ძირითადი მასალა

კურსი: სტატისტიკა და ალბათობა > თემა 12

გაკვეთილი 4: ტესტები მოსახლეობის საშუალოზე

წყარო: საშუალოზე დასკვნის პირობები

როდესაც გვინდა, დასკვნა გავაკეთოთ (ავაგოთ ნდობის ინტერვალი ან ჩავატაროთ მნიშვნელოვნების ტესტი) საშუალოზე, ჩვენი მეთოდების სიზუსტე დამოკიდებულია რამდენიმე პირობაზე. ინტერვალის ან ტესტისთვის საჭირო გამოთვლების ჩატარებამდე მნიშვნელოვანია, შევამოწმოთ, ეს პირობები შესრულებულია თუ არა. წინააღმდეგ შემთხვევაში, გამოთვლები და დასკვნები შეიძლება, არასწორი იყოს.

საშუალოს შესახებ დასკვნის გასაკეთებლად საჭირო პირობებია:

შემთხვევითობა: შემთხვევით შერჩეული ერთობლიობა ან შემთხვევითი ექსპერიმენტი უნდა იქნას გამოყენებული მონაცემების მისაღებად.
ნორმალურობა: $\bar{x}$ ‍-ის (შერჩევითი ერთობლიობის საშუალოს) შერჩევითი განაწილება უნდა იყოს დაახლოებით ნორმალური. ეს ჭეშმარიტია, თუ მთლიანი ერთობლიობა ნორმალურია ან თუ შერჩევითი ერთობლიობა საკმარისად დიდია $(n \geq 30)$ ‍.
დამოუკიდებლობა: დაკვირვების ცალკეული ობიექტები დამოუკიდებლები უნდა იყოს. თუ ვარჩევთ დაბრუნებების გარეშე, შერჩევითი ერთობლიობის სიდიდე არ უნდა აჭარბებდეს მთლიანი ერთობლიობის $10 %$ ‍-ს.

მოდით, თითოეულ პირობას უფრო კარგად დავაკვირდეთ.

შემთხვევითობის პირობა

შემთხვევითი ერთობლიობები გვაძლევს მიუკერძოებელ მონაცემებს მთლიანი ერთობლიობიდან. როცა არ ვიყენებთ შემთხვევით შერჩევას, მონაცემებში, როგორც წესი, რაიმე სახის მიკერძოებაა, ასე რომ, მისი გამოყენება მთლიანი ერთობლიობის შესახებ რაიმე დასკვნის გასაკეთებლად შეიძლება, სარისკო იყოს.

მაგალითისთვის დავუშვათ, უნივერსიტეტს უნდა, გამოაცხადოს მისი კურსდამთავრებულების საშუალო საწყისი ხელფასი. როგორ იღებენ ისინი მონაცემებს? ისინი ვერ ნახავენ ყველა კურსდამთავრებულის ანაზღაურებას და რეალურად ვერ მიიღებენ შემთხვევითად შერჩეული კურსდამთავრებულების ანაზღაურებებს. უნივერსიტეტს შეუძლია, დაეყრდნოს იმ კურსდამთავრებულებს, რომლებსაც სურთ, გააზიარონ თავიანთი ანაზღაურებები და გამოთვალონ საშუალო, მაგრამ მოხალისეთა პასუხების გამოყენება, სავარაუდოდ, გამოიწვევს ნამდვილი საშუალოს მიკერძოებულ შეფასებას. მაღალი ხელფასის მქონე კურსდამთავრებულებისგან უფრო მოსალოდნელია, რომ მიაწოდებენ საკუთარი ხელფასების ოდენობას, ვიდრე დაბალი ხელფასის მქონეებისგან (ან ხელფასის არმქონე კურსდამთავრებულებისგან). ასევე, მონაწილე კურსდამთავრებულებისგან უფრო მოსალოდნელია, რომ რეალურზე მაღალი ხელფასი განაცხადონ და ნაკლებად სავარაუდოა, რომ რეალურზე - დაბალი.

აქ საკვანძო აზრი ის არის, რომ მონაცემი, რომელიც მოვიდა არაშემთხვევითად შერჩეული ერთობლიობიდან, შეიძლება, არ იყოს წარმომადგენლობითი მისი მთლიანი ერთობლიობისთვის.

უფრო კონკრეტულად, შერჩევითი ერთობლიობის საშუალოები მიუკერძოებლად აფასებს მთლიანი ერთობლიობის საშუალოს. მაგალითად, დავუშვათ, რომ გვაქვს ტომარა, რომელშიც

0

-დან

30

-მდე დანომრილი პინგ-პონგის ბურთებია, ასე რომ, ჩანთის მთლიანი ერთობლიობის საშუალოა

15

. შეგვიძლია, შემთხვევითად ავარჩიოთ ბურთები ჩანთიდან და გამოვთვალოთ თითოეული შერჩევითი ერთობლიობის საშუალო. ზოგიერთ შერჩევით ერთობლიობაში საშუალო იქნება

15

-ზე მეტი და ზოგში - ნაკლები, მაგრამ საშუალოდ თითოეული შერჩევითი ერთობლიობის საშუალო იქნება

15

. ამ თვისებას ვწერთ

μ_{\bar{x}} = μ

ფორმით, რაც ჭეშმარიტია, როცა შემთხვევითად შერჩეულ ერთობლიობებს ვიღებთ.

ეს შეიძლება, არ მოხდეს, როცა ერთობლიობას შემთხვევითობის გარეშე ვარჩევთ. მიკერძოებულმა ერთებოლიობებმა შეიძლება, არასწორი შედეგები მოგვცეს, ასე რომ, ისინი არ უნდა გამოვიყენოთ ნდობის ინტერვალების ასაგებად ან მნიშვნელოვნების ტესტების ჩასატარებლად.

ნორმალურობის პირობა

\bar{x}

-ის (შერჩევითი ერთობლიობის საშუალოს) შერჩევითი განაწილება არის დაახლოებით ნორმალური რამდენიმე შემთხვევაში.

\bar{x}

-ის შერჩევითი განაწილების ფორმა ძირითადად დამოკიდებულია მთლიანი ერთობლიობის ფორმასა და შერჩევითი ერთობლიობის

n

სიდიდეზე.

შემთხვევა 1: მთლიანი ერთობლიობა ნორმალურადაა განაწილებული

თუ მთლიანი ერთობლიობა ნორმალურადაა განაწილებული, მაშინ

\bar{x}

-ის შერჩევითი განაწილება არის დაახლოებით ნორმალური შერჩევითი ერთობლიობის ზომისგან დამოუკიდებლად. ასე რომ, თუ ვიცით, რომ მთლიანი ერთობლიობა ნორმალურადაა განაწილებული. თუმცა, პრაქტიკაში, როგორც წესი, არ ვიცით მთლიანი ერთობლიობა არის თუ არა ნორმალურად განაწილებული.

შემთხვევა 2: ნორალურისგან განსხვავებული ან უცნობი მთლიანი ერთობლიობა; შერჩევითი ერთობლიობის ზომა დიდია ( $n \geq 30$ ‍)

\bar{x}

-ის შერჩევითი განაწილება დაახლოებით ნორმალურია, თუ შერჩევითი ერთობლიობის ზომა საკმარისად დიდია. ცენტრალური ზღვრის თეორემის გამო, როცა

n \geq 30

\bar{x}

-ის შერჩევითი განაწილება შეგვიძლია, განვიხილოთ დაახლოებით ნორმალურად, მიუხედავად იმისა, თუ რა ფორმისაა მთლიანი ერთობლიობა.

არის რამდენიმე იშვიათი შემთხვევა, როცა მთლიან ერთობლიობას იმდენად უჩვეულო ფორმა აქვს, რომ შერჩევითი ერთობლიობის საშუალოს,

\bar{x}

-ის, შერჩევითი განაწილება არ არის საკმაოდ ნორმალური

30

-თან მიახლოებული შერჩევითი ერთობლიობისთვის. ასეთი შემთხვევები იშვიათია, ასე რომ, ჩვეულებრივ, თავისუფლად შეგვიძლია, ჩავთვალოთ, რომ შერჩევითი განაწილება ნორმალურია, როცა

n \geq 30

შემთხვევა 3: ნორალურისგან განსხვავებული ან უცნობი მთლიანი ერთობლიობა; შერჩევითი ერთობლიობის ზომა პატარაა ( $n < 30$ ‍)

როცა მთლიან ერთობლიობას არ აქვს ამოვარდნები ან ძლიერი გადახრა, პატარა შერჩევითი ერთობლიობებიც მოგვცემს

\bar{x}

-ის ისეთ შერჩევით განაწილებას, რომელიც დაახლოებით ნორმალურია. პრაქტიკაში ჩვეულებრივ, ვერ ვხედავთ მთლიანი ერთობლიობის განაწილებას, ასე რომ, ფორმის მიახლოებით მიხვედრა შეგვიძლია შერჩევით ერთობლიობაში მოცემული მონაცემების განაწილებაზე დაყრდნობით. თუ შერჩევით ერთობლიობაში მონაცემები გვიჩვენებს გადახრას ან ამოვარდნებს, უნდა დავეჭვდეთ, რომ მთლიანი ერთობლიობა დაახლოებით ნორმალურია, ასე რომ,

\bar{x}

-ის შერჩევითი განაწილებაც შეიძლება, არ იყოს ნორმალური. მაგრამ თუ შერჩევითი ერთობლიობის მონაცემები დაახლოებით სიმეტრიულია და არ გვიჩვენებს ამოვარდნებს ან ძლიერ გადახრას, შეგვიძლია, ჩავთვალოთ, რომ

\bar{x}

-ის შერჩევითი განაწილება იქნება დაახლოებით ნორმალური.

აქ საკვანძო აზრი ის არის, რომ შერჩევითი ერთობლიობის მონაცემები გრაფიკულად უნდა გამოვსახოთ, როცა $n < 30$ ‍ და შემდეგ გავაკეთოთ დასკვნა ნორმალურობის პირობის შესახებ შერჩევითი ერთობლიობის მონაცემების შესახედაობის მიხედვით.

დამოუკიდებლობის პირობა

იმისთვის რომ გამოვიყენოთ

\bar{x}

-ის სტანდარტული გადახრის ფორმულა, გვჭირდება, რომ დაკვირვების ცალკეული ობიექტები დამოუკიდებლები იყოს. ექსპერიმენტისას კარგი დიზაინი, როგორც წესი, უზრუნველყოფს სუბიექტებს შორის დამოუკიდებლობას (საკონტროლო, განსხვავებული ზემოქმედებები, შემთხვევითად განაწილება).

დაკვირვებაზე დაფუძნებული კვლევა მოიცავს შერჩევას დაბრუნებების გარეშე, დაკვირვების ცალკეული ობიექტები, სინამდვილეში, არ არის დამოუკიდებელი, რადგან თითოეულის ამოღება ცვლის მთლიან ერთობლიობას. თუმცა,

10 %

-ის პირობა ამბობს, რომ თუ შერჩევითად ვარჩევთ მთლიანი ერთობლიობის

10 %

-ს ან ნაკლებს, დაკვირვების ცაკლეული ობიექტები შეგვიძლია, დამოუკიდებლად ჩავთვალოთ, რადგან შერჩევისას თითოეული მათგანის მოშორება დიდად არ ცვლის მთლიან ერთობლიობას. მაგალითად, თუ შერჩევითი ერთობლიობის ზომაა

n = 30

, მთლიან ერთობლიობაში უნდა იყოს მინიმუმ

N = 300

წევრი, რომ შერჩევით ერთობლიობაში შესრულდეს დამოუკიდებლობის პირობა.

დაკვირვების ობიექტებს შორის დამოუკიდებლობის ჩათვლა საშუალებას გვაძლევს, ნდობის ინტერვალის აგებისას ან მნიშვნელოვნების ტესტის ჩატარებისას გამოვიყენოთ

\bar{x}

-ის სტანდარტული გადახრის ფორმულა:

σ_{\bar{x}} = \frac{σ}{\sqrt{n}}

როგორც წესი, არ ვიცით მთლიანი ერთობლიობის სტანდარტული გადახრა,

σ

, ასე რომ, ვსვამთ შერჩევითი ერთობლიობის სტანდარტულ გადახრას,

s_{x}

-ს, როგორც

σ

-ს მიახლოებით მნიშვნელობას. ამის გაკეთებისას მას ვუწოდებთ

\bar{x}

-ის სტანდარტულ ცდომილებას, რომ განვასხვავოთ სტანდარტული გადახრისგან.

ასე რომ,

\bar{x}

-ის სტანდარტული ცდომილების ფორმულაა:

σ_{\bar{x}} \approx \frac{s_{x}}{\sqrt{n}}

შეჯამება

თუ სამივე პირობა შესრულებულია, თავისუფლად შეგვიძლია, გამოვიყენოთ

t

განაწილებები რომ შევადგინოთ ნდობის ინტერვალი ან ჩავატაროთ მნიშვნელოვნების ტესტი. ამ პირობების დაკმაყოფილებით ჩვენი გამოთვლები ზუსტი ხდება, დასკვნები კი - სანდო.

შემთხვევითობის პირობა, ალბათ, ყველაზე მნიშვნელოვანია. თუ შემთხვევითობის პირობას არ შევასრულებთ, მონაცემებში, სავარაუდოდ, მიკერძოება იქნება. მიკერძოებული შერჩევითი ერთობლიობის გასწორების ერთადერთი სანდო მეთოდია მონაცემების ხელახლა შეგროვება მიუკერძოებელი გზით.

დანარჩენი ორი პირობა მნიშვნელოვანია, მაგრამ, თუ ნორმალურობის ან დამოუკიდებლობის პირობებს არ ვასრულებთ, თავიდან დაწყება შეიძლება, არ დაგვჭირდეს. მაგალითად, დამოუკიდებლობის არქონის შესწორება არის გზა, გავასწოროთ დამოუკიდებლობის ნაკლებობა, როცა ვარჩევთ მთლიანი ერთობლიობის

10 %

-ზე მეტს, მაგრამ ეს სცდება ახლა შესასწავლ საკითხებს.

მთავარი აზრი არის ის, რომ სანამ ნდობის ინტერვალებს ავაგებდეთ ან მნიშვნელოვნების ტესტს ჩავატარებთ, მნიშვნელოვანია, დავადასტუროთ, რომ კონკრეტული პირობები შესრულებულია.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

სტატისტიკა და ალბათობა