მოძებნეთ და გაიგეთ თქვენი საყვარელი ტრიგონომეტრიული მნიშვნელობები.

შებრუნებული და განაყოფის იგივეობები

sec(θ)=1cos(θ)\sec(\theta)= \dfrac{1}{\cos(\theta)}
წაითამაშეთ წერტილით ერთეულოვან წრეზე და დააკვირდით, როგორ იცვლებიან კოსინუსი და სეკანსი. ყურადღება მიაქციეთ, როცა კოსინუსი პატარაა, სეკანსი დიდია და პირიქით. აღმოჩნდა, რომ მათი ნამრავლი ყოველთვის 11-ს უდრის.
ამ იგივეობას მსგავსი სამკუთხედებითაც დავინახავთ. გაასრიალეთ წერტილი დიაგრამის ქვემოთ და დაინახავთ, როგორ გარდაიქმნება ერთი სამკუთხედი მეორედ. დააკვირდით, რომელი მონაკვეთები ესადაგება ერთმანეთს.

csc(θ)=1sin(θ)\csc(\theta)= \dfrac{1}{\sin(\theta)}
წაითამაშეთ წერტილით ერთეულოვან წრეზე და დააკვირდით, როგორ იცვლებიან სინუსი და კოსეკანსი. ყურადღება მიაქციეთ, როცა სინუსი პატარაა, კოსეკანსი დიდია და პირიქით. აღმოჩნდა, რომ მათი ნამრავლი ყოველთვის 11-ს უდრის.
ამ იგივეობას მსგავსი სამკუთხედებითაც დავინახავთ. გაასრიალეთ წერტილი დიაგრამის ქვემოთ და დაინახავთ, როგორ გარდაიქმნება ერთი სამკუთხედი მეორედ. დააკვირდით, რომელი მონაკვეთები ესადაგება ერთმანეთს.

cot(θ)=1tan(θ)\cot(\theta)= \dfrac{1}{\tan(\theta)}
ითამაშეთ წერტილით ერთეულოვან წრეზე და დააკვირდით, როგორ იცვლებიან ტანგენსი და კოტანგენსი. ყურადღება მიაქციეთ, როცა ტანგენსი პატარაა, კოტანგენსი დიდია და პირიქით. აღმოჩნდა, რომ მათი ნამრავლი ყოველთვის 11-ს უდრის.
ამ იგივეობას მსგავსი სამკუთხედებითაც დავინახავთ. გაასრიალეთ წერტილი დიაგრამის ქვემოთ და დაინახავთ, როგორ გარდაიქმნება ერთი სამკუთხედი მეორედ. დააკვირდით, რომელი მონაკვეთები ესადაგება ერთმანეთს.

tan(θ)=sin(θ)cos(θ)\tan(\theta)= \dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}
ამ იგივეობას მსგავსი სამკუთხედებითაც დავინახავთ. გაასრიალეთ წერტილი დიაგრამის ქვემოთ და დაინახავთ, როგორ გარდაიქმნება ერთი სამკუთხედი მეორეში. დააკვირდით, რომელი მონაკვეთები ესადაგება ერთმანეთს.

cot(θ)=cos(θ)sin(θ)\cot(\theta)= \dfrac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}
ამ იგივეობას მსგავსი სამკუთხედებითაც დავინახავთ. გაასრიალეთ წერტილი დიაგრამის ქვემოთ და დაინახავთ, როგორ გარდაიქმნება ერთი სამკუთხედი მეორეში. დააკვირდით, რომელი მონაკვეთები ესადაგება ერთმანეთს.

პითაგორას იგივეობები

sin2(θ)+cos2(θ)=12\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta)=1^2
ეს იგივეობა გამომდინარეობს ქვემოთ მოცემული სამკუთხედისთვის ჩაწერილი პითაგორას თეორემიდან.
tan2(θ)+12=sec2(θ)\tan^2(\theta) + 1^2=\sec^2(\theta)
ეს იგივეობა გამომდინარეობს ქვემოთ მოცემული სამკუთხედისთვის ჩაწერილი პითაგორას თეორემიდან.
cot2(θ)+12=csc2(θ)\cot^2(\theta) + 1^2=\csc^2(\theta)
ეს იგივეობა გამომდინარეობს ქვემოთ მოცემული სამკუთხედისთვის ჩაწერილი პითაგორას თეორემიდან.

იგივეობები, რომლებიც გამომდინარეობენ კუთხეების ჯამების, სხვაობების, ნამრავლებისა და წილადების მიხედვით

ესენი ერთმანეთთან მჭიდრო კავშირშია. მოდით, სათითაოდ განვიხილოთ თითოეული ტიპი.
კუთხეების ჯამისა და სხვაობის იგივეობები
sin(θ+ϕ)=sinθcosϕ+cosθsinϕ\sin(\theta+\phi)=\sin\theta\cos\phi+\cos\theta\sin\phi
sin(θϕ)=sinθcosϕcosθsinϕ\sin(\theta-\phi)=\sin\theta\cos\phi-\cos\theta\sin\phi
cos(θ+ϕ)=cosθcosϕsinθsinϕ\cos(\theta+\phi)=\cos\theta\cos\phi-\sin\theta\sin\phi
cos(θϕ)=cosθcosϕ+sinθsinϕ\cos(\theta-\phi)=\cos\theta\cos\phi+\sin\theta\sin\phi
ქვემოთ მოცემული ფიგურა გვაჩვენებს კუთხეთა ჯამის იგივეობის დამტკიცების გზას. მართკუთხედის მარცხენა და მარჯვენა გვერდები ტოლია, რაც გვაძლევს შემდეგს:
sin(θ+ϕ)=sinθcosϕ+cosθsinϕ\purple{\sin(\theta+\phi)}=\blue{\sin\theta}\red{\cos\phi}+\blue{\cos\theta}\red{\sin\phi}
ზედა და ქვედა გვერდებიც ტოლია, რაც გვაძლევს შემდეგს:
cos(θ+ϕ)=cosθcosϕsinθsinϕ\purple{\cos(\theta+\phi)}=\blue{\cos\theta}\red{\cos\phi}-\blue{\sin\theta}\red{\sin\phi}
დიაგრამის მარტივად გასააზრებლად დაიწყეთ დიაგრამის ცენტრში, მართკუთხა სამკუთხედით, შემდეგ კი გარეთ გააგრძელეთ და ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განსაზღვრებები დაიხმარეთ (SOH CAH TOA).
მსგავს დიაგრამას შეუძლია, გვაჩვენოს კუთხეების სხვაობის იგივეობები. შეგიძლიათ მისი აგება?
(სინამდვილეში, ეს θ\theta-სა და ϕ\phi-ს ყველა შესაძლო მნიშვნელობისთვის მტკიცებულება არ არის, მაგრამ იგივეობები ყველა მნიშვნელობას შეესაბამება)
tan(θ+ϕ)=tanθ+tanϕ1tanθtanϕ\tan(\theta+\phi)=\dfrac{\tan\theta+\tan\phi}{1-\tan\theta\tan\phi}
tan(θϕ)=tanθtanϕ1+tanθtanϕ\tan(\theta-\phi)=\dfrac{\tan\theta-\tan\phi}{1+\tan\theta\tan\phi}
ქვემოთ მოცემული ფიგურა გვაჩვენებს ტანგენსისათვის კუთხეთა ჯამის იგივეობის დამტკიცების გზას.
ეს ცოტა უფრო რთული გასაგებია. მთავარია, დიაგრამის ზედა მარცხენა ნაწილში სამკუთხედი ავაგოთ. ამ სამკუთხედს ტანგენსის განსაზღვრებას რომ ვუსადაგებთ, ვიღებთ შემდეგს:
დიაგრამის მარტივად გასააზრებლად დაიწყეთ დიაგრამის ქვემოთ მდებარე მონაკვეთით, შემდეგ კი ზემოთ გააგრძელეთ და ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განსაზღვრებები დაიხმარეთ (SOH CAH TOA).
მსგავს დიაგრამას შეუძლია, გვაჩვენოს კუთხეების სხვაობის იგივეობა. შეგიძლიათ მისი აგება?
(სინამდვილეში, ეს θ\theta-სა და ϕ\phi-ს ყველა შესაძლო მნიშვნელობისთვის მტკიცებულება არ არის, მაგრამ იგივეობები ყველა მნიშვნელობას შეესაბამება)
ორმაგი კუთხის იგივეობები
sin(2θ)=2sinθcosθ\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta
ამ იგივეობის მისაღებად სინუსისთვის კუთხეების ჯამის იგივეობა უნდა ავიღოთ, მაგრამ ორივე კუთხე ერთმანეთს გავუტოლოთ.
sin(θ+ϕ)=sinθcosϕ+cosθsinϕ\sin(\blue\theta+\red\phi)=\sin\blue\theta\cos\red\phi+\cos\blue\theta\sin\red\phi
sin(θ+θ)=sinθcosθ+cosθsinθ\sin(\blue\theta+\blue\theta)=\sin\blue\theta\cos\blue\theta+\cos\blue\theta\sin\blue\theta
sin(2θ)=2sinθcosθ\sin(2\blue\theta)=2\sin\blue\theta\cos\blue\theta
cos(2θ)=2cos2θ1\cos(2\theta)=2\cos^2\theta-1
ამის მიღება შეგვიძლია კუთხეების ჯამის იგივეობის მიხედვით, მაგრამ კიდევ გვჭირდება დამატებითი მოქმედება.
პირველ რიგში, გავათანაბროთ ორივე კუთხე.
cos(θ+ϕ)=cosθcosϕsinθsinϕ\cos(\blue\theta+\red\phi)=\cos\blue\theta\cos\red\phi-\sin\blue\theta\sin\red\phi
cos(θ+θ)=cosθcosθsinθsinθ\cos(\blue\theta+\blue\theta)=\cos\blue\theta\cos\blue\theta-\sin\blue\theta\sin\blue\theta
cos(2θ)=cos2θsin2θ\cos(2\blue\theta)=\cos^2\blue\theta-\sin^2\blue\theta
ახლა შეგვიძლია, sin2θ+cos2θ=1\sin^2\theta +\cos^2\theta= 1 იგივეობის საშუალებით ჩავწეროთ მარჯვენა მხარე მხოლოდ კოსინუსების სახით.
cos(2θ)=cos2θ(1cos2θ)\cos(2\blue\theta)=\cos^2\blue\theta-(1-\cos^2\blue\theta)
cos(2θ)=cos2θ1+cos2θ\cos(2\blue\theta)=\cos^2\blue\theta-1+\cos^2\blue\theta
cos(2θ)=2cos2θ1\cos(2\blue\theta)=2\cos^2\blue\theta-1
tan(2θ)=2tanθ1tan2θ\tan(2\theta)=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}
ესეც გამომდინარეობს კუთხეების ჯამის იგივეობიდან.
tan(θ+ϕ)=tanθ+tanϕ1tanθtanϕ\tan(\blue\theta+\red\phi)=\dfrac{\tan\blue\theta+\tan\red\phi}{1-\tan\blue\theta\tan\red\phi}
tan(θ+θ)=tanθ+tanθ1tanθtanθ\tan(\blue\theta+\blue\theta)=\dfrac{\tan\blue\theta+\tan\blue\theta}{1-\tan\blue\theta\tan\blue\theta}
tan(2θ)=2tanθ1tan2θ\tan(2\blue\theta)=\dfrac{2\tan\blue\theta}{1-\tan^2\blue\theta}
ნახევარი კუთხის იგივეობები
sinθ2=±1cosθ2\sin\dfrac\theta2=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\theta}{2}}
cosθ2=±1+cosθ2\cos\dfrac\theta2=\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos\theta}{2}}
tanθ2=±1cosθ1+cosθ=       1cosθsinθ=       sinθ1+cosθ\begin{aligned} \tan\dfrac{\theta}{2}&=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}\\ \\ &=~~~~~~~\dfrac{1-\cos\theta}{\sin\theta}\\ \\ &=~~~~~~~\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\end{aligned}
ამ ყველაფრის მიღება შეგვძლია ორმაგი კუთხის ფორმულისა და ჩასმის გამოყენებით:
θθ2\blue\theta\rightarrow\red{\dfrac{\theta}{2}}
შემდეგ უნდა გადავალაგოთ.
მაგალითად:
sin(2θ)=2sinθcosθ\sin(2\blue\theta)=2\sin\blue\theta\cos\blue\theta
გარდაიქმნება...
sin(2θ2)=2sinθ2cosθ2\sin(\cancel2\red{\dfrac{\theta}{\cancel2}})=2\sin\red{\dfrac{\theta}{2}}\cos\red{\dfrac{\theta}{2}}
შემდეგ უნდა იპოვოთ sinθ2\sin\red{\dfrac{\theta}{2}}. სცადეთ და ნახეთ, თუ მიხვდებით, როგორ უნდა გამოსახოთ სხვა იგივეობები.

სიმეტრიისა და პერიოდულობის იგივეობები

sin(θ)=sin(θ)\sin(-\theta)=-\sin(\theta)
ამას ვხვდებით ერთეულოვანი წრის დიაგრამაზე დაკვირვებით.
cos(θ)=+cos(θ)\cos(-\theta)=+\cos(\theta)
ამას ვხვდებით ერთეულოვანი წრის დიაგრამაზე დაკვირვებით.
tan(θ)=tan(θ)\tan(-\theta)=-\tan(\theta)
ერთეულოვანი წრის დიაგრამაზე ამის დანახვა უფრო რთულია, მაგრამ ამოვხსნით, ტანგენსს სინუსითა და კოსინუსით თუ ჩავწერთ, შემდეგ კი უარყოფითი კუთხეებისთვის სინუსისა და კოსინუსის იგივეობებს თუ გამოვიყენებთ.
tan(θ)=sin(θ)cos(θ)\tan(\theta)= \dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}
ანუ,
tan(θ)=sin(θ)cos(θ)=sin(θ)cos(θ)=tan(θ)\tan(-\theta)= \dfrac{\sin(-\theta)}{\cos(-\theta)}= \dfrac{-\sin(\theta)}{\cos(\theta)}=-\tan(\theta)

sin(θ+2π)=sin(θ)\sin(\theta+2\pi)=\sin(\theta)
cos(θ+2π)=cos(θ)\cos(\theta+2\pi)=\cos(\theta)
tan(θ+π)=tan(θ)\tan(\theta+\pi)=\tan(\theta)

კომპლემენტარული ფუნქციების იგივეობები

sinθ=cos(π2θ)\sin\theta= \cos(\dfrac{\pi}{2}-\theta)
cosθ=sin(π2θ)\cos\theta= \sin(\dfrac{\pi}{2}-\theta)
tanθ=cot(π2θ)\tan\theta= \cot(\dfrac{\pi}{2}-\theta)
cotθ=tan(π2θ)cot\theta= \tan(\dfrac{\pi}{2}-\theta)
secθ=csc(π2θ)\sec\theta= \csc(\dfrac{\pi}{2}-\theta)
cscθ=sec(π2θ)\csc\theta= \sec(\dfrac{\pi}{2}-\theta)
ყველა ეს იგივეობა ერთნაირად გამოიყურება!
იგივეობების გაგებისთვის მთავარია, გაიაზროთ, რომ θ\theta-დან π2θ\dfrac \pi 2 -\theta-ზე გადასვლა იგივეა, რაც კუთხის y=xy=x წრფის მიმართ არეკვლა.
ქვედა ინტერაქტიული დიაგრამა გვაჩვენებს, რა მიმართებაა კუთხეებს შორის და გვაჩვენებს, რომ sinθ=cos(π2θ)\red{\sin\theta}= \blue{\cos(\dfrac{\pi}{2}-\theta)}. ასეა ფუნქციათა სხვა წყვილებშიც და ვიღებთ სხვა იგივეობებს.

დანართი: ყველა ტრიგონომეტრიული შეფარდება ერთეულოვან წრეში

მოძრავი წერტილის გამოყენებით ნახეთ, როგორ იცვლება შეფარდებების სიგრძეები კუთხის მიხედვით.
იტვირთება