ძირითადი მასალა

კურსი: ელექტროინჟინერია > თემა 2

გაკვეთილი 3: მუდმივი დენის ანალიზი

ფუნდამენტური კანონების გამოყენება

წრედს ფუნდამენტური კანონების პირდაპირი გამოყენებით ამოვხსნით: წრედის ძაბვებისა და დენების გასაგებად კომპონენტის კანონებს (როგორიც ომის კანონია) პლუს კირხჰოფის კანონებს გამოვიყენებთ. ავტორი: უილი მაკალისტერი.

შესავალი

ჩვენ უკვე რამდენჯერმე მოგვიწია ომის კანონის პირდაპირ გამოყენება, როცა მიმდევრობით და პარალელურად ჩართული რეზისტორების, ძაბვის გამყოფისა და რეზისტორთა წრედების გამარტივების ფორმულები გამოვიყვანეთ. ახლა კი ისეთ მაგალითს განვიხილავთ, რომელიც კირხჰოფის კანონების გამოყენებასაც საჭიროს გახდის. ამას ფუნდამენტური კანონების გამოყენებას ვუწოდებთ.

დავალება: მოცემულ წრედში იპოვეთ უცნობი დენის ძალები და ძაბვები.

ამოხსნის ეტაპები დამოუკიდებელი განტოლებათა სისტემის ჩაწერის და მისი ამოხსნისგან შედგება.

აღნიშნეთ ძაბვები და დენები პასიური კომპონენტების ნიშნების კონვენციის მიხედვით.
აირჩიეთ დამოუკიდებელი ცვლადი, $i$ ‍ ან $v$ ‍, რათა დაწეროთ უმარტივესი განტოლებები.
დაწერეთ განტოლებები კირხოფის I, II ან ორივე კანონის გამოყენებით. დარწმუნდით, რომ ყოველი ელემენტი ერთხელ მაინც იყოს წარმოდგენილი რომელიმე განტოლებაში.
ამოხსენით განტოლებათა სისტემა.
გამოთვალეთ დანარჩენი უცნობი ძაბვებისა და დენების სიდიდეებიც.

ნაბიჯი 1: სქემის აღნიშვნა

დასაწყისისთვის, მოსახერხებელია, თუ ძაბვებს, დენებსა და კვანძებს სახელებს დავარქმევთ და გამოვყოფთ ჩვენთვის ცნობილ და უცნობ სიდიდეებს.

წრედის ცნობილი მახასიათებლები და უცნობები:

$5$ ‍ ელემენტი
$3$ ‍ კვანძი, სახელებით $a$ ‍, $b$ ‍ და $c$ ‍.
კვანძი $2$ ‍ ან მეტი ელემენტის შეერთების წერტილია.
რადგანაც სქემაში ხაზები იდეალურ, ნულოვანი წინაღობის მქონე გამტარებს წარმოადგენენ, არაა აუცილებელი, რომ კვანძი წერტილოვან შეერთებად დავხაზოთ. შეგვიძლია კვანძი განშტოებული გამტარებითა და წერტილებით გამოვსახოთ. ამას განაწილებული კვანძი ეწოდება. $a$ ‍ კვანძი ორ ელემენტს აერთებს (ძაბვის წყაროსა და $20 Ω$ ‍ რეზისტორს) $b$ ‍ და $c$ ‍ კვანძები განაწილებული კვანძებია.
განაწილებული კვანძის განმარტება და სხვა მაგალითები შეგიძლიათ ნახოთ აქ.
$3$ ‍ ბადე (შიდა კონტური).
ჩაკეტილი კონტური წრედის ელემენტებზე გამავალი ჩაკეტილი გზაა..
ბადე ისეთი ჩაკეტილი კონტურია, რომლის შიგნითაც ჩაკეტილი კონტური არაა. ჩაკეტილი კონტურისა და ბადის განმარტებები და მაგალითები შეგიძლიათ ნახოთ აქ.
$1$ ‍ ძაბვის წყარო, $v_{S}$ ‍ და $2$ ‍ ელემენტზე მოდებული ძაბვა, $v_{1}$ ‍ და $v_{2}$ ‍.
$1$ ‍ დენის წყარო, $i_{S}$ ‍ და $3$ ‍ ელემენტში გამავალი დენი, $i_{1}$ ‍, $i_{2}$ ‍ და $i_{3}$ ‍.

თითოეული ელემენტისთვის დენისა და ძაბვის პოლარობის მინიჭებისას, ვიყენებთ ნიშნების კონვენციას პასიური კომპონენტებისთვის: ყოველი რეზისტორისთვის, დენის ძალის ისარი დადებითი ბოლოსკენაა მიმართული.

იმის ხაზგასასმელად, რომ ამ წრედზე სულ სამი კვანძია, ის აქ თავიდანაა გადმოხატული

b

და

c

კვანძების განაწილების გარეშე.

(აშკარად ჩანს, რომ ორი პარალელური,

6 Ω

და

5 Ω

-ომიანი, რეზისტორის გამარტივება შეგვიძლია. ამას არ გავაკეთებთ, რადგან ჩვენი მიზანი ზოგადი ანალიზის პროცედურის შესწავლაა)

ნაბიჯი 2. დამოუკიდებელი ცვლადის არჩევა

ამ ეტაპზე არჩევანი უნდა გავაკეთოთ. რომელი უნდა იყოს დამოუკიდებელი ცვლადი: ძაბვა

v

თუ დენის ძალა

i

? ამის გადაწყვეტის ერთი მარტივი გზა უცნობი ძაბვებისა და დენების რაოდენობის შედარებაა. აქ

2

უცნობი ძაბვა და

3

უცნობი დენი გვაქვს. თუ დამოუკიდებელ ცვლადად ძაბვას ავირჩევთ,

2

-ძაბვიანი წევრი გვექნება, ნაცვლად

3

-დენიანი წევრისა.

2

უფრო მარტივია, ამიტომ ამ ამოცანისთვის დამოუკიდებელ წევრად ძაბვას ავარჩევთ.

ნაბიჯი 3. დამოუკიდებელი განტოლებების შედგენა

რადგან ორი უცნობი ძაბვა გვაქვს, მათ საპოვნელად ორი დამოუკიდებელი განტოლება დაგვჭირდება. ჩვენ უკიდურესი მარცხენა ბადისთვის კირხოფის ძაბვის კანონის განტოლებას და

b

კვანძისთვის კირხოფის დენის კანონის განტოლებას ავარჩევთ. რატომ მაინცდამაინც ეს ორი? ისინი წრედის ორ ყველაზე თვალშისაცემ თავისებურებას აღწერენ.

b

კვანძს ბევრი შეერთება აქვს, რის გამოც ის წრედის ერთ-ერთი საყურადღებო წერტილია, მარცხენა ბადე კი ზუსტად ყველა დანარჩენ ელემენტს შეიცავს, რომლებსაც

b

კვანძზე დაკვირვებით ვერ დავახასიათებთ. უნდა ითქვას, რომ ანალიზის ამ ეტაპზე წრედებთან მუშაობის გამოცდილება განსაკუთრებულ როლს თამაშობს. რაც უფრო მეტ ასეთ ამოცანას გააკეთებთ, შესაბამისი ინტუიციაც მეტად ჩამოგიყალიბდებათ.

კირხოფის ძაბვის კანონი უკიდურესი მარცხენა ბადისთვის

უკიდურეს მარცხენა ბადეში სტაფილოსფერი წრეა ჩახაზული.

ვიწყებთ ქვედა მარცხენა კუთხიდან, სადაც დამიწების სიმბოლოა. ბადეს საათის ისრის მიმართულებით ვუვლით და შემხვედრ ძაბვებს ვაჯამებთ. კირხოფის ძაბვის კანონი გვეუბნება, რომ ჩაკეტილ კონტურზე ელემენტთა ძაბვების ჯამი ნულის ტოლია.

+ v_{S} - v_{1} - v_{2} = 0

+ 140 - v_{1} - v_{2} = 0

v_{1}

-სა და

v_{2}

-ს

-

ნიშანი იმიტომ აქვთ, რომ კონტურზე შემოვლისას ჯერ მათი

+

ბოლო გვხვდება, ეს კი კომპონენტში გავლისას ძაბვის ვარდნას გულისხმობს.

კირხოფის დენის კანონი $b$ ‍ კვანძისთვის

ჩვენს მეორე განტოლებას

b

კვანძისთვის კირხოფის დენის კანონის განტოლების ჩაწერით მივიღებთ. ამ კანონის თანახმად, კვანძში შემავალი დენი მისგან გამომავალი დენის ტოლია.

შევკრიბოთ

b

კვანძში შემავალი დენები და გავუტოლოთ გამომავალი დენების ჯამს.

i_{1} + i_{S} = i_{2} + i_{3}

წინათ, მე-2 ნაბიჯზე, გადავწყვიტეთ, რომ დამოუკიდებელ ცვლადებად

v_{1}

და

v_{2}

გამოგვეყენებინა, ამიტომ უცნობ დენებს, ომის კანონის გამოყენებით, ძაბვებითა და წინაღობებით გამოვსახავთ.

\frac{v_{1}}{20 Ω} + 18 = \frac{v_{2}}{6 Ω} + \frac{v_{2}}{5 Ω}

ცოტა არითმეტიკის შემდეგ, მივიღეთ ორი განტოლების სისტემა ორი უცნობით,

v_{1} + v_{2} = 140

\frac{1}{20} v_{1} - (\frac{1}{6} + \frac{1}{5}) v_{2} = - 18

ეს ორი განტოლება სრულად გამოსახავს ჩვენი წრედის მოქმედებას.

ეს კარგი მომენტია შემოწმებისთვის. მონაწილეობდა თუ არა ყველა ელემენტი ერთ განტოლებაში მაინც? რომელიმე ხომ არ გამოგვრჩა? გაითვალისწინეთ

5

-ივე ელემენტი.

ნაბიჯები 4 და 5 - ამოხსნა

სანამ ქვემოთ სრულ პასუხს ნახავთ, თავად სცადეთ განტოლებათა სისტემის ამოხსნა.

იპოვეთ უცნობი ძაბვები $v_{1}$ ‍ და $v_{2}$ ‍, და უცნობი დენები $i_{1}$ ‍, $i_{2}$ ‍ და $i_{3}$ ‍.

v_{1} =

V

v_{2} =

V

i_{1} =

A

i_{2} =

A

i_{3} =

A

ნაბიჯი 4. განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

გამოვიყენოთ მარტივი ალგებრა. ამ განტოლებათა სისტემის ამოხსნა წრფივი ალგებრითაცაა შესაძლებელი, მაგალითად კრამერის წესის გამოყენებით.

v_{2}

-ის მოსაშორებლად გამოვსახოთ

v_{2}

პირველი განტოლებიდან,

v_{2} = 140 - v_{1}

შემდეგ, ჩავსვათ

v_{2}

მეორე განტოლებაში,

\frac{1}{20} v_{1} - (\frac{1}{6} + \frac{1}{5}) (140 - v_{1}) = - 18

ვიპოვოთ

v_{1}

,
(რიცხვებს წილადად ვტოვებთ, დამრგვალება რომ არ მოგვიწიოს)

\frac{1}{20} v_{1} - (\frac{5}{30} + \frac{6}{30}) (140 - v_{1}) = - 18

\frac{1}{20} v_{1} - (\frac{11}{30}) 140 + (\frac{11}{30}) v_{1} = - 18

გადავიტანოთ

v_{1}

-ები მარცხნივ და მუდმივები — მარჯვნივ,

\frac{1}{20} v_{1} + \frac{11}{30} v_{1} = (\frac{11}{30}) 140 - 18

და ვამუშაოთ ალგებრა,

(\frac{3}{60} + \frac{22}{60}) v_{1} = \frac{11 \cdot 140}{30} - \frac{540}{30}

\frac{25}{60} v_{1} = \frac{1540}{30} - \frac{540}{30}

\frac{25}{60} v_{1} = \frac{1000}{30}

v_{1} = \frac{60}{25} \cdot \frac{1000}{30}

v_{1} = 80 V

ერთი ძაბვა დავთვალეთ, ახლა მეორეს ჯერია,

v_{2} = 140 - v_{1}

v_{2} = 140 - 80

v_{2} = 60 V

ორივე ძაბვა დათვლილია. ახლა შეგვიძლია ომის კანონის გამოყენებით უცნობი დენებიც ვიპოვოთ.

ნაბიჯი 5. დანარჩენი უცნობების პოვნა

i = \frac{v}{R}

ომის კანონი

i_{1} = \frac{v_{1}}{20} = \frac{80}{20} i_{1} = 4 A

i_{2} = \frac{v_{2}}{6} = \frac{60}{6} i_{2} = 10 A

i_{3} = \frac{v_{2}}{5} = \frac{60}{5} i_{3} = 12 A

მორჩა! ამოხსნილი წრედი ასე გამოიყურება:

შეჯამება

ჩვენ წრედი ფუნდამენტური კანონების პირდაპირი გამოყენებით ამოვხსენით. ანალიზი ომისა და კირხოფის კანონებით წარვმართეთ.

ამოხსნის ნაბიჯები:

აღნიშნეთ ძაბვები და დენები პასიური კომპონენტების ნიშნების კონვენციის მიხედვით.
აირჩიეთ დამოუკიდებელი ცვლადი, $i$ ‍ ან $v$ ‍, რათა დაწეროთ უმარტივესი განტოლებები.
დაწერეთ განტოლებები კირხოფის I, II ან ორივე კანონის გამოყენებით. დარწმუნდით, რომ ყოველი ელემენტი ერთხელ მაინც იყოს წარმოდგენილი რომელიმე განტოლებაში.
ამოხსენით განტოლებათა სისტემა დამოუკიდებელი ცვლადებისთვის (ამ შემთხვევაში $v_{1}$ ‍-ისა და $v_{2}$ ‍-ისთვის).
გამოთვალეთ დანარჩენი უცნობი სიდიდეებიც.
‍

წრედის ამოხსნისას ჩვენი მიდგომა ფუნდამენტურ კანონებს ეფუძნებოდა და სწორი პასუხიც მივიღეთ. თუმცა, განტოლებები, ცოტა არ იყოს, პირობითად შერჩეულს გავდა. შემდეგში ორ ეფექტურ, კარგად ორგანიზებულ მეთოდს განვიხილავთ, რომლებიც ნებისმიერ წრედს ამოგვახსნევინებენ — კვანძური ძაბვისა და კონტურული დენების მეთოდებს.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

ელექტროინჟინერია