ძირითადი მასალა

ელექტროინჟინერია

კურსი: ელექტროინჟინერია > თემა 2

გაკვეთილი 3: მუდმივი დენის ანალიზი

სუპერპოზიცია

სუპერპოზიციის პრინციპის გამოყენებით მრავალი შემავალი სიგნალის მქონე წრედების ანალიზის გამარტივებაა შესაძლებელი. ავტორი: უილი მაკალისტერი.

სუპერპოზიცია ძალიან გამოსადეგი ტექნიკაა, რომელსაც ჩვენს წრედის ანალიზის სხვა მეთოდებს დავამატებთ.

რის აგებას ვცდილობთ

სუპერპოზიციის პრინციპი წრფივობის ერთ-ერთი თვისების, შეჯამებადობის, მეორე სახელია:

f, left parenthesis, x, start subscript, 1, end subscript, plus, x, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis, plus, f, left parenthesis, x, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis

წრედის სუპერპოზიციის გამოყენებით ამოსახსნელად, პირველი ნაბიჯი ერთის გარდა ყველა შემავალი სიგნალის გამორთვაა.

ძაბვის წყაროს გამოსართავად მას წრედში დამოკლებით ჩავანაცვლებთ.
დენის წყაროს გამოსართავად მას წრედში ღია ჩამრთველით ჩავანაცვლებთ.

შემდეგ მიღებულ გამარტივებულ წრედებს გავაანალიზებთ. ამ პროცედურას ყველა შემომავალი სიგნალისთვის გამოვიყენებთ.

საბოლოო შედეგი ყველა ინდივიდუალური შედეგების დაჯამებით მიიღება.

აღვწეროთ წრედი როგორც ფუნქცია

სუპერპოზიციის პრინციპი ფუნქციური ნოტაციისთვისაა განსაზღვრული, ამიტომ აქ განვიხილავთ იმას, თუ როგორ შეიძლება წრედის ფუნქციით გამოსახვა.

მარტივად დავიწყოთ... როგორ შეგვიძლია მხოლოდ ერთი რეზისტორის მათემატიკური ფუნქციით გამოსახვა? აქ არაფერი განსაკუთრებული არ ხდება, რეზისტორს ფუნქციურად უბრალოდ ომის კანონი აღწერს. დავიწყოთ სამი რაღაცის იდენტიფიცირებით: შემავალი სიგნალი, ფუნქციის შემსრულებელი კომპონენტი და გამომავალი სიგნალი.

დავუშვათ, რომ ძაბვა v, start subscript, i, end subscript რეზისტორის ფუნქციაში შემავალი სიგნალია. შესაძლოა, შემავალ სიგნალ v, start subscript, i, end subscript-ს რაიმე ძაბვის წყარო გვაძლევს, რომელიც ქ ნაჩვენები არ არის. გამომავალი სიგნალი ის არის, რაც გვაინტერესებს. ამ ფუნქციისთვის, გამომავალი სიგნალი რეზისტორში გამავალი i დენია.

შემავალი ძაბვა ორ პატარა წრეზეა მოდებული (წრედები ჩვენი ფუნქციის შემავალ პორტებს მიანიშნებენ). თვითონ ფუნქცია რეზისტორიდან ომის კანონის სახით გამომდინარეობს. ჩვენი ფუნქციიდან გამომავალი სიგნალი დენია, i, რომელიც ამპერმეტრით იზომება (აქ არ არის ნაჩვენები).

ფუნქციურად, ჩვენი რეზისტორი არის

i, equals, f, left parenthesis, v, start subscript, i, end subscript, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, start text, R, end text, end fraction, v, start subscript, i, end subscript

ამ ნოტაციის გამოყენებით, ჩვენ რეზისტორს ვუყურებთ, როგორც ფუნქციას, რომელიც იღებს ძაბვას და გვიბრუნებს დენს.

რეზისტორი წრფივი ფუნქციაა

რეზისტორის ფუნქციაზე დაკვირვებისას ვხედავთ, რომ მას სკალირების თვისება გააჩვია. გამომავალი სიგნალი i უდრის შემავალი სიგნალი v-ს start text, R, end text მუდმივათი სკალირებულ ვერსიას. ეს ნიშნავს, რომ რეზისტორი წრფივია. წრფივობის თვისება გვაძლევს საშუალებას, წრედი სუპერპოზიციის გამოყენებით ამოვხსნათ.

(წრფივობის იდეის გახსენება.)

სუპერპოზიციის გამოყენება წრედის ამოხსნისთვის

(ეს „სათამაშო“ მაგალითია იმისთვის, რომ სუპერპოზიციის გამოყენების მეთოდი გაიგოთ)

დავუშვათ, გვაქვს ფუნქციაში შემავალი ორი მიმდევრობითი ძაბვა:

ჩვენს ფუნქციაში შემომავალი ორი მიმდევრობით დაერთებული ბატარეის ძაბვაა: v, start subscript, i, end subscript, equals, start text, V, s, 1, end text, plus, start text, V, s, 2, end text.

გვაქვს ფუნქცია f, left parenthesis, v, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, start text, R, end text, end fraction, v.

გამომავალი ფუნქცია არ შეცვლილა; ის კვლავ i, equals, f, left parenthesis, v, right parenthesis არის.

ახლა ამ წრედს ორი გზით ამოვხსნით: ჯერ ტრადიციული ანალიზის მეთოდით და შემდეგ სუპერპოზიციის პრინციპის გამოყენებით.

ტრადიციული ამონახსნი

ტრადიციული გზით ამოხსნისას ვწერთ კირხჰოფის ძაბვის კანონს წირის გარშემო:

start text, V, s, 1, end text, plus, start text, V, s, 2, end text, minus, i, start text, R, end text, equals, 0

და ვხსნით i-სთვის:

i, equals, f, left parenthesis, start text, V, s, 1, end text, plus, start text, V, s, 2, end text, right parenthesis, equals, start fraction, start text, V, s, 1, end text, plus, start text, V, s, 2, end text, divided by, start text, R, end text, end fraction

(ტრადიციული ამონახსნი)

ამოხსნა სუპერპოზიციის პრინციპის გამოყენებით

სუპერპოზიციის პრინციპს ვიყენებთ წრფივი ფუნქციისთვის, f.

ის ამბობს: თუ გაქვთ ორი სუპერპოზიციაში მყოფი შემავალი სიგნალი, left parenthesis, x, start subscript, 1, end subscript, plus, x, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, შეგვიძლია ფუნქციაში მათი ცალ-ცალკე შეშვება, ჯერ left parenthesis, x, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis და შემდეგ left parenthesis, x, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, და ბოლოს დააჯამეთ ინდივიდუალური შედეგები საბოლოო პასუხის მისაღებად.

ახლა წრედის ამოსახსნელად სუპერპოზიციის პრინციპს გამოვიყენებთ. რადგან ჩვენს წრედს განვიხილავთ ისე, როგორც ფუნქციას, შეგვიძლია ვთქვათ:

i, equals, f, left parenthesis, start text, V, s, 1, end text, plus, start text, V, s, 2, end text, right parenthesis

იგივეა, რაც

i, equals, f, left parenthesis, start text, V, s, 1, end text, right parenthesis, plus, f, left parenthesis, start text, V, s, 2, end text, right parenthesis

ეს საინტერესო შესაძლებლობას გვიჩვენებს. გამომავალი დენის გამოთვლა ტრადიციული გზით შეგვიძლია, სადაც კომბინირებულ შემავალ სიგნალებს f, left parenthesis, start text, V, s, 1, end text, plus, start text, V, s, 2, end text, right parenthesis გამოვიყენებთ, ან იმავე შედეგის მიღება შეგვიძლია ფუნქციაში ინდივიდუალურად შემავალი სიგნალების f, left parenthesis, start text, V, s, 1, end text, right parenthesis და f, left parenthesis, start text, V, s, 2, end text, right parenthesis შეშვებით მიღებული შედეგების დაჯამებით. მოდით, ვცადოთ ეს და ვნახოთ, რას მივიღებთ.

შემავალი სიგნალების გამორთვა

სუპერპოზიციის გამოყენებისთვის გვჭირდება შემავალი სიგნალების თითო-თითოდ შეშვება. ეს ნიშნავს, რომ ერთის გარდა ყველა სიგნალს გამოვრთავთ. გამორთულ შემავალ სიგნალს ასევე ჩახშული სიგნალი ეწოდება.

რას ნიშნავს ძაბვის წყაროს გამორთვა? ეს ნიშნავს, რომ start text, V, end text, equals, 0. ეს იგივეა, რაც ძაბვის წყაროს ან ბატარეის დამოკლებით, უბრალო სადენით ჩანაცვლება.

რას ნიშნავს დენის წყაროს გამორთვა? ეს ნიშნავს, რომ start text, I, end text, equals, 0. ეს იგივეა, რაც დენის წყაროს ღია წრედით ჩანაცვლება.

სუპერპოზიციის გამოყენება

შემდეგ ორ სქემაში, ორი შემავალი ძაბვიდან ერთ-ერთი, დამოკლების ჩანაცვლებით, გამორთულია (ჩახშულია).

როდესაცა შემავალ სიგნალს ვახშობთ, ჩვენ ერთ-ერთ სიგნალს 0-ით ვანაცვლებთ, ეს დარჩენილ, მეორე სიგნალს სისტემაში ხელშეუხებლად ატარებს.

f, left parenthesis, start text, V, s, 1, end text, plus, 0, right parenthesis, right arrow, f, left parenthesis, start text, V, s, 1, end text, right parenthesis and f, left parenthesis, start text, 0, space, plus, space, V, s, 2, end text, right parenthesis, right arrow, f, left parenthesis, start text, V, s, 2, end text, right parenthesis

[რა ხდება თუ ორზე მეტი შემავალი სიგნალი გვაქვს?]

ახლა თითოეულ წრედს ინდივიდუალურად ამოვხსნით,

i, start subscript, 1, end subscript, equals, start fraction, start text, V, s, 1, end text, divided by, start text, R, end text, end fraction, i, start subscript, 2, end subscript, equals, start fraction, start text, V, s, 2, end text, divided by, start text, R, end text, end fraction

სადაც i, start subscript, 1, end subscript ძაბვის წყარო start text, V, s, end text, 1-ის გამოწვეული დენია, i, start subscript, 2, end subscript კი — წყარო start text, V, s, end text, 2-ის გამოწვეული დენი.

ჯამურ დენს თითოეული წრედიდან მიღებული დენების სუპერპოზიციონირებით (დაჯამებით) ვიღებთ.

i, equals, i, start subscript, 1, end subscript, plus, i, start subscript, 2, end subscript

i, equals, start fraction, start text, V, s, 1, end text, divided by, start text, R, end text, end fraction, plus, start fraction, start text, V, s, 2, end text, divided by, start text, R, end text, end fraction

i, equals, start fraction, start text, V, s, 1, end text, plus, start text, V, s, 2, end text, divided by, start text, R, end text, end fraction

(სუპერპოზიციის ამონახსნი)

სუპერპოზიციის ამონახსნი იმავე შედეგს გვაძლევს, რასაც ზემოთ გამოყენებული ტრადიციული ამონახსნი.

ახლა რაც გავაკეთეთ, ამას ორი წრედის წრფივი სუპერპოზიცია ეწოდება.

ჩვენს მაგალითში მოცემული ფუნქცია იმდენად მარტივი იყო, რომ სუპერპოზიციის გამოყენება დიდად არ დაგვეხმარა. შემდგომ მაგალითებში წრედები ბევრად უფრო კომპლექსურია და შედეგამდე მისასვლელ სამუშაოებს შორის განსხვავება ბევრად უფრო თვალსაჩინო იქნება.

მაგალითი 1

განვიხილოთ შემდეგი წრფივი წრედი, რომელსაც ორი წყარო აქვს: ერთი დენის და ერთი ძაბვის წყარო. წყაროებიდან წამოსული სიგნალები ფუნქციაში შედიან. ამ პრობლემისთვის ჩვენ ორი გამოსავალი სიგნალის, დენი i, start subscript, 1, end subscript-სა და i, start subscript, 2, end subscript-ს, პოვნა გვსურს.

i, start subscript, 1, end subscript, equals, f, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, start text, I, s, end text, comma, start text, V, s, right parenthesis, end text and i, start subscript, 2, end subscript, equals, f, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, start text, I, s, end text, comma, start text, V, s, right parenthesis, end text

მოდით, წრედი სუპერპოზიციის გამოყენებით გავაანალიზოთ.

პირველ ყოვლისა, ჩავახშოთ დენის წყარო და წრედი მხოლოდ ძაბვის წყაროთი გავაანალიზოთ. დენის წყაროს ჩასახშობად მას ღია წრედით ჩავანაცვლებთ.

მხოლოდ ძაბვის წყაროს შემთხვევაში, ორი გამოსავალი დენი არის:

i, start subscript, 1, V, end subscript, equals, 0, i, start subscript, 2, V, end subscript, equals, start fraction, start text, V, s, end text, divided by, start text, R, end text, 2, end fraction

სადაც i, start subscript, 1, V, end subscript და i, start subscript, 2, V, end subscript დენებია, რომლებიც start text, R, end text, 1 და start text, R, end text, 2 რეზისტორებში ძაბვის წყაროს გამო გაედინებიან.

შემდეგ დენის წყაროს უკან ვაბრუნებთ და ძაბვის წყაროს ვახშობთ, რათა მხოლოდ დენის წყაროს შეტანილი წვლილი გამოვითვალოთ.

მხოლოდ დენის წყაროთი, ორი გამომავალი დენი არის:

i, start subscript, 1, I, end subscript, equals, start text, I, s, end text, i, start subscript, 2, I, end subscript, equals, 0

სადაც i, start subscript, 1, I, end subscript და i, start subscript, 2, I, end subscript დენებია, რომლებიც start text, R, end text, 1 და start text, R, end text, 2 რეზისტორებში მხოლოდ დენის წყაროს გამო გაედინებიან.

[ნულოვანი დენი R2-ში?]

ანალიზს ვასრულებთ თითოეული წყაროს კონტრიბუციის დაჯამებით:

i, start subscript, 1, end subscript, equals, i, start subscript, 1, V, end subscript, plus, i, start subscript, 1, I, end subscript, equals, 0, plus, start text, I, s, end text, equals, start text, I, s, end text

i, start subscript, 2, end subscript, equals, i, start subscript, 2, V, end subscript, plus, i, start subscript, 2, I, end subscript, equals, start fraction, start text, V, s, end text, divided by, start text, R, end text, 2, end fraction, plus, 0, equals, start fraction, start text, V, s, end text, divided by, start text, R, end text, 2, end fraction

მთლიანი ამონახსნი ასე გამოიყურება:

ასეთი ანალიზი, შესაძლოა, ძალიან რთული ყოფილიყო, რადგან ორი წყარო წირის ან კვანძის განტოლებების ჩაწერას ართულებს. სუპერპოზიციის გამოყენებით კომპლექსური წრედი ორ მარტივ წრედად დავანაწევრეთ.

მაგალითი 2

ამონახსნი ტრადიციული გზით

შემდეგი წრფივი წრედისთის გამოვთვალოთ გამოსავალი ძაბვა start color #e07d10, v, end color #e07d10.

ჯერ ამას ტრადიციული მეთოდით გავაკეთებთ. დავწეროთ კირხჰოფის დენის კანონი გამოსავალ კვანძზე start color #e07d10, v, end color #e07d10:

\begin{array}{ccc} +i_{\text R1} &- i_{\text R2} &+\text{Is} &= 0 \\ \\ +\dfrac{\text{Vs}-v}{\text{R1}} &- \dfrac{v}{\text{R2}} &+ \text{Is} &= 0 \end{array}

სხვა წევრების მარჯვენა მხარეს გადატანით ამ განტოლების start color #e07d10, v, end color #e07d10-სთვის ამოხსნა შეგვიძლია:

v, equals, start fraction, start text, R, 2, end text, divided by, start text, R, end text, 1, plus, start text, R, end text, 2, end fraction, start text, V, s, end text, plus, start fraction, start text, R, end text, 1, start text, R, end text, 2, divided by, start text, R, end text, 1, plus, start text, R, end text, 2, end fraction, start text, I, s, end text

(ტრადიციული ამონახსნი)

ამონახსნი სუპერპოციზიის გამოყენებით

ახლა იმავე პრობლემას სუპერპოზიციის პრინციპის გამოყენებით ამოვხსნით. დავიწყოთ შემავალი წყაროების ჩახშობით და გამარტივებული წრედების ამოხსნით.

როგორ ჩავახშოთ დენის წყარო?

დენის წყარო ___-თ ჩავანაცვლოთ.

გამარტივებული წრედი ორი მიმდერობითი რეზისტორისგან შედგება. (ძაბვის გამყოფი).

ძაბვა v, start subscript, V, s, end subscript ძაბვის წყაროს start text, V, s, end text წვლილია.

მხოლოდ ძაბვის წყაროს შემთხვევაში, გამომავალი ძაბვა არის:

v, start subscript, V, s, end subscript, equals, start text, V, s, end text, start fraction, start text, R, end text, 2, divided by, start text, R, end text, 1, plus, start text, R, end text, 2, end fraction

ახლა დენის წყაროს აღვადგენთ და ძაბვის წყაროს ჩავახშობთ.

როგორ შეგვიძლია ძაბვის წყაროს ჩახშობა?

ძაბვის წყარო ___-თი ჩავანაცვლოთ.

გამარტივებული წრედი ორი პარალელურად დაერთებული რეზისტორისგან შედგება.

ძაბვა v, start subscript, I, s, end subscript დენის წყაროს, start text, I, s, end text-ს, წვლილია.

v, start subscript, I, s, end subscript, equals, start text, I, s, end text, start fraction, start text, R, end text, 1, dot, start text, R, end text, 2, divided by, start text, R, end text, 1, plus, start text, R, end text, 2, end fraction

სუპერპოზიციით ანალიზს ორი ძაბვის წვლილის დაჯამებით დავასრულებთ. როგორც ვივარაუდეთ, იმავე ამონახსნს ვიღებთ, რაც ტრადიციულმა მეთოდმა მოგვცა.

v, equals, v, start subscript, V, s, end subscript, plus, v, start subscript, I, s, end subscript

v, equals, start fraction, start text, R, 2, end text, divided by, start text, R, end text, 1, plus, start text, R, end text, 2, end fraction, start text, V, s, end text, plus, start fraction, start text, R, end text, 1, dot, start text, R, end text, 2, divided by, start text, R, end text, 1, plus, start text, R, end text, 2, end fraction, start text, I, s, end text

(სუპერპოზიციის ამონახსნი)

ეს პრობლემა მიახლოებით არ ამოგვიხსნია. ორი ამონახსნი ზუსტად ერთნაირია. მნიშვნელოვანია, რომ ორი გამარტივებული წრედის ანალიზი ბევრად მარტივი იყო.

წრფივობა და სუპერპოზიციის პრინციპი ძლიერი იარაღებია

თუ გვაქვს წრედი, რომელიც წრფივი ელემენტებისგან შედგება, სუპერპოზიციის პრინციპის გამოყენება შეგვიძლია. ეს იმას ნიშნავს, რომ საწყისი კომპლექსური წრედი გამარტივებული წრედების ჯამად შეგვიძლია აღვიქვათ. ეს მაგიას ჰგავს, თუმცა ეს თვისება ნიშნავს, რომ თანადროული შემავალი სიგნალები და წრედები, რომლებიც სუპერპოზიციაში არიან, ერთმანეთზე გავლენას არ ახდენენ. ყველა მარტივი წრედი დამოუკიდებლად აკეთებს თავის საქმეს და არ იცის სხვა არაფრის შესახებ, სანამ მთლიანი ამონახსნის მიღებისთვის მას დანარჩენ წრედებთან არ დავაჯამებთ.

ეს წრფივი წრედების საოცარი თვისებაა და ამის გამო გვიყვარს წრფივი ასე ძალიან. წრედებს, რომლებიც არ არიან წრფივი (არაწრფივი წრედები), ეს თვისება არ გააჩნიათ და არ შეგვიძლია სუპერპოზიციის გამოყენება (ეგ არაფერი, არაწრფივი წრედებიც გვიყვარს, უბრალოდ სხვანაირად).

შეჯამება

თუ წრედი წრფივი ელემენტებისგან შედგება, მის გასამარტივებლად სუპერპოზიციის გამოყენებაა შესაძლებელი. ეს განსაკუთრებით გამოსადეგია იმ წრედებისთვის, რომლებსაც რამდენიმე შემომავალი წყარო აქვთ.

რამდენიმე შემომავალი სიგნალის მქონე წრფივი წრედების გასაანალიზებლად, ერთის გარდა ყველა შემომავალ სიგნალს ჩავახშობთ და შედეგად მიღებულ გამარტივებულ წრედს გავაანალიზებთ. ამას ყველა შემავალი სიგნალისა და წყაროსთვის გავაკეთებთ. შემდეგ მიღებულ შედეგებს დავაჯამებთ და მთლიანი წრედის ამონახსნს მივიღებთ.

წყაროების ჩახშობა

ძაბვის წყაროს ჩასახშობად, მას დამოკლებით ვანაცვლებთ:

დენის წყაროს ჩასახშობად მას ღია წრედით ვანაცვლებთ:

[ატრიბუცია]

[საავტორო უფლება]

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.