზე ნაჩვენებ ფარდობით ერთეულებში. მასალას აქვს ერთგვაროვანი სიმკვრივე, ამიტომ მასა ფართობის პროპორციული იქნება. სიმარტვისთვის მასა შეგვიძლია წარმოვადგინოთ 'კვადრატულ' ერთეულებში, როგორც დიაგრამაზეა ნაჩვენები.

x

ღერძზე მასათა ცენტრი არის:

\frac{16 \cdot 10 + 52 \cdot 4 + 12 \cdot 7, 5 + 16 \cdot 10 + (- 7, 1) \cdot 4, 5}{16 + 52 + 12 + 16 - 7, 1} = 6, 6

წრიულად ამოჭრილი ნაწილის ფართობი არის

π \cdot 1, 5^{2} ≃ 7, 1

. ეს ითვლება, როგორც უარყოფითი მასა.

y

ღერძზე:

\frac{16 \cdot 13 + 52 \cdot 7, 5 + 12 \cdot 7, 0 + 16 \cdot 2 + (- 7, 1) \cdot 7, 5}{16 + 52 + 12 + 16 - 7, 1} = 7, 4

რა არის გრავიტაციული ცენტრი?

გრავიტაციული ცენტრი არის სხეულის ან სხეულთა სისტემის ის წერტილი, რომელზეც მოქმედებს გრავიტაცია. მექანიკის უმრავლეს ამოცანებში დაშვებულია, რომ გრავიტაციული ველი არის ერთგვაროვანი. ასეთ შემთხვევაში მასათა ცენტრი და გრავიტაციული ცენტრი ემთხვევა ერთმანეთს. ტერმინები მასათა ცენტრი და გრავიტაციული ცენტრი ხშირად ერთი და იმავე მნიშვნელობით გამოიყენება, რადგან ისინი უმრავლეს შემთხვევაში ერთმანეთს ემთხვევა.

და რეალური სხეულების მასათა ცენტრის პოვნა?

არსებობს რამდენიმე საინტერესო ექსპერიმენტი რეალური, მყარი სხეულების მასათა ცენტრის დასადგენად.

ისეთი სხეულის მასათა ცენტრის საპოვნელად, რომელსაც მინიმუმ ერთი გვერდი ბრტყელი აქვს, შეიძლება გამოვიყენოთ მაგიდის კიდის მეთოდი. სხეულს ვაწვებით მაგიდის კიდისკენ ნელა და ბრუნვის გარეშე. როდესაც სხეული გადავარდნის პირასაა, მასზე ვავლებთ მაგიდის კიდის პარალელურ ხაზს. შემდეგ ამ პროცედურას ვიმეორებთ, თუმცა ამჯერად სხეული მოტრიალებული გვაქვს 90° გრადუსით. მიღებული ორი ხაზის გადაკვეთის წერტილი მოგვცემს სხეულის მასათა ცენტრის მდებარეობას მაგიდის სიბრტყეში.

სხეულებისთვის, რომელთა თავისუფლად ჩამოკიდებაც შეიძლება ბრუნვის წერტილზე, ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ შვეული ხაზის (სურათი 5) მეთოდი. არარეგულარული ფორმის მუყაოს ნაჭერი, რომელიც ჭიკარტითაა დაფაზე დამაგრებული, ამის კარგი მაგალითია. მუყაოს ნაჭერი გრავიტაციის გავლენით თავისუფლად ბრუნავს ჭიკარტის ირგვლივ და ჩერდება წონასწორულ მდგომარეობაში. ამის შემდეგ ჭიკარტიდან უნდა დავუშვათ შვეული ხაზი და მოვნიშნოთ ის მუყაოს ნაჭერზე. შემდეგ იგივე პროცედურა უნდა გავიმეოროთ მუყაოს ნაჭრის სხვა წერტილისთვის. ამ შვეული ხაზების გადაკვეთით მიღებული წერტილი მოგვცემს მასათა ცენტრს.

სურათი 5: არარეგულარული ფორმის სხეულის მასათა ცენტრის საპოვნელად გამოიყენება შვეული ხაზის მეთოდი.

მასათა ცენტრი და გადახრის სტაბილურობა

ერთ-ერთი სასარგებლო რამ, რაშიც მასათა ცენტრს ვიყენებთ, არის იმ იმაქსიმალური კუთხის განსაზღვრა, რომელზეც შეიძლება გადავხაროთ სხეული ისე, რომ ის არ გადაყირავდეს.

სურათ 6a-ზე ნაჩვენებია სატვირთოს განივკვეთი. სატვირთოს მარცხენა მხარე დატვირთულია ბევრი მძიმე სხეულით. მასათა წერტილი ნაჩვენებია წიტელი წერტილით. წითელი ხაზი, რომელიც ამ წერტილიდან ქვევითაა დაშვებული, წარმოადგენს გრავიტაციულ ძალას. გრავიტაცია სატვირთოზე მოქმედებს ისე, თითქოს მისი მთელი მასა ამ წერტილშია თავმოყრილი.

თუ სატვირთო გადაიხრება

θ_{t}

(როგორც 6b სურათზე), მაშინ მისი მთელი მასა დააწვება მარცხენა ბორბლის მარცხენა უკიდურეს წერტილს. თუ კუთხეს კიდე ოდნავ გავზრდით, ის წერტილი, რომელსაც მთელი სატვირთოს მასა აწვება, აღარ შეეხება გზას და სატვირთო გადაყირავდება.

θ_{t}

არის გადახრის მაქსიმალური კუთხე.

სავარჯიშო 1: განსაზღვრეთ გადახრის ზღვარი სურათ 7-ზე ნაჩვენები ერთგვაროვანი სიმკვრივის მქონე სხეულისთვის, თუ მას ვხრით მარჯვნივ.

თავდაპირველად ვიპოვოთ ამ სხეულის მასათა ცენტრი მისი სამ მართხკუთხედად დაყოფით:

x

ღერძზე:

\frac{24 \cdot 7 + 24 \cdot 6 + 12 \cdot 5, 5}{24 + 24 + 12} = 6, 3

y

ღერძზე:

\frac{24 \cdot 11 + 24 \cdot 7 + 12 \cdot 2}{24 + 24 + 12} = 7, 6

გადახრის ზღვრის,

θ_{t}

-ს, საპოვნელად ახლა ტრიგონომეტრია გვჭირდება, რათა ვიპოვოთ სურათ 8-ზე ნაჩვენები სამკუთხედის შიგა კუთხე.

კონტაქტში მყოფი უკიდურესი მარჯვენა წერტილი მდებარეობს

x = 7

წერტილში, ხოლო მასათა ცენტრი

x = 6, 3

წერტილში. მათ შორის სხვაობა არის 0,7 და ის უდრის განსახილველი სამკუთხედის ერთ-ერთი კათეტის სიგრძეს.

კუთხე

θ_{t}

, რომელიც ნაჩვენებია დიაგრამაზე, ტოლი უნდა იყოს სამკუთხედის შიგა კუთხისა, რადგან

θ_{t} + α = 90^{\circ}

. მართხკუთხა სამკუთხედის ტრიგონომეტრიიდან:

θ_{t} = \tan^{- 1} (\frac{0, 7}{7, 6}) = 5, 26^{\circ}

მასათა ცენტრი, როგორც ათვლის სისტემა

ფიზიკაში ტერმინი ათვლის სისტემა გულისხმობს კოორდინატთა სისტემას, რომელიც გამოიყენება გამოთველებისთვის. ათვლის სისტემა მოიცავს საკოორდინატო ღერძებსა და სათავეს (ნულოვან წერტილს). უმრავლეს ამოცანებში ათვლის სისტემა უძრავია ლაბორატორიის მიმართ. ამას ეწოდება ლაბორატორიული ათვლის სისტემა. თუმცა, კლასიკურ ფიზიკაში შეგვიძლია გამოვიყენოთ ნებისმიერი სხვა ათვლის სისტემა და ჩავწეროთ ფიზიკის კანონები ამ სისტემაში. ეს მოიცავს ისეთ სისტემებსაც, რომლებიც მოძრაობენ ლაბორატორიის მიმართ.

მასათა ცენტრის ერთ-ერთი ყველაზე სასარგებლო თვისება ისაა, რომ ის შეგვიძლია მივიჩნიოთ მოძრავი ათვლის სისტემის სათავედ. ამ ათვლის სისტემას ხანდახან COM სისტემასაც უწოდებენ. COM სისტემა განსაკუთრებით სასარგებლოა დაჯახების ამოცანებში. ირკვევა, რომ ნებისმიერი სრულად განსაზღვრული სისტემისთვის საკუთარ COM სისტემაში გაზომილი იმპულსი ნულია. ეს ნიშნავს, რომ COM სისტემაში ჩატარებული გამოთვლები ხშირად ბევრად უფრო მარტივია ლაბორატორიულ ათვლის სისტემაში ჩატარებულ გამოთვლებზე. განვიხილოთ მარტივი მაგალითი:

განვიხილოთ სურათ 9-ზე ნაჩვენები ორი ურიკა, რომლებიც მოძრაობენ ერთი და იმავე მიმართულებით. მარცხენა ურიკა მოძრაობს უფრო დიდი სიჩქარით, ამიტომ აუცილებლად მოხდება შეჯახება. დავუშვათ, რომ შეჯახება არის დრეკადი. როგორია ურიკების სიჩქარეები შეჯახების შემდეგ?

სურათი 9: ორი მოძრავი ურიკა ეჯახება ერთმანეთს: ამ შეჯახების ანალიზი ბევრად ადვილია COM სისტემაში.

თავდაპირველად საჭიროა ვიპოვოთ COM სისტემის სიჩქარე ლაბორატორიული სისტემის მიმართ. რადგან სიჩქარე არის მანძილი/დრო, ჩვენ შეგვიძლია მასათა ცენტრის განტოლებაში მდებარეობის მაგივრად შევიტანოთ სიჩქარე. მიღებული შედეგი იქნება (მასათა ცენტრის მდებარეობა)/(დრო): ანუ მასათა ცენტრის სიჩქარე,

v_{მ ც}

\begin{aligned} v_{მ ც} & = \frac{(2 \cdot 15 + 4 \cdot 3) კ გ \cdot მ / წ მ}{(2 + 4) კ გ} \\ = 7 მ / წ მ \end{aligned}

ახლა კი შეგვიძლია, ვიპოვოთ a და b ურიკების საწყისი (ინდექსი „საწ“) სიჩქარეები მასათა ცენტრის ათვლის სისტემაში. ამას გავაკეთებთ COM სისტემის სიჩქარის გამოკლებით. ამ სისტემაში სიდიდეები აღნიშნული იქნება შტრიხით ', რათა გავარჩიოთ ისინი ლაბორატორიულ ათვლის სისტემაში გაზომილი სიდიდეებისგან.

v_{a ს ა წ}^{'} = 15 - 7 = 8 მ / წ მ

v_{b ს ა წ}^{'} = 3 - 7 = - 4 მ / წ მ

p_{a ს ა წ}^{'} = 8 \cdot 2 = 16 კ გ \cdot მ / წ მ

p_{b ს ა წ}^{'} = - 4 \cdot 4 = - 16 კ გ \cdot მ / წ მ

როგორც ირკვევა, ამ სხეულების იმპულსები სიდიდით ტოლია და საპირისპიროდაა მიმართული. ეს ყოველთვის ასეა მსგავსი შეჯახებისას COM სისტემაში. ამ შემთხვევაში დაჯახება არის ელასტიური და, როგორც ვიცით, იმპულსები, უბრალოდ, გაცვლიან ადგილებს.

p_{a ს ა ბ}^{'} = - 16 კ გ \cdot მ / წ მ

p_{b ს ა ბ}^{'} = 16 კ გ \cdot მ / წ მ

საბოლოო სიჩქარეები არის:

v_{a ს ა ბ}^{'} = - 16 / 2 = - 8 მ / წ მ

v_{b ს ა ბ}^{'} = 16 / 4 = 4 მ / წ მ

შეგვიძლია მათი გადაყვანა უკან, ლაბორატორიულ ათვლის სისტემაში, სისტემის ლაბორატორიის მიმართ სიჩქარის დამატებით.

v_{a ს ა ბ} = - 8 + 7 = - 1 მ / წ მ

v_{b ს ა ბ} = 4 + 7 = 11 მ / წ მ

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.