If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

კურსი: ელექტროინჟინერია > თემა 2

გაკვეთილი 3: მუდმივი დენის ანალიზი

სუპერპოზიცია

სუპერპოზიციის პრინციპის გამოყენებით მრავალი შემავალი სიგნალის მქონე წრედების ანალიზის გამარტივებაა შესაძლებელი. ავტორი: უილი მაკალისტერი.
სუპერპოზიცია ძალიან გამოსადეგი ტექნიკაა, რომელსაც ჩვენს წრედის ანალიზის სხვა მეთოდებს დავამატებთ.

რის აგებას ვცდილობთ

სუპერპოზიციის პრინციპი წრფივობის ერთ-ერთი თვისების, შეჯამებადობის, მეორე სახელია:
f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)
წრედის სუპერპოზიციის გამოყენებით ამოსახსნელად, პირველი ნაბიჯი ერთის გარდა ყველა შემავალი სიგნალის გამორთვაა.
  • ძაბვის წყაროს გამოსართავად მას წრედში დამოკლებით ჩავანაცვლებთ.
  • დენის წყაროს გამოსართავად მას წრედში ღია ჩამრთველით ჩავანაცვლებთ.
შემდეგ მიღებულ გამარტივებულ წრედებს გავაანალიზებთ. ამ პროცედურას ყველა შემომავალი სიგნალისთვის გამოვიყენებთ.
საბოლოო შედეგი ყველა ინდივიდუალური შედეგების დაჯამებით მიიღება.

აღვწეროთ წრედი როგორც ფუნქცია

სუპერპოზიციის პრინციპი ფუნქციური ნოტაციისთვისაა განსაზღვრული, ამიტომ აქ განვიხილავთ იმას, თუ როგორ შეიძლება წრედის ფუნქციით გამოსახვა.
მარტივად დავიწყოთ... როგორ შეგვიძლია მხოლოდ ერთი რეზისტორის მათემატიკური ფუნქციით გამოსახვა? აქ არაფერი განსაკუთრებული არ ხდება, რეზისტორს ფუნქციურად უბრალოდ ომის კანონი აღწერს. დავიწყოთ სამი რაღაცის იდენტიფიცირებით: შემავალი სიგნალი, ფუნქციის შემსრულებელი კომპონენტი და გამომავალი სიგნალი.
დავუშვათ, რომ ძაბვა vi რეზისტორის ფუნქციაში შემავალი სიგნალია. შესაძლოა, შემავალ სიგნალ vi-ს რაიმე ძაბვის წყარო გვაძლევს, რომელიც ქ ნაჩვენები არ არის. გამომავალი სიგნალი ის არის, რაც გვაინტერესებს. ამ ფუნქციისთვის, გამომავალი სიგნალი რეზისტორში გამავალი i დენია.
შემავალი ძაბვა ორ პატარა წრეზეა მოდებული (წრედები ჩვენი ფუნქციის შემავალ პორტებს მიანიშნებენ). თვითონ ფუნქცია რეზისტორიდან ომის კანონის სახით გამომდინარეობს. ჩვენი ფუნქციიდან გამომავალი სიგნალი დენია, i, რომელიც ამპერმეტრით იზომება (აქ არ არის ნაჩვენები).
ფუნქციურად, ჩვენი რეზისტორი არის
i=f(vi)=1Rvi
ამ ნოტაციის გამოყენებით, ჩვენ რეზისტორს ვუყურებთ, როგორც ფუნქციას, რომელიც იღებს ძაბვას და გვიბრუნებს დენს.

რეზისტორი წრფივი ფუნქციაა

რეზისტორის ფუნქციაზე დაკვირვებისას ვხედავთ, რომ მას სკალირების თვისება გააჩვია. გამომავალი სიგნალი i უდრის შემავალი სიგნალი v-ს R მუდმივათი სკალირებულ ვერსიას. ეს ნიშნავს, რომ რეზისტორი წრფივია. წრფივობის თვისება გვაძლევს საშუალებას, წრედი სუპერპოზიციის გამოყენებით ამოვხსნათ.
(წრფივობის იდეის გახსენება.)

სუპერპოზიციის გამოყენება წრედის ამოხსნისთვის

(ეს „სათამაშო“ მაგალითია იმისთვის, რომ სუპერპოზიციის გამოყენების მეთოდი გაიგოთ)
დავუშვათ, გვაქვს ფუნქციაში შემავალი ორი მიმდევრობითი ძაბვა:
ჩვენს ფუნქციაში შემომავალი ორი მიმდევრობით დაერთებული ბატარეის ძაბვაა: vi=Vs1+Vs2.
გვაქვს ფუნქცია f(v)=1Rv.
გამომავალი ფუნქცია არ შეცვლილა; ის კვლავ i=f(v) არის.
ახლა ამ წრედს ორი გზით ამოვხსნით: ჯერ ტრადიციული ანალიზის მეთოდით და შემდეგ სუპერპოზიციის პრინციპის გამოყენებით.

ტრადიციული ამონახსნი

ტრადიციული გზით ამოხსნისას ვწერთ კირხჰოფის ძაბვის კანონს წირის გარშემო:
Vs1+Vs2iR=0
და ვხსნით i-სთვის:
i=f(Vs1+Vs2)=Vs1+Vs2R
(ტრადიციული ამონახსნი)

ამოხსნა სუპერპოზიციის პრინციპის გამოყენებით

სუპერპოზიციის პრინციპს ვიყენებთ წრფივი ფუნქციისთვის, f.
f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)
ის ამბობს: თუ გაქვთ ორი სუპერპოზიციაში მყოფი შემავალი სიგნალი, (x1+x2), შეგვიძლია ფუნქციაში მათი ცალ-ცალკე შეშვება, ჯერ (x1) და შემდეგ (x2), და ბოლოს დააჯამეთ ინდივიდუალური შედეგები საბოლოო პასუხის მისაღებად.
ახლა წრედის ამოსახსნელად სუპერპოზიციის პრინციპს გამოვიყენებთ. რადგან ჩვენს წრედს განვიხილავთ ისე, როგორც ფუნქციას, შეგვიძლია ვთქვათ:
i=f(Vs1+Vs2)
იგივეა, რაც
i=f(Vs1)+f(Vs2)
ეს საინტერესო შესაძლებლობას გვიჩვენებს. გამომავალი დენის გამოთვლა ტრადიციული გზით შეგვიძლია, სადაც კომბინირებულ შემავალ სიგნალებს f(Vs1+Vs2) გამოვიყენებთ, ან იმავე შედეგის მიღება შეგვიძლია ფუნქციაში ინდივიდუალურად შემავალი სიგნალების f(Vs1) და f(Vs2) შეშვებით მიღებული შედეგების დაჯამებით. მოდით, ვცადოთ ეს და ვნახოთ, რას მივიღებთ.

შემავალი სიგნალების გამორთვა

სუპერპოზიციის გამოყენებისთვის გვჭირდება შემავალი სიგნალების თითო-თითოდ შეშვება. ეს ნიშნავს, რომ ერთის გარდა ყველა სიგნალს გამოვრთავთ. გამორთულ შემავალ სიგნალს ასევე ჩახშული სიგნალი ეწოდება.
რას ნიშნავს ძაბვის წყაროს გამორთვა? ეს ნიშნავს, რომ V=0. ეს იგივეა, რაც ძაბვის წყაროს ან ბატარეის დამოკლებით, უბრალო სადენით ჩანაცვლება.
რას ნიშნავს დენის წყაროს გამორთვა? ეს ნიშნავს, რომ I=0. ეს იგივეა, რაც დენის წყაროს ღია წრედით ჩანაცვლება.

სუპერპოზიციის გამოყენება

შემდეგ ორ სქემაში, ორი შემავალი ძაბვიდან ერთ-ერთი, დამოკლების ჩანაცვლებით, გამორთულია (ჩახშულია).
როდესაცა შემავალ სიგნალს ვახშობთ, ჩვენ ერთ-ერთ სიგნალს 0-ით ვანაცვლებთ, ეს დარჩენილ, მეორე სიგნალს სისტემაში ხელშეუხებლად ატარებს.
f(Vs1+0)f(Vs1) and f(0 + Vs2)f(Vs2)
ახლა თითოეულ წრედს ინდივიდუალურად ამოვხსნით,
i1=Vs1Ri2=Vs2R
სადაც i1 ძაბვის წყარო Vs1-ის გამოწვეული დენია, i2 კი — წყარო Vs2-ის გამოწვეული დენი.
ჯამურ დენს თითოეული წრედიდან მიღებული დენების სუპერპოზიციონირებით (დაჯამებით) ვიღებთ.
i=i1+i2
i=Vs1R+Vs2R
i=Vs1+Vs2R
(სუპერპოზიციის ამონახსნი)
სუპერპოზიციის ამონახსნი იმავე შედეგს გვაძლევს, რასაც ზემოთ გამოყენებული ტრადიციული ამონახსნი.
ახლა რაც გავაკეთეთ, ამას ორი წრედის წრფივი სუპერპოზიცია ეწოდება.
ჩვენს მაგალითში მოცემული ფუნქცია იმდენად მარტივი იყო, რომ სუპერპოზიციის გამოყენება დიდად არ დაგვეხმარა. შემდგომ მაგალითებში წრედები ბევრად უფრო კომპლექსურია და შედეგამდე მისასვლელ სამუშაოებს შორის განსხვავება ბევრად უფრო თვალსაჩინო იქნება.

მაგალითი 1

განვიხილოთ შემდეგი წრფივი წრედი, რომელსაც ორი წყარო აქვს: ერთი დენის და ერთი ძაბვის წყარო. წყაროებიდან წამოსული სიგნალები ფუნქციაში შედიან. ამ პრობლემისთვის ჩვენ ორი გამოსავალი სიგნალის, დენი i1-სა და i2-ს, პოვნა გვსურს.
i1=f1(Is,Vs) and i2=f2(Is,Vs)
მოდით, წრედი სუპერპოზიციის გამოყენებით გავაანალიზოთ.
პირველ ყოვლისა, ჩავახშოთ დენის წყარო და წრედი მხოლოდ ძაბვის წყაროთი გავაანალიზოთ. დენის წყაროს ჩასახშობად მას ღია წრედით ჩავანაცვლებთ.
მხოლოდ ძაბვის წყაროს შემთხვევაში, ორი გამოსავალი დენი არის:
i1V=0i2V=VsR2
სადაც i1V და i2V დენებია, რომლებიც R1 და R2 რეზისტორებში ძაბვის წყაროს გამო გაედინებიან.
შემდეგ დენის წყაროს უკან ვაბრუნებთ და ძაბვის წყაროს ვახშობთ, რათა მხოლოდ დენის წყაროს შეტანილი წვლილი გამოვითვალოთ.
მხოლოდ დენის წყაროთი, ორი გამომავალი დენი არის:
i1I=Isi2I=0
სადაც i1I და i2I დენებია, რომლებიც R1 და R2 რეზისტორებში მხოლოდ დენის წყაროს გამო გაედინებიან.
ანალიზს ვასრულებთ თითოეული წყაროს კონტრიბუციის დაჯამებით:
i1=i1V+i1I=0+Is=Is
i2=i2V+i2I=VsR2+0=VsR2
მთლიანი ამონახსნი ასე გამოიყურება:
ასეთი ანალიზი, შესაძლოა, ძალიან რთული ყოფილიყო, რადგან ორი წყარო წირის ან კვანძის განტოლებების ჩაწერას ართულებს. სუპერპოზიციის გამოყენებით კომპლექსური წრედი ორ მარტივ წრედად დავანაწევრეთ.

მაგალითი 2

ამონახსნი ტრადიციული გზით

შემდეგი წრფივი წრედისთის გამოვთვალოთ გამოსავალი ძაბვა v.
ჯერ ამას ტრადიციული მეთოდით გავაკეთებთ. დავწეროთ კირხჰოფის დენის კანონი გამოსავალ კვანძზე v:
+iR1iR2+Is=0+VsvR1vR2+Is=0
სხვა წევრების მარჯვენა მხარეს გადატანით ამ განტოლების v-სთვის ამოხსნა შეგვიძლია:
v=R2R1+R2Vs+R1R2R1+R2Is
(ტრადიციული ამონახსნი)

ამონახსნი სუპერპოციზიის გამოყენებით

ახლა იმავე პრობლემას სუპერპოზიციის პრინციპის გამოყენებით ამოვხსნით. დავიწყოთ შემავალი წყაროების ჩახშობით და გამარტივებული წრედების ამოხსნით.
როგორ ჩავახშოთ დენის წყარო?
დენის წყარო ___-თ ჩავანაცვლოთ.
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გამარტივებული წრედი ორი მიმდერობითი რეზისტორისგან შედგება. (ძაბვის გამყოფი).
ძაბვა vVs ძაბვის წყაროს Vs წვლილია.
მხოლოდ ძაბვის წყაროს შემთხვევაში, გამომავალი ძაბვა არის:
vVs=VsR2R1+R2
ახლა დენის წყაროს აღვადგენთ და ძაბვის წყაროს ჩავახშობთ.
როგორ შეგვიძლია ძაბვის წყაროს ჩახშობა?
ძაბვის წყარო ___-თი ჩავანაცვლოთ.
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გამარტივებული წრედი ორი პარალელურად დაერთებული რეზისტორისგან შედგება.
ძაბვა vIs დენის წყაროს, Is-ს, წვლილია.
vIs=IsR1R2R1+R2
სუპერპოზიციით ანალიზს ორი ძაბვის წვლილის დაჯამებით დავასრულებთ. როგორც ვივარაუდეთ, იმავე ამონახსნს ვიღებთ, რაც ტრადიციულმა მეთოდმა მოგვცა.
v=vVs+vIs
v=R2R1+R2Vs+R1R2R1+R2Is
(სუპერპოზიციის ამონახსნი)
ეს პრობლემა მიახლოებით არ ამოგვიხსნია. ორი ამონახსნი ზუსტად ერთნაირია. მნიშვნელოვანია, რომ ორი გამარტივებული წრედის ანალიზი ბევრად მარტივი იყო.

წრფივობა და სუპერპოზიციის პრინციპი ძლიერი იარაღებია

თუ გვაქვს წრედი, რომელიც წრფივი ელემენტებისგან შედგება, სუპერპოზიციის პრინციპის გამოყენება შეგვიძლია. ეს იმას ნიშნავს, რომ საწყისი კომპლექსური წრედი გამარტივებული წრედების ჯამად შეგვიძლია აღვიქვათ. ეს მაგიას ჰგავს, თუმცა ეს თვისება ნიშნავს, რომ თანადროული შემავალი სიგნალები და წრედები, რომლებიც სუპერპოზიციაში არიან, ერთმანეთზე გავლენას არ ახდენენ. ყველა მარტივი წრედი დამოუკიდებლად აკეთებს თავის საქმეს და არ იცის სხვა არაფრის შესახებ, სანამ მთლიანი ამონახსნის მიღებისთვის მას დანარჩენ წრედებთან არ დავაჯამებთ.
ეს წრფივი წრედების საოცარი თვისებაა და ამის გამო გვიყვარს წრფივი ასე ძალიან. წრედებს, რომლებიც არ არიან წრფივი (არაწრფივი წრედები), ეს თვისება არ გააჩნიათ და არ შეგვიძლია სუპერპოზიციის გამოყენება (ეგ არაფერი, არაწრფივი წრედებიც გვიყვარს, უბრალოდ სხვანაირად).

შეჯამება

თუ წრედი წრფივი ელემენტებისგან შედგება, მის გასამარტივებლად სუპერპოზიციის გამოყენებაა შესაძლებელი. ეს განსაკუთრებით გამოსადეგია იმ წრედებისთვის, რომლებსაც რამდენიმე შემომავალი წყარო აქვთ.
რამდენიმე შემომავალი სიგნალის მქონე წრფივი წრედების გასაანალიზებლად, ერთის გარდა ყველა შემომავალ სიგნალს ჩავახშობთ და შედეგად მიღებულ გამარტივებულ წრედს გავაანალიზებთ. ამას ყველა შემავალი სიგნალისა და წყაროსთვის გავაკეთებთ. შემდეგ მიღებულ შედეგებს დავაჯამებთ და მთლიანი წრედის ამონახსნს მივიღებთ.

წყაროების ჩახშობა

ძაბვის წყაროს ჩასახშობად, მას დამოკლებით ვანაცვლებთ:
დენის წყაროს ჩასახშობად მას ღია წრედით ვანაცვლებთ:

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.