If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

ელექტროინჟინერია

კურსი: ელექტროინჟინერია > თემა 2

გაკვეთილი 3: მუდმივი დენის ანალიზი
მეცნიერება
ელექტროინჟინერია
წრედის ანალიზი
მუდმივი დენის ანალიზი
© 2023 Khan Academyგამოყენების პირობებიკონფიდენციალურობის პოლიტიკაშენიშვნა ქუქი-ჩანაწერებზე

საჭირო განტოლებების რაოდენობა

Google–ის საკლასო ოთახი
ვუპასუხებთ შეკითხვას: "რამდენი განტოლებაა საჭირო წრედის ამოსახსნელად და საიდან ვიღებთ მათ?" ავტორი: უილი მაკალისტერი.

შესავალი

„წრედის ამოხსნა“ განტოლებების სისტემის ამოხსნას ნიშნავს.
  • საიდან ვიცით, რამდენი განტოლებაა საჭირო წრედის ამოსახსნელად?
  • საიდან ვხვდებით, რომ მათი ჩაწერა შეგვიძლია?
წრედის ანალიზის შესწავლისას, შესაძლოა, გამართლებად ან დამთხვევად მოგეჩვენოთ, რომ ამოსახსნელად სწორი რაოდენობის განტოლებებს ვიღებთ. ეს სტატია გვიჩვენებს, რომ გამართლება არაფერ შუაშია, ანალიზის მეთოდები ზუსტად ასახავენ ყველა იმ მოცემულობას, რომელიც წრედის ამოხსნისთვისაა საჭირო.

რის აგებას ვცდილობთ

წრედის ამოსახსნელად ყველა კომპონენტის ძაბვისა და დენის გაგება გვჭირდება. ეს ნიშნავს, რომ დამოუკიდებელი ცვლადების რაოდენობა წრედის კომპონენტების რაოდენობაზე ორჯერ მეტია.
ეს განტოლებები სამი წყაროდან მოდიან:
  • განტოლებების ნახევარს თითოეული ელემენტისთვის კომპონენტის კანონის გამოყენებით ვიღებთ.
  • კირხჰოფის დენის კანონი N−1 დამოუკიდებელ განტოლებას იძლევა, სადაც N კვანძების რაოდენობაა.
  • კირხჰოფის ძაბვის კანონი E−(N−1) დამოუკიდებელ განტოლებას გვაძლევს, სადაც E კომპონენტების რაოდენობაა.
თუ ამ ყველაფერს თავს მოვუყრით, სწორი რაოდენობის განტოლებას მივიღებთ.
შედეგები, რომლებსაც მივიღებთ, სხვადასხვა წრედის ანალიზის მეთოდშია ჩაშენებული:
შეგიძლიათ ჯერ მეთოდებს გაეცნოთ და შემდეგ დაბრუნდეთ აქ.

რამდენი დამოუკიდებელი განტოლებაა საჭირო წრედის ამოხსნისთვის?

ეს მნიშვნელოვანი შეკითხვაა, რომელიც განსაზღვრავს იმ ძალისხმევას, რაც წრედის ანალიზის შესასრულებლადაა საჭრო. ვნახავთ, რომ განტოლებები ორი წყაროდან მოდიან: წრედის კომპონენტებიდან და მათი კავშირებიდან.
სამი მოცემულობა (შეზღუდვა), რომელიც წრედის ძაბვებსა და დენებზე მოქმედებს არის:
  • i-v ელემენტების კანონები
  • კირხჰოფის დენის კანონი
  • კირხჰოფის ძაბვის კანონი
განტოლებათა სისტემა, რომელიც ამ შეზღუდვებს ითვალისწინებს.
აბსტრაქტული იდეების განხილვასთან ერთად, კონკრეტულ წრედის მაგალითებსაც გამოვიყენებთ.
როგორც ალგებრიდან ვიცით, განტოლებათა სისტემის ამოხსნისთვის საჭირო დამოუკიდებელი განტოლებების რაოდენობა უცნობი ცვლადების რაოდენობის ტოლია. ანუ, თუ გვაქვს 10 უნცობი, ამ 10 უცნობი ცვლადის საპოვნად 10 განტოლება გვჭირდება. რამდენი უცნობია წრედში? თითოეულ ორტერმინალიან კომპონენტს უცნობი ძაბვა და უცნობი დენი აქვს. ანუ, E კომპონენტი 2E უცნობს გვაძლევს. შესაბამისად:
E კომპონენტიანი წრედის ამოხსნისთვის 2E დამოუკიდებელ განტოლებიანი განტოლებათა სისტემა გვჭირდება.

კონცეფციის შემოწმება

შეეცადეთ სანიმუშო წრედის შესახებ კითხვებს უპასუხოთ.
რამდენი კომპონენტია წრედში?
E=
კომპონენტი.

რამდენი კვანძია წრედში?
N=
კვანძი.

რამდენი წირია წრედში?
წირი

ამ წირებიდან რამდენია კონტური?
კონტური.

რამდენი განტოლებაა საჭირო ამ წრედის ამოსახსნელად?
განტოლება.

საიდან ვიღებთ 2E განტოლებას?

პასუხი: განტოლებების ნახევარი კომპონენტების კანონებიდან მოდის, მეორე ნახევარი კი — კირხჰოფის ძაბვისა და დენის კანონებიდან.

განტოლებების ნახევარი კომპონენტების კანონებიდან მოდის

წარმოიდგინეთ მაგიდაზე გაბნეული დაუკავშირებელი წრედის კომპონენტები.
თითოეულ კომპონენტს უცნობი დენი და ძაბვა აქვს:
თითოეულ კომპონენტს ერთი i-v განტოლება ახლავს თან. შეგიძლიათ წრედის კომპონენტებზე ისე იფიქროთ, როგორც მათემატიკის პატარა ნაგლეჯებზე.
i-v მიმართებები E დამოუკიდებელ განტოლებებს წარმოადგენენ, რაც საჭირო განტოლებების რაოდენობის ნახევარია.

საიდან ვიღებთ დანარჩენ E განტოლებას?

დანარჩენი E განტოლება წრედში მოცემული შეზღუდვებისგან მოდის. წრედში არსებულ შეერთებებს წრედის კომპონენტების ძაბვებსა და დენებზე გავლენა აქვთ. E „შეერთების“ განტოლებებს კირხჰოფის დენის კანონისა და კირხჰოფის ძაბვის კანონის გამოყენებით ვპოულობთ.
დავუშვათ, რომ წრედს E კომპონენტი და N კვანძი აქვს.
ჩვენს წრედს E=5 კომპონენტი (განშტოება) და N=3 კვანძი აქვს. ასევე ვიცით, რომ წრედი 6 წირისგან შედგება, რომელთაგან 3 კონტურია.
3 კვანძისა და 6 წირის ქონა E=5 განტოლების მიღების უამრავ შესაძლებლობას გვაძლებს, მაგრამ ფრთხილად უნდა ვიყოთ. მიღებული განტოლებები ერთმანეთისგან დამოუკიდებლები უნდა იყვნენ.

რა არის დამოუკიდებელი განტოლება?

განტოლება წრფივად დამოუკიდებელია თუ განტოლებათა სისტემის სხვა განტოლებებიდან მისი გამოყვანა არ შეიძლება. წრფივი კომბინაცია არის ნებისმიერი თანმიმდევრობით განტოლებების დამატება, გამოკლება ან მუდმივაზე გადამრავლება. ამ ოპერაციების გამოყენებით განტოლებების კომბინირებით დანარჩენი განტოლებების გამოყვანაა შესაძლებელი.

რამდენ დამოუკიდებელ განტოლებას ვიღებთ კირხჰოფის დენის კანონიდან?

კირხჰოფის დენის კანონის განტოლებებს წრედის ყველა კვანძისთვის ვწერთ, ეს N განტოლებას გვაძლევს. თუმცა, ყველა N განტოლება დამოუკიდებელი არ არის. ერთ-ერთი განტოლება ზედმეტია. ყოველთვის შეგვიძლია, ნებისმიერი კირხჰობის დენის კანონის განტოლება სხვა დანარჩენი განტოლებებიდან გამოვიყვანოთ. ანუ, ყოველთვის გვაქვს ერთი დამოკიდებული განტოლება, რომელიც არანაირ ახალ ინფორმაციას არ გვაძლევს, ამიტომ ის საჭირო არ არის.
კირხჰოფის დენის კანონის გამოყენებით მხოლოდ N−1 დამოუკიდებელ განტოლებას ვიღებთ. ის, თუ რომელ კვანძს გამოვტოვებთ, ჩვენზეა დამოკიდებული. როგორც წესი, დამიწების კვანძს ვტოვებთ ხოლმე, რადგან ის შედარებით კომპლექსურია (ყველაზე მეტ კომპონენტთანაა დაკავშირებული).
შეჯამება: კირხჰოფის დენის კანონი N−1 დამოუკიდებელ განტოლებას გვაძლევს.
ახლა E−(N−1) განტოლება გვჭირდება.

რამდენ დამოუკიდებელ განტოლებას გვაძლებს კირხჰოფის ძაბვის კანონი?

კირხჰოფის დენის კანონით მიღებული N−1 განტოლების ჩაწერის შემდეგ, კიდევ E−(N−1) განტოლება გვესაჭიროება. ჩვენს მაგალითში მოცემული წრედისთვის, გვჭირდება 5−(3−1)=3 დამატებითი განტოლება. საიდან მივიღებთ მათ? ისინი წრედის წირების გარშემო კირხჰოფის ძაბვის კანონის ჩაწერით მიიღება.
გრაფების თეორია ორ საოცარ რამეს გვასწავლის:
  • კირხჰოფის ძაბვის კანონი ზუსტი რაოდენობის დამოუკიდებელ განტოლებებს გვაძლევს, E−(N−1).
  • E−(N−1) კონტურების რაოდენობის ტოლია.
კირხჰოფის ძაბვის კანონის განტოლებების საჭირო რაოდენობის მარტივი გაგების გზა წრედში კონტურების დათვლაა.
ჩვენს მაგალითში წრედს 3 კონტური აქვს, ამიტომ მაშინვე ვხვდებით, რომ 3 კირხჰოფის ძაბვის კანონის განტოლების ჩაწერა გვჭირდება; არც მეტის, არც ნაკლების. ჩვენს წრედს 6 წირი აქვს (აქედან 3 კონტურია), შესაბამისად, საჭირო განტოლებების მიღების ბევრი შესაძლებლობა გვაქვს.

კირხჰოფის ძაბვის კანონის განტოლებების დამოუკიდებლობა

ჩვენ გვსურს, რომ კირხჰოფის ძაბვის კანონის განტოლებები დამოუკიდებელი იყოს. როგორ ვაღწევთ ამას?
უმარტივესი გამოსავალი: კირხჰოფის ძაბვის კანონის განტოლებებს მხოლოდ კონტურებისთვის ვწერთ:
კონტურები გარანტირებულად მხოლოდ დამოუკიდებელ განტოლებებს გვაძლევენ.
თუ გვსურს (ან საჭიროა) არაკონტური წირების განტოლებების გამოყენებაც, ასეთი დამოუკიდებელი განტოლებების ასარჩევად ცოტა მეტი ძალისხმევაა საჭირო. წირის დამოუკიდებლობის შემჩნევის ერთი გზაა:
ყველა წირი უნდა შეიცავდეს ორთ ისეთ კომპონენტს, რომელიც არცერთ სხვა წირში არ არის მოცემული.
ჩვენი მაგალითისთვის გვჭირდება 3 დამოუკიდებელი კირხჰოფის ძაბვის კანონის განტოლება, მათ კი 6 შესაძლო წირიდან ავარჩევთ. მოდით, შემდეგი წირებიანი დიაგრამა განვიხილოთ:
თუ ავარჩევთ სამ კონტურს, I, II და III, მიზანს მივაღწევთ. კონტურები სწორი რაოდენობით განტოლებებს იძლევიან და მათი დამოუკიდებლობა გარანტირებულია. ეს ძალიან ხელსაყრელია, მითუმეტეს, რომ კონტურების ცნობა მარტივია. ეს კონტურული დენის მეთოდის საფუძველია.
ჩვენი წრედისთვის კიდევ ერთი შესაძლო წირების ნაკრებია IV, V, დაVI. რატომ არის ეს კარგი ნაკრები?
  • E−(N−1)=3 განტოლების მიხედვით 3 განტოლებაა საჭირო.
  • წირში ყველა ელემენტია გათვალისწინებული.
ზოგიერთი წირი მოთხოვნებს არ აკმაყოფილებს: შეგიძლიათ მიხვდეთ, თუ რატომ?
კირხჰოფის ძაბვის კანონის განტოლებების არა-კონტური წირებისთვის ჩაწერისას დამატებითი სიფრთხილე გვმართებს, მაგრამ ხანდახან, შესაძლოა, წირის გამოყენება გვსურდეს ან ეს აუცილებელი იყოს. არ შეუშინდეთ წირების გამოყენებას, უბრალოდ, მუშაობისას ფრთხილი იყავით.

შეჯამება

წრედის დენებსა და ძაბვებზე სამი შეზღუდვა ვრცელდება:
  • i-v ელემენტების კანონები
  • კირხჰოფის დენის კანონი
  • კირხჰოფის ძაბვის კანონი
განტოლებათა სისტემა, რომელიც ამ შეზღუდვებს ითვალისწინებს.
წრედისთვის, რომელშიც E კომპონენტი და N კვანძია:
  • წრედის ამოხსნისთვის საჭიროა:
    • 2E დამოუკიდებელი განტოლება.
  • გვაქვს:
    • თითოეული კომპონენტის კანონიდან (ომის კანონი და სხვა) გვაქვს E განტოლება.
    • N−1 დამოუკიდებელ კვანძის განტოლებას კირხჰოფის დენის კანონი გვაძლევს.
    • E−(N−1) დამოუკიდებელ წირის განტოლებას კირხჰოფის ძაბვის კანონიდან ვპოულობთ.
  • E−(N−1) იგივეა, რაც კონტურების რაოდენობა, ამიტომ კირხჰოფის ძაბვის კანონის განტოლებების საჭირო რაოდენობის გასაგებად კონტურების დათვლა შეგვიძლია.
  • კირხჰოფის ძაბვის კანონის განტოლებების კონტურებისთვის ჩაწერისას გარანტირებულია, რომ სწორი რაოდენობით განტოლებებს მივიღებთ.
  • თუ არაკონტური წირების გამოყენებას გადაწყვეტთ, დამოუკიდებელი განტოლებების მისაღებად აუცილებელია ყველა წირს ერთი ისეთი კომპონენტი ჰქონდეს, რომელიც არცერთ სხვა წირში არ არის.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა
პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.