ძირითადი მასალა

სტატისტიკა და ალბათობა

კურსი: სტატისტიკა და ალბათობა > თემა 9

გაკვეთილი 5: ბინომინალური პირობითი ცვლადები

ბინომინალური ალბათობა (საფუძველი)

1-ლი ამოცანა: თავისუფალ სროლებზე ინტუიციის აგება

სტეფს თავისუფალი სროლებიდან

90 %

გააქვს. ის

3

თავისუფალ სროლას აპირებს. გაითვალისწინეთ, რომ თავისუფალი სროლის შედეგები ერთმანეთისგან დამოუკიდებელია.

მას უნდა იპოვოს იმის ალბათობა, რომ $3$ ‍–დან ზუსტად $2$ ‍–ს გაიტანს.

ამ ამოცანაზე რომ ვიფიქროთ, მოდით, იგი ნაწილებად დავშალოთ.

ამოცანა A

თუ იგი $2$ ‍ ნასროლს გაიტანს, რამდენი უნდა ააცილოს?

ამოცანა b

იპოვეთ იმის ალბათობა, რომ იგი პირველ $2$ ‍ სროლას გაიტანს და მესამეს ააცილებს.
თუ საჭიროა, პასუხი მეასედებამდე დაამრგვალეთ.

P (წარმატებული სროლა, წარმატებული სროლა, აცილება) =

ამოცანა c

"გატანა, გატანა, აცილება" არ არის ერთადერთი გზა, რომლითაც სტეფს

3

სროლიდან

2

–ის გატანა შეუძლია.

იპოვეთ იმის ალბათობა, რომ იგი პირველ ნასროლს გაიტანს, მეორეს ააცილებს და მესამეს გაიტანს.
თუ საჭიროა, პასუხი მეასედებამდე დაამრგვალეთ.

P (წარმატებული სროლა, აცილება, წარმატებული სროლა) =

ამოცანა d

სტეფს

2

განატანი მაშინაც ექნებოდა, თუ მისი შედეგები იქნებოდა „აცილება, გატანა, გატანა".

იპოვეთ იმის ალბათობა, რომ იგი პირველ სროლას ააცილებს და მომდევნო $2$ ‍–ს გაიტანს.
თუ საჭიროა, პასუხი დაამრგვალეთ მეასედებამდე.

P (აცილება, წარმატებული სროლა, წარმატებული სროლა) =

ამოცანა E

გამოიყენეთ ჯუფთების ფორმულა, რათა დაამტკიცოთ, რომ ეს $3$ ‍ სამი გზა $3$ ‍ ცდიდან $2$ ‍–ის გატანის ყველანაირ შესაძლებლობას მოიცავს.

_{n} C_{k} = \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!}

_{3} C_{2} =

yol

ამოცანა f

ახლა ყველაფერი შეაჯამეთ, რომ იპოვოთ იმის ალბათობა, რომ იგი $3$ ‍–დან ზუსტად $2$ ‍–ს გაიტანს.
თუ საჭიროა, პასუხი მეასედებამდე დაამრგვალეთ.

P (3-დან 2-ს წარმატებულად ისვრის) = P (S S F) + P (S F S) + P (F S S)

P (3 სროლიდან 2 წარმატებულია) =

1–ლი ამოცანის განზოგადება: ფორმულის აგება მომავალში გამოსაყენებლად

1–ელ ამოცანაში ვნახეთ, რომ ერთისა და იმავე შედეგის სხვადასხვა განლაგებას ჰქონდა ერთი და იგივე ალბათობა.

ასეთი ამოცანისთვის შეგვიძლია, ავაგოთ ფორმულა, რომელსაც ბინომინალური წყობა ეწოდება. ბინომინალური ალბათობის ამოცანას შემდეგი თვისებები აქვს:

ცდების ერთობლიობის რაოდენობა – $(n)$ ‍
თითოეული ცდა შეიძლება, დავახასიათოდ, როგორც ან „წარმატება", ან „მარცხი"
წარმატების ალბათობა, $(p)$ ‍, ყოველ ცდაში ერთი და იგივეა
თითოეული ცდის შედეგი ერთმანეთისგან დამოუკიდებელია

აქ შეჯამებულია ზოგადი მეთოდები, რომლებსაც ბინომინალურ ალბათობაში ვიყენებთ:

\begin{aligned} P (\overset{ზუსტად}{# წარმატება}) \\ = (\overset{გადანაცვლებების #}{}) \cdot {(\overset{წარმატების}{ალბათობა})}^{(\overset{წარმატებების #}{})} \cdot {(\overset{მარცხის}{ალბათობა})}^{(\overset{# of}{failures})} \end{aligned}

1–ლი ამოცანის მაგალითის გამოყენება:

$n = 3$ ‍ თავისუფალი სროლა
თითოეული თავისუფალი სროლა არის ან „გატანა" (წარმატება) ან „აცილება" (მარცხი)
იმის ალბათობა, რომ იგი გაიტანს, არის $p = 0, 90$ ‍
გაითვალისწინეთ, რომ სროლები ერთმანეთისგან დამოუკიდებელია

\begin{aligned} P (სამიდან ორს წარმატებულად ისვრის) & =_{3} C_{2} \cdot (0, 90)^{2} \cdot (0, 10)^{1} \\ = 3 \cdot 0, 81 \cdot 0, 10 \\ = 3 \cdot 0,081 \\ = 0,243 \end{aligned}

ზოგადად...

P (ზუსტად k წარმატებული მცდელობა) =_{n} C_{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

სცადეთ, ეს მეთოდები სხვა ამოცანის ამოსახსნელად გამოიყენოთ.

ამოცანა 2

სტეფის პატარა ძმას თავისუფალი სროლის გატანის მხოლოდ

20 %

შანსი აქვს. ის

4

სროლას აპირებს.

რა არის იმის ალბათობა, რომ $4$ ‍ სროლიდან ზუსტად $2$ ‍–ს გაიტანს?

P (ზუსტად ორი წარმატებული სროლა) =

რთული ამოცანა

სტეფი ლუკას ჰპირდება ნაყინის ყიდვას, თუ იგი

4

სროლიდან

3

–ს ან მეტს გაიტანს.

რა არის იმის ალბათობა, რომ იგი $4$ ‍ სროლიდან $3$ ‍–ს ან მეტს გაიტანს?

P (3 ან მეტი წარმატებული სროლა) =

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.