ძირითადი მასალა

ელექტროინჟინერია

კურსი: ელექტროინჟინერია > თემა 2

გაკვეთილი 3: მუდმივი დენის ანალიზი

წრფივობა

როდესაც რეზისტორზე მოდებული ძაბვა ორმაგდება, ასევე ორჯერ იმატებს მისი დენი. ამიტომ ვამბობთ, რომ რეზისტორი წრფივი კომპონენტია. კონდენსატორები და ინდუქტორებიც წრფივი ელემენტებია. ავტორი: უილი მაკალისტერი.

შესავალი

წრფივობა მათემატიკური იდეაა, რომელსაც ელექტრონიკის დიზაინზე დიდი გავლენა აქვს. თვითონ იდეა საკმაოდ მარტივია, თუმცა მისი შედეგები მეტად მნიშვნელოვანი და გამოსადეგია ჩვენი სფეროსთვის. დავიწყებთ წრფივობის მათემატიკური მნიშვნელობით, შემდეგ კი ამ იდეებს ელექტრონულ წრედებში გამოვიყენებთ.

რის აგებას ვცდილობთ

მათემატიკის გადმოსახედიდან ფუნქცია წრფივია, თუკი შემდეგი თვისებები აქვს:

ჰომოგენურობა (სკალირება):

f (a x) = a f (x)

შეჯამებადობა (ადიტიურობა):

f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})

როდესაც ფუნქციის არგუმენტები და მნიშვნელობები უბრალო რიცხვებია, ფუნქციას, რომელსაც სკალირების თვისება აქვს, ავტომატურად შეჯამებადობის თვისებაც გააჩნია. რეზისტორები, კონდენსატორები და ინდუქტორები წრფივია, რადგან მათ სკალირების თვისება აქვთ.

წრფივი

წრფივობა მიუთითებს სკალირების თვისებაზე. დავუშვათ, რომ გვაქვს ორი დაკავშირებული ფიზიკური თვისებები, მაგალითად, თქვენი სირბილის სიჩქარე და გარბენილი მანძილი. თუ სიჩქარეს გააორმაგებთ, მანძილიც გაორმაგდება (იმავე დროში). თუ სიჩქარეს გაასამმაგებთ, მანძილიც გასამმაგდება. ამას წრფივი დამოკიდებულება ეწოდება. როგორც წესი, რაიმეს ფასი წრფივია. თუ რვეული $1 ღირს, მაშინ ათი რვეულის ფასი $10 იქნება.

ელექტრონიკაში, იდეალური რეზისტორი ძაბვასა და დენს შორის წრფივ დამოკიდებულებას ქმნის. თუ გავაორმაგებთ ძაბვას, დენიც გაორმაგდება, და პირიქით. ამიტომ ვამბობთ, რომ რეზისტორი წრფივი ელემენტია.

[წრფივობის სხვა მნიშვნელობები.]

[არაწრფივი რაღაცები.]

სკალირება (ჰომოგენურობა)

გვსურს ეს სკალირების თვისება მათემატიკურად ჩავწეროთ. ეს „გაორმაგება იწვევს გაორმაგებას“ შეგვიძლია ჩავწეროთ, როგორც

f (2 x) = 2 f (x)

. იმავენაირად, „გასამმაგება იწვევს გასამმაგებას“ ჩაიწერება, როგორც

f (3 x) = 3 f (x)

. ზოგადად, სკალირების თვისება არის

f (a x) = a f (x)

ამ თვისების მათემატიკური სახელი ჰომოგენურობაა.

ფუნქციას, რომელიც საწყისზე გადის, სკალირების თვისება გააჩნია. დავუშათ, რომ

y = f (x) = 2 x

თუ

x = 2

, მაშინ

y = 2 \cdot 2 = 4

თუ

x

-ს

2

-დან

4

-მდე გავზრდით, მაშინ

y = 2 \cdot 4 = 8

x

-ს გაორმაგება ზუსტად აორმაგებს

y

-ს.

რადგან

f (x)

სწორი ხაზია, სკალირების კოეფიციენტი

a

არ არის

x

-ზე დამოკიდებული.

თუ ფუნქცია ნებისმიერი სხვა ფორმისაა, როგორიცაა

y = x^{2}

ან

y = 1 / x

ან

y = e^{x}

, სკალირების კოეფიციენტი იგივე არაა ყველა

x

-ისთვის, ის

x

-ის მნიშვნელობაზეა დამოკიდებული.

მაგალითად, თუ

y = x^{2} / 16

x = 4

-ზე,

y = 4^{2} / 16 = 1

, ამიტომ სკალირების კოეფიციენტი

x

-იდან

y

-მდე არის

1 / 4

x = 8

-ზე,

y = 8^{2} / 16 = 4

, შესაბამისად სკალირების კოეფიციენტია

1 / 2

ნებისმიერი ფუნქციისთვის, რომელიც სწორი ხაზი არ არის, სკალირება მუდმივა არ არის, არამედ ის შესავალ მნიშვნელობაზე,

x

-ზე, არის დამოკიდებული.

ეს არის მთავარი მიზეზი იმისა, თუ რატომ მოგვწონს წრფივი გამაძლიერებლების აწყობა, რომლებიც მცირე სიგნალებს ზრდიან. სიგნალის ყველა ნაწილი თანაბრადაა სკალირებული, შესაბამისად გამომავალი სიგნალი შემავალი სიგნალის გაზრდილი რეპლიკაა.

დაჯამება (შეჯამებადობა)

როდესაც დამოკიდებულება წრფივია (გააჩნია სკალირების თვისება), შეგვიძლია შეჯამებადობის თვისების გამოყვანა. ყველა წრფივ ფუნქციას აქვს წრფის ფორმა და გააჩნია სკალირების კოეფიციენტი (დახრილობა)

a

f (x) = a x

თუ შემავალი ფუნქცია ორი სხვადასხვა ფუნქციის ჯამია

(x_{1} + x_{2})

, მაშინ,

f (x_{1} + x_{2}) = a (x_{1} + x_{2}),

განრიგებადობის კანონის გამოყენებით,

f (x_{1} + x_{2}) = a x_{1} + a x_{2} .

წევრები მაჯვენა მხარეს შეესაბამებიან:

a x_{1} = f (x_{1}) a x_{2} = f (x_{2})

და ვიღებთ შეჯამებადობის თვისებას:

f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})

შეჯამებადობის გამოყენება ჭკვიანურად შეგვიძლია.

დავუშვათ, გვაქვს ორი შემომავალი ფუნცია,

x_{1}

და

x_{2}

. ორივე წრფივ ფუნქციაში,

f (x)

-ში, შევუშვათ. რა თქმა უნდა, მივიღებთ

f (x_{1})

-ს და

f (x_{2})

-ს.

თუ შემომავალ წევრებს დავაჯამებთ,

x_{1} + x_{2}

, და მათ ჯამს ფუნქცია

f (x)

-ში შევუშვებთ, უკან მივიღებთ

f (x_{1} + x_{2})

-ს.

ესეც ჭკვიანური ნაწილი: თუ

f (x)

წრფივი ფუნქციაა, არსებობს შედეგის მიღების მეორე გზა, როდესაც

x_{1} + x_{2}

შემავალია. შედეგის გამოთვლა ორი დამოუკიდებელი შედეგის ჯამითაა შესაძლებელი,

f (x_{1}) + f (x_{2})

წრფივი ფუნქციის შეჯამებადობის თვისებას სუპერპოზიცია ეწოდება. ეს წრედის ანალიზის საბაზისო ტექნიკაა. სუპერპოზიცია ჭკვიანურად გამოიყენება ბადისებრი დენის მეთოდში და ბევრ სხვა ინჟინერიის სფეროში (განსაკუთრებით სიგნალების პროცესირებაში).

[შეიძლება, რომ არაწრფივ ფუნქციებს ჰქონდეს შეჯამებადობის თვისება?]

ელექტრული კომპონენტების წრფივობა

დავიწყოთ რეზისტორით. მათემატიკურად, შეგვიძლია რეზისტორს შევხედოთ, როგორც ფუნქციას, რომელიც იღებს ძაბვას და გვიბრუნებს დენს.

თუ რეზისტორი სკალირების წესს აკმაყოფილებს, ის წრფივია. შეგვიძლია ომის კანონის ფუნქციად ჩაწერა:

i = f (v) = \frac{1}{R} v

რეზისტორის სკალირება

თუ რეზისტორზე მოდებულ ძაბვას გავაორმაგებთ, დენიც გაორმაგდება.
თუ რეზისტორში

4

-ჯერ მეტ დენს გავატარებთ, მისი ძაბვაც

4

-ჯერ გაიზრდება.

რეზისტორის შეჯამებადობა

თუ რეზისტორზე

1 V + 3 V

ძაბვას მოვდებთ, შედეგად მიღებული დენი იქნება ან

\frac{1 V + 3 V}{R} = \frac{4 V}{R}

ან

\frac{1 V}{R} + \frac{3 V}{R} = \frac{4 V}{R}

რეზისტორს სკალირება (და, შესაბამისად, შეჯამებადობა) გააჩნია.
რეზისტორი წრფივი ელემენტია.

რეალურ რეზისტორს, რა თქმა უნდა, გააჩნია მაქსიმალური ძაბვის და დენის ზღვარი. თუ სიმძლავრე

(i \cdot v)

მეტია, ვიდრე რეზისტორს შეუძლია გაუძლოს, შესაძლოა, ის გადახურდეს და მისი წინაღობა შეიცვალოს ან დაიწვას კიდეც. ანუ, რეალური რეზისტორი წრფივი მხოლოდ ძაბვისა და დენის მნიშვნელობების გარკვეული დიაპაზონისთვისაა. თუმცა, იდეალური რეზისტორი ნებისმიერი

i

და

v

მნიშვნელობისთვის მუშაობს, ამიტომაც იდეალური რეზისტორი წრფივია.

კონდენსატორები და ინდუქტორები წრფივია?

კონდენსატორისა და ინდუქტორის კანონები არის

i = C \frac{d v}{d t}

და

v = L \frac{d i}{d t}

ერთი შეხედვით, ეს განტოლებები წრფის განტოლებებს არ გვანან, მაგრამ ისინი არიან. ისინი წრფეები არიან თუ

v

-ს ან

i

-ს მაგივრად

d v / d t

-ს და

d i / d t

-ს ავიღებთ, როგორც დამოუკიდებელ ცვლადებს.

i = f (\frac{d v}{d t}) = C \frac{d v}{d t}

და

v = f (\frac{d i}{d t}) = L \frac{d i}{d t}

კონდენსატორის კანონი შეგვიძლია გამოვსახოთ, როგორც სწორი წრფე, თუკი

d v / d t

-ს ჰორიზონტალურ ღერძად ავიღებთ და

i

ვერტიკალური ღერძი იქნება. კონდენსატორის წრფის დახრილობა არის

C

იმავენაირად, ინდუქტორის კანონის აგებაცაა შესაძლებელი სწორ წრფედ, თუ

d i / d t

ჰორიზონტალური,

v

კი ვერტიკალური ღერძია. ინდუქტორის წრფის დახრილობა

L

არის.

იდეალური კონდენსატორები და ინდუქტორები წრფივი ელემენტებია.

გვაქვს სამი ელემენტი:

R L C

მხოლოდ ამ წრფივი კომპონენტების გამოყენებით უამრავი საინტერესო ელექტრონული ფუნქციის შექმნა შეგვიძლია.

დიოდი არაწრფივი კომპონენტია

კონტრასტისთვის, გამოსადგია, ვისაუბროთ ისეთ კომპონენტზეც, რომელიც წრფივი არაა. დიოდი არაწრფივი ნახევრადგამტარი კომპონენტია.

დიოდების შესახებ მეტს მოგვიანებით გავიგებთ. ამჯერად

i

v

მრუდს დავაკვირდებით, რათა ვნახოთ, როგორ გამოიყურება არაწრფივი მოწყობილობა:

ეს

i

v

მრუდი დიოდის კომპონენტის კანონია. ნათელია, რომ ეს წრფე არ არის, შესაბამისად, დიოდი არ არის წრფივი კომპონენტი. დიოდის არაწრფივი ქცევა ტიპურია სხვა ნახევარგამტარ მოწყობილობებშიც, როგორიც ტრანზისტორია.

[დამატებით: დიოდის i-v მრუდის დეტალები.]

რატომ ვსაუბრობთ ამდენს წრფივობაზე?

პასუხი: მათემატიკა ძალიან კარგად მუშაობს!

წრფივი კომპონენტებისგან შემდგარი წრედის ზუსტად ამოხსნაა შესაძლებელი. არსებობს მათემატიკის მთელი მიმართულება, წრფივი ალგებრა, რომელიც წრფივი ფუნქციების ამოხსნას შეისწავლის.

სიდიადის რამდენიმე მაგალითი: კირხჰოფის კანონები წრფივობის გამო მუშაობს. ასევე წრფივობის დამსახურებით მუშაობს კვანძური ძაბვის მეთოდი და ბადისებრი დენის მეთოდი.

არაწრფივი ფუნქციები და კომპონენტები

ზოგადად, არაწრფივ ფუნქციებს ეს თვისებები არ გააჩნიათ. ადამიანებს ჯერ არ გამოგვიგონია არაწრფივი განტოლებების/წრედების ზუსტი ამოხსნის ზოგადი მეთოდი.

ყოველი ახალი წრედი შესაბამის, ახალ მეთემატიკურ ტექნიკას მოითხოვს. როგორც წესი, არაწრფივი წრედის ამოხსნის მეთოდი მოიცავს ამ წრედის წრფივად წარმოჩენას, თუნდაც მუშაობის არეალის მცირე მონაკვეთში. ეს ხდება, როდესაც ვაწყდებით ტერმინებს „წყვეტილ-წრფივი მიახლოება“ ან „მცირე-სიგნალის მოდელი“.

[უნდა ავარიდოთ თავი არაწრფივ წრედებს?]

შეჯამება

ფუნქცია წრფივია, თუ მას ეს თვისებები აქვს:

ჰომოგენურობა (სკალირება):

f (a x) = a f (x)

შეჯამებადობა (ადიტიურობა):

f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})

თუ

x

და

a

რეალური რიცხვებია (და არა — ვექტორები ან მწკრივები), ეს თვისებები ერთსა და იმავეს ნიშნავს და მხოლოდ ერთ-ერთი მათგანის შემოწმებაც საკმარისია.

რეზისტორები, კონდენსატორები და ინდუქტორები წრფივი კომპონენტებია, რადგან მათ სკალირების თვისება გააჩნიათ.

წრფივობა სიტყვებით

შემომავალი სიგნალის $a$ ‍ კოეფიციენტით სკალირებისას გამავალი სიგნალიც $a$ ‍-თი სკალირდება.
ორი შემომავალი სიგნალის ჯამი იმავე გამომავალ სიგნალს გვაძლევს, რასაც ინდივიდუალური შემომავალი სიგნალებისგან მიღებული გამომავალი სიგნალების დაჯამება.

[საავტორო უფლებების შესახებ]

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.