ძირითადი მასალა

კურსი: პრეკალკულუსი > თემა 1

გაკვეთილი 6: ტრიგონომეტრიული იგივეობების გამოყენება ამოცანების ამოსახსნელად

მითითებები ტრიგონომეტრიულ მნიშვნელობებზე

მოძებნეთ და გაიგეთ თქვენი საყვარელი ტრიგონომეტრიული მნიშვნელობები

შებრუნებული და განაყოფის იგივეობები

\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)}

წაითამაშეთ წერტილით ერთეულოვან წრეზე და დააკვირდით, როგორ იცვლებიან კოსინუსი და სეკანსი. ყურადღება მიაქციეთ, როცა კოსინუსი პატარაა, სეკანსი დიდია და პირიქით. აღმოჩნდა, რომ მათი ნამრავლი ყოველთვის

1

-ს უდრის.

ამ იგივეობას მსგავსი სამკუთხედებითაც დავინახავთ. გაასრიალეთ წერტილი დიაგრამის ქვემოთ და დაინახავთ, როგორ გარდაიქმნება ერთი სამკუთხედი მეორედ. დააკვირდით, რომელი მონაკვეთები ესადაგება ერთმანეთს.

\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)}

წაითამაშეთ წერტილით ერთეულოვან წრეზე და დააკვირდით, როგორ იცვლებიან სინუსი და კოსეკანსი. ყურადღება მიაქციეთ, როცა სინუსი პატარაა, კოსეკანსი დიდია და პირიქით. აღმოჩნდა, რომ მათი ნამრავლი ყოველთვის

1

-ს უდრის.

\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)}

ითამაშეთ წერტილით ერთეულოვან წრეზე და დააკვირდით, როგორ იცვლებიან ტანგენსი და კოტანგენსი. ყურადღება მიაქციეთ, როცა ტანგენსი პატარაა, კოტანგენსი დიდია და პირიქით. აღმოჩნდა, რომ მათი ნამრავლი ყოველთვის

1

-ს უდრის.

\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}

ამ იგივეობას მსგავსი სამკუთხედებითაც დავინახავთ. გაასრიალეთ წერტილი დიაგრამის ქვემოთ და დაინახავთ, როგორ გარდაიქმნება ერთი სამკუთხედი მეორეში. დააკვირდით, რომელი მონაკვეთები ესადაგება ერთმანეთს.

\cot (θ) = \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}

პითაგორას იგივეობები

\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) = 1^{2}

\tan^{2} (θ) + 1^{2} = \sec^{2} (θ)

\cot^{2} (θ) + 1^{2} = \csc^{2} (θ)

იგივეობები, რომლებიც გამომდინარეობენ კუთხეების ჯამების, სხვაობების, ნამრავლებისა და წილადების მიხედვით

ესენი ერთმანეთთან მჭიდრო კავშირშია. მოდით, სათითაოდ განვიხილოთ თითოეული ტიპი.

კუთხეების ჯამისა და სხვაობის იგივეობები

\sin (θ + ϕ) = \sin θ \cos ϕ + \cos θ \sin ϕ

\sin (θ - ϕ) = \sin θ \cos ϕ - \cos θ \sin ϕ

\cos (θ + ϕ) = \cos θ \cos ϕ - \sin θ \sin ϕ

\cos (θ - ϕ) = \cos θ \cos ϕ + \sin θ \sin ϕ

ქვემოთ მოცემული ფიგურა გვაჩვენებს კუთხეთა ჯამის იგივეობის დამტკიცების გზას. მართკუთხედის მარცხენა და მარჯვენა გვერდები ტოლია, რაც გვაძლევს შემდეგს:

\sin (θ + ϕ) = \sin θ \cos ϕ + \cos θ \sin ϕ

ზედა და ქვედა გვერდებიც ტოლია, რაც გვაძლევს შემდეგს:

\cos (θ + ϕ) = \cos θ \cos ϕ - \sin θ \sin ϕ

დიაგრამის მარტივად გასააზრებლად დაიწყეთ დიაგრამის ცენტრში, მართკუთხა სამკუთხედით, შემდეგ კი გარეთ გააგრძელეთ და ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განსაზღვრებები დაიხმარეთ (SOH CAH TOA).

მსგავს დიაგრამას შეუძლია, გვაჩვენოს კუთხეების სხვაობის იგივეობები. შეგიძლიათ მისი აგება?

(სინამდვილეში, ეს

θ

-სა და

ϕ

-ს ყველა შესაძლო მნიშვნელობისთვის მტკიცებულება არ არის, მაგრამ იგივეობები ყველა მნიშვნელობას შეესაბამება)

\tan (θ + ϕ) = \frac{\tan θ + \tan ϕ}{1 - \tan θ \tan ϕ}

\tan (θ - ϕ) = \frac{\tan θ - \tan ϕ}{1 + \tan θ \tan ϕ}

ქვემოთ მოცემული ფიგურა გვაჩვენებს ტანგენსისათვის კუთხეთა ჯამის იგივეობის დამტკიცების გზას.

ეს ცოტა უფრო რთული გასაგებია. მთავარია, დიაგრამის ზედა მარცხენა ნაწილში სამკუთხედი ავაგოთ. ამ სამკუთხედს ტანგენსის განსაზღვრებას რომ ვუსადაგებთ, ვიღებთ შემდეგს:

\tan (θ + ϕ) = \frac{მოპირდაპირე}{მოსაზღვრე} = \frac{\tan θ + \tan ϕ}{1 - \tan θ \tan ϕ}

დიაგრამის მარტივად გასააზრებლად დაიწყეთ დიაგრამის ქვემოთ მდებარე მონაკვეთით, შემდეგ კი ზემოთ გააგრძელეთ და ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განსაზღვრებები დაიხმარეთ (SOH CAH TOA).

მსგავს დიაგრამას შეუძლია, გვაჩვენოს კუთხეების სხვაობის იგივეობა. შეგიძლიათ მისი აგება?

(სინამდვილეში, ეს

θ

-სა და

ϕ

ორმაგი კუთხის იგივეობები

\sin (2 θ) = 2 \sin θ \cos θ

ამ იგივეობის მისაღებად სინუსისთვის კუთხეების ჯამის იგივეობა უნდა ავიღოთ, მაგრამ ორივე კუთხე ერთმანეთს გავუტოლოთ.

\sin (θ + ϕ) = \sin θ \cos ϕ + \cos θ \sin ϕ

\sin (θ + θ) = \sin θ \cos θ + \cos θ \sin θ

\sin (2 θ) = 2 \sin θ \cos θ

\cos (2 θ) = 2 \cos^{2} θ - 1

ამის მიღება შეგვიძლია კუთხეების ჯამის იგივეობის მიხედვით, მაგრამ კიდევ გვჭირდება დამატებითი მოქმედება.

პირველ რიგში, გავათანაბროთ ორივე კუთხე.

\cos (θ + ϕ) = \cos θ \cos ϕ - \sin θ \sin ϕ

\cos (θ + θ) = \cos θ \cos θ - \sin θ \sin θ

\cos (2 θ) = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ

ახლა შეგვიძლია,

\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1

იგივეობის საშუალებით ჩავწეროთ მარჯვენა მხარე მხოლოდ კოსინუსების სახით.

\cos (2 θ) = \cos^{2} θ - (1 - \cos^{2} θ)

\cos (2 θ) = \cos^{2} θ - 1 + \cos^{2} θ

\cos (2 θ) = 2 \cos^{2} θ - 1

\tan (2 θ) = \frac{2 \tan θ}{1 - \tan^{2} θ}

ნახევარი კუთხის იგივეობები

\sin \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos θ}{2}}

\cos \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos θ}{2}}

\begin{aligned} \tan \frac{θ}{2} & = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos θ}{1 + \cos θ}} \\ = \frac{1 - \cos θ}{\sin θ} \\ = \frac{\sin θ}{1 + \cos θ} \end{aligned}

ამ ყველაფრის მიღება შეგვძლია ორმაგი კუთხის ფორმულისა და ჩასმის გამოყენებით:

θ \to \frac{θ}{2}

შემდეგ უნდა გადავალაგოთ.

მაგალითად:

\sin (2 θ) = 2 \sin θ \cos θ

გარდაიქმნება...

\sin (2 \frac{θ}{2}) = 2 \sin \frac{θ}{2} \cos \frac{θ}{2}

შემდეგ უნდა იპოვოთ

\sin \frac{θ}{2}

. სცადეთ და ნახეთ, თუ მიხვდებით, როგორ უნდა გამოსახოთ სხვა იგივეობები.

სიმეტრიისა და პერიოდულობის იგივეობები

\sin (- θ) = - \sin (θ)

\cos (- θ) = + \cos (θ)

\tan (- θ) = - \tan (θ)

ერთეულოვანი წრის დიაგრამაზე ამის დანახვა უფრო რთულია, მაგრამ ამოვხსნით, ტანგენსს სინუსითა და კოსინუსით თუ ჩავწერთ, შემდეგ კი უარყოფითი კუთხეებისთვის სინუსისა და კოსინუსის იგივეობებს თუ გამოვიყენებთ.

\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}

ანუ,

\tan (- θ) = \frac{\sin (- θ)}{\cos (- θ)} = \frac{- \sin (θ)}{\cos (θ)} = - \tan (θ)

\sin (θ + 2 π) = \sin (θ)

\cos (θ + 2 π) = \cos (θ)

\tan (θ + π) = \tan (θ)

კომპლემენტარული ფუნქციების იგივეობები

\sin θ = \cos (\frac{π}{2} - θ)

\cos θ = \sin (\frac{π}{2} - θ)

\tan θ = \cot (\frac{π}{2} - θ)

\cot θ = \tan (\frac{π}{2} - θ)

\sec θ = \csc (\frac{π}{2} - θ)

\csc θ = \sec (\frac{π}{2} - θ)

ყველა ეს იგივეობა ერთნაირად გამოიყურება!

იგივეობების გაგებისთვის მთავარია, გაიაზროთ, რომ

θ

-დან

\frac{π}{2} - θ

-ზე გადასვლა იგივეა, რაც კუთხის

y = x

წრფის მიმართ არეკვლა.

ქვედა ინტერაქტიული დიაგრამა გვაჩვენებს, რა მიმართებაა კუთხეებს შორის და გვაჩვენებს, რომ

\sin θ = \cos (\frac{π}{2} - θ)

. ასეა ფუნქციათა სხვა წყვილებშიც და ვიღებთ სხვა იგივეობებს.

დანართი: ყველა ტრიგონომეტრიული შეფარდება ერთეულოვან წრეში

მოძრავი წერტილის გამოყენებით ნახეთ, როგორ იცვლება შეფარდებების სიგრძეები კუთხის მიხედვით.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.