ძირითადი მასალა

კურსი: სტატისტიკა და ალბათობა > თემა 3

გაკვეთილი 5: ერთობლიობის დისპერსია და სტანდარტული გადახრა

პოპულაციისა და შერჩევითი ერთობლიობის სტანდარტული გადახრის მიმოხილვა

მთლიანი და შერჩევითი ერთობლიობის სტანდარტული გადახრა

სტანდარტული გადახრა ზომავს მონაცემების განაწილების გაფანტულობას. იგი ზომავს ტიპიურ მანძილს თითოეული მონაცემიდან საშუალომდე.

სტანდარტული გადახრისთვის გამოყენებული ფორმულა დამოკიდებულია იმაზე, მონაცემები ითვლება მთლიან ერთობლიობად თუ იგი წარმოადგენს უფრო დიდი ერთობლიობის შერჩევით ერთობლიობას.

თუ მონაცემები თავად ითვლება მთლიან ერთობლიობად, ვყოფთ მონაცემების $N$ ‍ რაოდენობაზე.
თუ მონაცემები არის უფრო დიდი ერთობლიობის შერჩევითი ერთობლიობა, ვყოფთ შერჩევით ერთობლიობაში მოცემულ მონაცემებზე ერთით ნაკლებზე, $n - 1$ ‍-ზე.

მთლიანი ერთობლიობის სტანდარტული გადახრა:

σ = \sqrt{\frac{\sum (x_{i} - μ)^{2}}{N}}

შერჩევითი ერთობლიობის სტანდარტული გადახრა:

s_{x} = \sqrt{\frac{\sum (x_{i} - \bar{x})^{2}}{n - 1}}

ფორმულაში მოცემული ყველა ნაბიჯი ერთნაირია ერთის გარდა—როცა შერჩევით ერთობლიობასთან გვაქვს საქმე, ვყოფთ მონაცემთა რაოდენობაზე ერთით ნაკლებ რიცხვზე.

თითოეულ ფორმულას ნაბიჯ-ნაბიჯ მივყვებით ქვემოთ მოცემულ მაგალითებში.

მიზეზი, თუ რატომ ვყოფთ $n - 1$ ‍-ზე, საკმაოდ კომპლექსურია. თუ გინდათ, მეტი ისწავლოთ ამ თემის შესახებ, ნახეთ ეს ვიდეო.

მთლიანი ერთობლიობის სტანდარტული გადახრა

აქ ისევ გვაქვს მოცემული მთლიანი ერთობლიობის სტანდარტული გადახრის ფორმულა:

σ = \sqrt{\frac{\sum (x_{i} - μ)^{2}}{N}}

აი, როგორ ვითვლით მთლიანი ერთობლიობის სტანდარტულ გადახრას:

ნაბიჯი 1: გამოთვალეთ მონაცემების საშუალო—ეს ფორმულაში არის

μ

ნაბიჯი 2: თითოეულ მონაცემს გამოაკელით საშუალო. ამ სხვაობებს ეწოდება გადახრები. საშუალოს ქვევით მყოფ მონაცემებს ექნებათ უარყოფითი გადახრები და საშუალოს ზევით მყოფებს - დადებითი.

ნაბიჯი 3: თითოეული გადახრა აიყვანეთ კვადრატში, რომ გახდეს დადებითი.

ნაბიჯი 4: გადახრების კვადრატები დააჯამეთ.

ნაბიჯი 5: ჯამი გაყავით მთლიან ერთობლიობაში მონაცემების რაოდენობაზე. ამ შედეგს ეწოდება დისპერსია.

ნაბიჯი 6: დისპერსიიდან ამოიღეთ კვადრატული ფესვი, რომ მიიღოთ სტანდარტული გადახრა.

მაგალითი: მთლიანი ერთობლიობის სტანდარტული გადახრა

ოთხი მეგობარი ადარებს ახლანდელ ესეში მიღებულ ქულებს.

გამოთვალეთ მათი ქულების სტანდარტული გადახრა:

6

2

3

1

ნაბიჯი 1: იპოვეთ საშუალო.

μ = \frac{6 + 2 + 3 + 1}{4} = \frac{12}{4} = 3

საშუალო არის

3

ქულა.

ნაბიჯი 2: თითოეულ ქულას გამოაკელით საშუალო.

ქულა: $x_{i}$ ‍	გადახრა: $(x_{i} - μ)$ ‍
$6$ ‍	$6 - 3 = 3$ ‍
$2$ ‍	$2 - 3 = - 1$ ‍
$3$ ‍	$3 - 3 = 0$ ‍
$1$ ‍	$1 - 3 = - 2$ ‍

ნაბიჯი 3: თითოეული გადახრა აიყვანეთ კვადრატში.

ქულა: $x_{i}$ ‍	გადახრა: $(x_{i} - μ)$ ‍	კვადრატული გადახრა: $(x_{i} - μ)^{2}$ ‍
$6$ ‍	$6 - 3 = 3$ ‍	$(3)^{2} = 9$ ‍
$2$ ‍	$2 - 3 = - 1$ ‍	$(- 1)^{2} = 1$ ‍
$3$ ‍	$3 - 3 = 0$ ‍	$(0)^{2} = 0$ ‍
$1$ ‍	$1 - 3 = - 2$ ‍	$(- 2)^{2} = 4$ ‍

ნაბიჯი 4: გადახრების კვადრატები შეკრიბეთ.

9 + 1 + 0 + 4 = 14

ნაბიჯი 5: ჯამი გაყავით ქულების რაოდენობაზე.

\frac{14}{4} = 3, 5

ნაბიჯი 6: კვადრატული ფესვი ამოიღეთ მე-5 ნაბიჯში მიღებული შედეგიდან.

\sqrt{3, 5} \approx 1, 87

სტანდარტული გადახრა არის დაახლოებით

1, 87

გინდათ, მეტი ისწავლოთ მთლიანი ერთობლიობის სტანდარტული გადახრის შესახებ? ნახეთ ეს ვიდეო.

გინდათ, მეტი ივარჯიშოთ ასეთ ამოცანებზე? ნახეთ ეს სავარჯიშო: მთლიანი ერთობლიობის სტანდარტული გადახრა.

შერჩევითი ერთობლიობის სტანდარტული გადახრა

აქ ისევ გვაქვს მოცემული შერჩევითი ერთობლიობის სტანდარტული გადახრის ფორმულა:

s_{x} = \sqrt{\frac{\sum (x_{i} - \bar{x})^{2}}{n - 1}}

აი, როგორ ვითვლით შერჩევითი ერთობლიობის სტანდარტულ გადახრას:

ნაბიჯი 1: გამოთვალეთ მონაცემების საშუალო—ეს ფორმულაში არის

\bar{x}

ნაბიჯი 3: თითოეული გადახრა აიყვანეთ კვადრატში, რომ გახდეს დადებითი.

ნაბიჯი 4: გადახრების კვადრატები დააჯამეთ.

ნაბიჯი 5: ჯამი გაყავით შერჩევით ერთობლიობაში მონაცემების რაოდენობაზე ერთით ნაკლებ რიცხვზე. ამ შედეგს ეწოდება დისპერსია.

მაგალითი: შერჩევითი ერთობლიობის სტანდარტული გადახრა

შემთხვევითად შეირჩა

4

მოსწავლე, რომ ენახათ, რამდენ ფანქარს ატარებდნენ.

გამოთვალეთ მათი პასუხების შერჩევით ერთობლიობის სტანდარტული გადახრა:

2

2

5

7

ნაბიჯი 1: იპოვეთ საშუალო.

\bar{x} = \frac{2 + 2 + 5 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4

შერჩევითი ერთობლიობის საშუალოა

4

ფანქარი.

ნაბიჯი 2: თითოეულ ქულას გამოაკელით საშუალო.

ფანქრები: $x_{i}$ ‍	გადახრა: $(x_{i} - μ)$ ‍
$2$ ‍	$2 - 4 = - 2$ ‍
$2$ ‍	$2 - 4 = - 2$ ‍
$5$ ‍	$5 - 4 = 1$ ‍
$7$ ‍	$7 - 4 = 3$ ‍

ნაბიჯი 3: თითოეული გადახრა აიყვანეთ კვადრატში.

ფანქრები: $x_{i}$ ‍	გადახრა: $(x_{i} - \bar{x})$ ‍	სტანდარტული გადახრა: $(x_{i} - \bar{x})^{2}$ ‍
$2$ ‍	$2 - 4 = - 2$ ‍	$(- 2)^{2} = 4$ ‍
$2$ ‍	$2 - 4 = - 2$ ‍	$(- 2)^{2} = 4$ ‍
$5$ ‍	$5 - 4 = 1$ ‍	$(1)^{2} = 1$ ‍
$7$ ‍	$7 - 4 = 3$ ‍	$(3)^{2} = 9$ ‍

ნაბიჯი 4: გადახრების კვადრატები შეკრიბეთ.

4 + 4 + 1 + 9 = 18

ნაბიჯი 5: ჯამი გაყავით მონაცემების რაოდენობაზე ერთით ნაკლებ რიცხვზე.

\frac{18}{4 - 1} = \frac{18}{3} = 6

ნაბიჯი 6: კვადრატული ფესვი ამოიღეთ მე-5 ნაბიჯში მიღებული შედეგიდან.

\sqrt{6} \approx 2, 45

შერჩევითი ერთობლიობის სტანდარტული გადახრა არის დაახლოებით

2, 45

გინდათ, მეტი ისწავლოთ შერჩევითი ერთობლიობის სტანდარტული გადახრის შესახებ? ნახეთ ეს ვიდეო.

გინდათ, მეტი ივარჯიშოთ ასეთ ამოცანებზე? ნახეთ ეს სავარჯიშო: შერჩევითი და მთლიანი ერთობლიობების სტანდარტული გადახრა.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.