ძირითადი მასალა

კურსი: სტატისტიკა და ალბათობა > თემა 3

გაკვეთილი 4: პოპულაციის დისპერსია და სტანდარტული გადახრა

კონცეფციის შემოწმება: სტანდარტული გადახრა

ექვსი კითხვა, რომელიც დაგეხმარებათ სტანდარტული გადახრის უფრო ღრმათ აღქმაში.

შესავალი

ქვემოთ მოცემული კითხვები შექმნილია იმისთვის, რომ დაგვეხმაროს სტანდარტულ გადახრასა და მის ფორმულაზე სიღრმისეულად ფიქრისთვის.

ხანის აკადემიის კითხვების უმეტესობისგან განსხვავებით, აქ მოცემულ ზოგ კითხვას კომპიუტერი არ აფასებს. ყველაზე მეტს ისწავლით, თუ თითოეულ კითხვაზე შეეცდებით პასუხის გაცემას, სანამ „ახსნას“ დააჭერთ.

ფორმულა (ცნობისთვის)

სტანდარტული გადახრის (სგ) ფორმულა არის

$SD = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}}{n}}$ ‍

\sum

ნიშნავს „ჯამს“,

x

არის მონაცემთა ერთობლიობის წევრის მნიშვნელობა,

\bar{x}

არის წევრების საშუალო და

n

არის მონაცემთა ერთობლიობაში მნიშვნელობების რაოდენობა.

ნაწილი 1

განიხილეთ მონაცემების მარტივი ერთობლიობა

{1, 4, 7, 2, 6}

როგორ იცვლება სტანდარტული გადახრა, როცა $7$ ‍ იცვლება $12$ ‍-ით?

როგორ შეგვიძლია, დავინახოთ ეს სტანდარტული გადახრის ფორმულაში?

როგორ იცვლება სტანდარტული გადახრა?

სტანდარტული გადახრა იზრდება, რადგან მონაცემები უფრო გაფანტული ხდება:

ეს როგორ დავინახოთ ფორმულაში?

ეს შეგვიძლია, დავინახოთ ფორმულაში

$სგ = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}}{n}}$ ‍

რადგან

\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}

არის თითოეული წერტილიდან საშუალომდე მანძილების კვადრატების ჯამი. როცა მონაცემები უფრო გაფანტული ხდება,

\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}

-ის მნიშვნელობა იზრდება.

მაინტერესებს, რას უდრის მონაცემთა ერთობლიობის ნამდვილი სტანდარტული გადახრა?

{1, 2, 4, 6, 7}

-ის სტანდარტული გადახრა არის დაახლოებით

2, 28

{1, 2, 4, 6, 12}

-ის სტანდარტული გადახრა არის დაახლოებით

3, 90

ნაწილი 2

შესაძლებელია, რომ მონაცემების ერთობლიობა ავაგოთ $4$ ‍ მონაცემით, რომელთა სტანდარტული გადახრაა $0$ ‍?

თუ ეს შესაძლებელია, გააკეთეთ! შეგიძლიათ, მონაცემების ორი განსხვავებული ერთობლიობა შექმნათ? სამზე რას იტყვით?

დიახ, ეს შესაძლებელია!

სინამდვილეში, მონაცემთა ერთობლიობების უსასრულო შესაძლო რაოდენობაა.

აი, ერთი:

$5, 5, 5, 5$ ‍

ესეც მეორე:

$8, 8, 8, 8$ ‍

მონაცემთა ნებისმიერი ერთობლიობის, რომლის ყველა მონაცემი ტოლია, სტანდარტული გადახრა არის

0

, რადგან თითოეული მონაცემიდან საშუალომდე მანძილი არის

0

მაჩვენეთ გამოთვლები ${5, 5, 5, 5}$ ‍-ისთვის.

ნაბიჯი 1: იპოვეთ საშუალო

\bar{x} = \frac{5 + 5 + 5 + 5}{4} = \frac{20}{4} = 5

ნაბიჯი 2: იპოვეთ თითოეული წევრიდან საშუალომდე მანძილების კვადრატები

$x$ ‍		$\| x - \bar{x} \|^{2}$ ‍
$5$ ‍		$\| 5 - 5 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍
$5$ ‍		$\| 5 - 5 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍
$5$ ‍		$\| 5 - 5 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍
$5$ ‍		$\| 5 - 5 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍

ნაბიჯი 3: გამოიყენეთ ფორმულა

\begin{aligned} SD & = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}}{n}} \\ = \sqrt{\frac{0 + 0 + 0 + 0}{4}} \\ = \sqrt{\frac{0}{4}} \\ = \sqrt{0} \\ = 0 \end{aligned}

ნაწილი 3

შეიძლება, სტანდარტული გადახრა უარყოფითი იყოს?

რატომ ან რატომ არა?
მინიშნება: იფიქრეთ ფორმულაზე.

არა, სტანდარტული გადახრა ვერ იქნება უარყოფითი!

მიზეზის სანახავად იფიქრეთ მრიცხველსა და მნიშვნელზე ფესვის შიგნით:

$SD = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}}{n}}$ ‍

შენიშნეთ, რომ

n

ყოველთვის დადებითია. ის მონაცემების რაოდენობაა და მონაცემების რაოდენობა უარყოფითი ვერ იქნება.

ასევე შენიშნეთ, რომ

\sum | x - \bar{x} |^{2}

მოიცავს რაოდენობის კვადრატში აყვანას. როდესაც რაიმე კვადრატში აგვყავს, ვიღებთ არაუარყოფით რიცხვს.

რადგან მნიშვნელიც და მრიცხველიც დადებითია, მთელი გამოსახულებაც დადებითი უნდა იყოს.

ნაწილი 4

სტანდარტული გადახრა არის მონაცემების განაწილების გაფანტულობის საზომი.

თქვენი აზრით, რას ნიშნავს გადახრა?

ყოველდღიურ ენაში გადახრა ნიშნავს, თუ რამდენად განსხვავდება რაღაც ისეთი რაიმესგან, რაც ნორმალურად შეიძლება ჩაითვალოს.

სტატისტიკაში გაფანტულობის გაზომვისას გადახრა არის ოდენობა, რომლითაც ერთი ზომა განსხვავდება საშუალოსგან.

ნაწილი 5

აქ არის სტანდარტული გადახრისა (სგ) და საშუალო აბსოლუტური გადახრის (საგ) ფორმულები. ორივე მათგანი გაფანტულობის საზომია:

$სგ = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}}{n}}$ ‍

$MAD = \frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |}{n}$ ‍

რითი ჰგავს ეს ფორმულები? რა არის განსხვავებები?

რა არის მსგავსებები?

ფორმულები ძალიან მსგავსია! ორივე მათგანი დამოკიდებულია მონაცემიდან საშუალომდე

| x - \bar{x} |

მანძილზე და ორივე მათგანი მოიცავს მონაცემების

n

რაოდენობაზე გაყოფას.

რა განსხვავებებია?

ორ ფორმულას შორის განსხვავება ის არის, რომ სტანდარტული გადახრის გამოთვლისას კვადრატში აგვყავს მანძილი თითოეული მონაცემიდან საშუალომდე და ბოლო ნაბიჯით ვიღებთ კვადრატულ ფესვს.

რომელია უკეთესი?

სტანდარტული გადახრა უფრო ჩახლართულია, მაგრამ მას აქვს ზოგიერთი კარგი თვისება, რის გამოც სტატისტიკოსებს მისი გამოყენება ურჩევნიათ გაფანტულობის გასაზომად.

ნაწილი 6

აქ არის ფორმულა, რომელსაც ვიყენებდით სტანდარტული გადახრის გამოსათვლელად:

$\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}}{n}}$ ‍

აქ არის ფორმულა, რომელსაც სტატისტიკოსები იყენებენ:

$\sqrt{\frac{\sum_{}^{} (x - \bar{x})^{2}}{n}}$ ‍

ეს ორი ფორმულა ტოლფასია?

რა განსხვავებაა ფორმულებს შორის?

ფორმულაში, რომელსაც ვიყენებდით, ვიღებთ

x - \bar{x}

-ის მოდულს:

$\sqrt{\frac{\sum_{}^{} {| x - \bar{x} |}^{2}}{n}}$ ‍

ფორმულაში, რომელსაც სტატისტიკოსები იყენებენ,

x - \bar{x}

-ის ირგვლივ არის ფრჩხილები:

$\sqrt{\frac{\sum_{}^{} (x - \bar{x})^{2}}{n}}$ ‍

ეს ფორმულები ტოლფასია?

დიახ, ეს ფორმულები ტოლფასია!

სტატისტიკოსებმა გააცნობიერებს, რომ კვადრატში აყვანით მანძილი დადებითი გახდება, ასე რომ, თავს არ იწუხებენ მოდულის სიმბოლოს გამოყენებით და მის ნაცვლად ფრჩხილებს იყენებენ.

მაგალითად, გამოვთვალოთ

| x - \bar{x} |^{2}

და

(x - \bar{x})^{2}

x = 2

-სთვის და

\bar{x} = 5

$| x - \bar{x} |^{2} = | 2 - 5 |^{2} = | - 3 |^{2} = 3^{2} = 9$ ‍

$(x - \bar{x})^{2} = (2 - 5)^{2} = (- 3)^{2} = 9$ ‍

ორივე დადებითია! ორივე

9

-ის ტოლია! ისინი ტოლფასია!

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.