If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

სტატისტიკა და ალბათობა

კურსი: სტატისტიკა და ალბათობა > თემა 3

გაკვეთილი 4: პოპულაციის დისპერსია და სტანდარტული გადახრა
მათემატიკა
სტატისტიკა და ალბათობა
რაოდენობრივი მონაცემების შეჯამება
პოპულაციის დისპერსია და სტანდარტული გადახრა
© 2023 Khan Academyგამოყენების პირობებიკონფიდენციალურობის პოლიტიკაშენიშვნა ქუქი-ჩანაწერებზე

სტანდარტული გადახრის ნაბიჯ-ნაბიჯ გამოთვლა

Google–ის საკლასო ოთახი

შესავალი

ამ სტატიაში ვისწავლით სტანდარტული გადახრის „ხელით" გამოანგარიშებას.
საინტერესოა, რომ ნამდვილ სიტუაციაში არც ერთი სტატისტიკოსი სტანდარტულ გადახრას ხელით არ გამოთვლის. გამოთვლები საკმაოდ კომპლექსურია და შეცდომის დაშვების რისკი – მაღალი. ასევე, ხელით გამოთვლა ძალიან ნელია. ამიტომაც, ასეთ რიცხვებზე მუშაობისას სტატისტიკოსები ელექტრონულ ცხრილებსა და პროგრამებს ეყრდნობიან.
მაშინ ამ სტატიას რა აზრი აქვს? რატომ ვხარჯავთ დროს ისეთი რაიმეს შესწავლისთვის, რასაც სტატისტიკოსები სინამდვილეში არც იყენებენ? ამის პასუხი არის ის, რომ ხელით ანგარიში წარმოდგენას შეგვიქმნის, თუ სინამდვილეში რა არის სტანდარტული გადახრა. ეს წარმოდგენა მნიშვნელოვანია. იმის ნაცვლად, რომ სტანდარტული გადახრა აღვიქვათ რაღაც ჯადოსნურ რიცხვად, რომელსაც ელექტრონული ცხრილი ან კომპიუტერული პროგრამა გვაძლევს, შევძლებთ, ავხსნათ, თუ საიდან მოდის ეს რიცხვი.

სტანდარტული გადახრის გამოთვლის მიმოხილვა

სტანდარტული გადახრის (სგ) ფორმულა არის
start text, S, D, end text, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root
სადაც sum ნიშნავს „ჯამს", x არის მონაცემთა ერთობლიობის წევრის მნიშვნელობა, mu - მონაცემთა ერთობლიობის საშუალო და N - ერთობლიობაში წევრების რაოდენობა.
სტანდარტული გადახრის ფორმულა შეიძლება, დამაბნევლად გამოიყურება, მაგრამ ნაწილებად დაშლის შემდეგ იგი ლოგიკური გახდება. შემდეგ პარაგრაფებში ნაბიჯ–ნაბიჯ მივყვებით ინტერაქტიულ მაგალითს. შესავალში ჩამოთვლილია ის ნაბიჯები, რომელთაც მივყვებით:
1–ლი ნაბიჯი: იპოვეთ საშუალო.
მე–2 ნაბიჯი: იპოვეთ თითოეული წევრიდან საშუალომდე მანძილის კვადრატი.
მე–3: შეკრიბეთ მე–2 ნაბიჯში მიღებული მნიშვნელობები.
მე–4 ნაბიჯი: გაყავით მონაცემების რაოდენობაზე.
მე–5 ნაბიჯი: ამოიღეთ ფესვი.

მნიშვნელოვანი მინიშნება

ზემოთ მოცემული ფორმულა არის ერთობლიობის სტანდარტული გადახრისთვის. თუ შერჩევით ერთობლიობასთან გაქვთ საქმე, უნდა გამოიყენოთ ოდნავ განსხვავებული ფორმულა (მოცემულია ქვემოთ), რომელიც N-ის ნაცვლად n, minus, 1-ს იყენებს. თუმცა, ამ სტატიის მიზანია, გაგაცნოთ სტანდარტული გადახრის გამოანგარიშების პროცესი, რომელიც ერთი და იგივეა, იმისგან დამოუკიდებლად, თუ რომელ ფორმულას გამოიყენებთ.
start text, S, D, end text, start subscript, start text, შ, ე, რ, ჩ, ე, ვ, ი, თ, ი, space, ე, რ, თ, ო, ბ, ლ, ი, ო, ბ, ა, end text, end subscript, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, x, with, \bar, on top, close vertical bar, squared, divided by, n, minus, 1, end fraction, end square root

სტანდარტული გადახრის ამოხსნის ინტერაქტიულ მაგალითს მიყვებით ნაბიჯ–ნაბიჯ

ჯერ გვჭირდება მონაცემთა ერთობლიობა. მოდით, რამე პატარა ავირჩიოთ, რომ მონაცემების რაოდენობით არ გადავიტვირთოთ. აი კარგი მაგალითი:
6, comma, 2, comma, 3, comma, 1

1-ლი ნაბიჯი: square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, start color #e07d10, mu, end color #e07d10, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root-ში start color #e07d10, mu, end color #e07d10-ის პოვნა

ამ ნაბიჯში ვიპოვით მონაცემთა ერთობლიობის საშუალოს, რომელიც mu ცვლადით არის წამორდგენილი.
შეავსეთ გამოტოვებული ადგილები.
mu, equals
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

მე-2 ნაბიჯი: square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, start color #e07d10, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10, divided by, N, end fraction, end square root-ში start color #e07d10, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10-ის პოვნა

ამ ნაბიჯში ვპოულობთ თითოეული წევრიდან საშუალომდე მანძილს (ე.ი. გადახრას) და კვადრატში აგვყავს თითოეული ეს მანძილი.
მაგალითად, პირველი წევრი არის 6 და საშუალო არის 3, ასე რომ, მათ შორის მანძილი არის 3. მანძილის კვადრატში აყვანა გვაძლევს 9–ს.
შეავსეთ ქვემოთ მოცემული ცხრილი.
მონაცემის წერტილი xსაშუალოდან მანძილის კვადრატი open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared
69
2
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
3
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
1
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

მე-3 ნაბიჯი: square root of, start fraction, start color #e07d10, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10, divided by, N, end fraction, end square root-ში start color #e07d10, sum, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, end color #e07d10-ის პოვნა

sum სიმბოლო ნიშნავს „შეკრებას", ასე რომ, ამ ნაბიჯში ვკრებთ მე-2 ნაბიჯში ნაპოვნ მნიშვნელობებს.
შეავსეთ გამოტოვებული ადგილები.
sum, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, equals
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

მე-4 ნაბიჯი: square root of, start color #e07d10, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end color #e07d10, end square root-ში start color #e07d10, start fraction, sum, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end color #e07d10-ის პოვნა

ამ ნაბიჯში მე–3 ნაბიჯით მიღებულ შედეგს ვყოფთ N ცვლადზე, რომელიც არის მონაცემთა რაოდენობა.
შეავსეთ გამოტოვებული ადგილები.
start fraction, sum, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, equals
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

მე-5 ნაბიჯი: სტანდარტული გადახრის პოვნა square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root

თითქმის დავამთავრეთთ! უბრალოდ მე–4 ნაბიჯში მიღებული პასუხიდან ამოიღეთ კვადრატული ფესვი და მოვრჩით.
შეავსეთ გამოტოვებული ადგილები.
პასუხი მეასედებამდე დაამრგვალეთ.
start text, S, D, end text, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root, approximately equals
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

დიახ! ჩვენ ეს შევძელით! ჩვენ წარმატებით გამოვთვალეთ პატარა მონაცემთა ერთობლიობის სტანდარტული გადახრა.

შევაჯამოთ, რა გავაკეთეთ

ფორმულა ხუთ ნაბიჯათ დავშალეთ:
1-ლი ნაბიჯი: იპოვეთ mu საშუალო.
mu, equals, start fraction, 6, plus, 2, plus, 3, plus, 1, divided by, 4, end fraction, equals, start fraction, 12, divided by, 4, end fraction, equals, start color #11accd, 3, end color #11accd
მე–2 ნაბიჯი: იპოვეთ თითოეული წევრიდან საშუალომდე მანძილის კვადრატი, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared.
xopen vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared
6open vertical bar, 6, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 3, squared, equals, 9
2open vertical bar, 2, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 1, squared, equals, 1
3open vertical bar, 3, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 0, squared, equals, 0
1open vertical bar, 1, minus, start color #11accd, 3, end color #11accd, close vertical bar, squared, equals, 2, squared, equals, 4
ნაბიჯები 3, 4 და 5:
SD=∑∣x−μ∣2N=9+1+0+44=144        შეკრიბეთ მანძილების კვადრტები (მე-3 ნაბიჯი).=3,5        გაყავით მონაცმთა რაოდენობაზე (მე-4 ნაბიჯი).≈1,87        ამოიღეთ კვადრატული ფესვი (მე-5 ნაბიჯი).\begin{aligned} \text{SD} &= \sqrt{\dfrac{\sum\limits_{}^{}{{\lvert x-\mu\rvert^2}}}{N}}\\\\\\\\ &= \sqrt{\dfrac{9 + 1 + 0 + 4}{4}} \\\\\\\\ &= \sqrt{\dfrac{{14}}{4}} ~~~~~~~~\small \text{შეკრიბეთ მანძილების კვადრტები (მე-3 ნაბიჯი).} \\\\\\\\ &= \sqrt{{3{,}5}} ~~~~~~~~\small \text{გაყავით მონაცმთა რაოდენობაზე (მე-4 ნაბიჯი).} \\\\\\\\ &\approx 1{,}87 ~~~~~~~~\small \text{ამოიღეთ კვადრატული ფესვი (მე-5 ნაბიჯი).} \end{aligned}

სცადეთ თქვენით

შეგახსენებთ ფორმულას:
start text, S, D, end text, equals, square root of, start fraction, sum, start subscript, end subscript, start superscript, end superscript, open vertical bar, x, minus, mu, close vertical bar, squared, divided by, N, end fraction, end square root
აი, მონაცემთა ერთობლიობა:
1, comma, 4, comma, 7, comma, 2, comma, 6
იპოვეთ მონაცემთა ერთობლიობის სტანდარტული გადახრა.
პასუხი მეასედებამდე დაამრგვალეთ.
start text, S, D, end text, equals
  • თქვენი პასუხი უნდა იყოს
  • მთელი რიცხვი, როგორიცაა 6
  • გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად 3, slash, 5
  • გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად 7, slash, 4
  • შერეული რიცხვი, როგორიცაა 1, space, 3, slash, 4
  • ზუსტი ათწილადი, მაგალითად 0, point, 75
  • pi-ს ჯერადი, როგორიცაა 12, space, start text, p, i, end text ან 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.