If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

პრეკალკულუსი

კურსი: პრეკალკულუსი > თემა 4

გაკვეთილი 7: მატრიცების შეკრებისა და სკალარული გამრავლების თვისებები
მათემატიკა
პრეკალკულუსი
მატრიცები
მატრიცების შეკრებისა და სკალარული გამრავლების თვისებები
© 2023 Khan Academyგამოყენების პირობებიკონფიდენციალურობის პოლიტიკაშენიშვნა ქუქი-ჩანაწერებზე

მატრიცის სკალარული გამრავლების თვისებები

Google–ის საკლასო ოთახი
ისწავლეთ მატრიცების სკალარული გამრავლების კანონები (როგორიცაა განრიგებადობის კანონი) და დაადგინეთ, რა აქვთ მათ ნამდვილი რიცხვების გამრავლების მსგავსი.
ქვემოთ მოცემულ ცხრილში A და B ერთნაირი განზომილებების მატრიცებია, c და d = სკალარები და O – ნულოვანი მატრიცა.
თვისებამაგალითი
გამრავლების ჯუფდებადობის კანონიleft parenthesis, c, d, right parenthesis, A, equals, c, left parenthesis, d, A, right parenthesis
განრიგებადობის კანონები c, left parenthesis, A, plus, B, right parenthesis, equals, c, A, plus, c, B
left parenthesis, c, plus, d, right parenthesis, A, equals, c, A, plus, d, A
ერთის იგივეობის თვისება 1, A, equals, A
ნულზე გამრავლების თვისება0, dot, A, equals, O
c, dot, O, equals, O
გამრავლების ჩაკეტილობის თვისებაc, A არის მატრიცა, რომელსაც იგივე განზომილებები აქვს, რაც - A მატრიცას.
ეს სტატია შეგასწავლით ამ თვისებებს.

მატრიცები და სკალარული გამრავლება

მატრიცა არის რიცხვების მართკუთხედოვანი განლაგება სვეტებსა და რიგებში.
როცა ვმუშაობთ მატრიცებზე, ნამდვილ რიცხვებს მოვიხსენიებთ სკალარებად.
ტერმინი სკალარული გამრავლება გულისხმობს ნამდვილი რიცხვისა და მატრიცის ნამრავლს. სკალარული გამრავლებისას მატრიცის თითოეული წევრი მრავლდება მოცემულ სკალარზე.
2⋅[5231]=[2⋅52⋅22⋅32⋅1]=[10462]\begin{aligned}\goldD{2}\cdot{\left[\begin{array}{rr}{5} &2 \\ 3& 1 \end{array}\right]}&={\left[\begin{array}{ll}{\goldD2 \cdot5} &\goldD2\cdot 2 \\ \goldD2\cdot3& \goldD2\cdot1 \end{array}\right]}\\\\\\ &={\left[\begin{array}{rr}{10} &4 \\ 6&2 \end{array}\right]}\end{aligned}
თუ ამათგან რომელიმე თქვენთვის ახალია, სანამ გააგრძელებდეთ, უნდა ნახოთ შემდეგი სტატიები:

განზომილებების განხილვა

ყურადღება მიაქციეთ, რომ სკალარი გამრავლებული 2, times, 2 მატრიცაზე არის სხვა 2, times, 2 მატრიცა. ზოგადად, მატრიცის საკალრზე ნამრავლი იმავე განზომილებების სხვა მატრიცაა. სწორედ ეს იგულისხმება სკალარზე გამრავლების ჩაკეტილობის თვისებაში!

მატრიცების სკალარული გამრავლება და ნამდვილი რიცხვების გამრავლება

რადგან სკალარული გამრავლება მნიშვნელოვნად ეყრდნობა ნამდვილ რიცხვებზე გამრავლებას, თვისებების დიდი ნაწილი, რომლთაც ნამდვილ რიცხვებში ვიცნობთ, ჭეშმარიტია სკალარული გამრავლების დროსაც.
მოდით, სათითაოდ ვნახოთ თითოეული თვისება.

გამრავლების ჯუფთდებადობის კანონი: left parenthesis, c, d, right parenthesis, A, equals, c, left parenthesis, d, A, right parenthesis

ეს თვისება ამბობს, რომ თუ მატრიცა მრავლდება ორ სკალარზე, შეგიძლიათ, ჯერ სკალარები გადაამრავლოთ და შემდეგ გაამრავლოთ მატრიცაზე. ან შეგიძლიათ, მატრიცა ერთ სკალარზე გაამრავლოთ და მიღებული შედეგი – მეორეზე.
შემდეგი მაგალითი ასახავს ამ თვისებას, როცა start color #11accd, c, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, start color #e07d10, d, end color #e07d10, equals, start color #e07d10, 3, end color #e07d10 და A=[5481]\greenD A={\left[\begin{array}{rr}{\greenD5}&\greenD4 \\ \greenD8& \greenD1\end{array}\right]}.
თითოეულ სვეტში იგივეობის ერთი მხარე გავაერთიანეთ ერთ მატრიცაში. ყურადღება მიაქციეთ, რომ ეს ორი მატრიცა ტოლფასია ნამდვილ რიცხვებზე გამრავლების ჯუფდებადობის კანონის გამო. მაგალითად, left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #e07d10, 3, end color #e07d10, right parenthesis, dot, start color #1fab54, 5, end color #1fab54, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, left parenthesis, start color #e07d10, 3, end color #e07d10, dot, start color #1fab54, 5, end color #1fab54, right parenthesis.
ეს ასახავს, რომ თავდაპირველი გამოსახულებებიც ტოლფასები უნდა იყოს!

განრიგებადობის კანონი:

c, left parenthesis, A, plus, B, right parenthesis, equals, c, A, plus, c, B

ეს თვისება ამბობს, რომ მატრიცების შეკრებისას სკალარის განრიგება შეგვიძლია.
აი, მაგალითი, სადაც start color #11accd, c, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, A=[5231]\greenD A=\left[\begin{array}{rr}{\greenD5} &\greenD2\\ \greenD3& \greenD1\end{array}\right], and B=[3426]\goldD B=\left[\begin{array}{rr}{\goldD3} &\goldD4\\ \goldD2& \goldD6\end{array}\right]:
თუ შევადარებთ თითოეული სვეტის ბოლო მატრიცებს, დავინახავთ, რომ ისინი ტოლფასია ნამდვილი რიცხვების განრიგებადობის კანონის გამო. მაგალითად, start color #11accd, 2, end color #11accd, left parenthesis, start color #1fab54, 5, end color #1fab54, plus, start color #e07d10, 3, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #1fab54, 5, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #e07d10, 3, end color #e07d10.
შესაბამისად, თავდაპირველი ორი გამოსახულებაც ტოლფასი უნდა იყოს!

left parenthesis, c, plus, d, right parenthesis, A, equals, c, A, plus, d, A

ეს თვისება ამბობს, რომ სკალარების შეკრებისას მატრიცის განრიგება შეგვიძლია.
აი, მაგალითი, სადაც start color #11accd, c, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, start color #1fab54, d, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54 და A=[6974]\goldD A=\left[\begin{array}{rr}{\goldD6} &\goldD9 \\ \goldD7&\goldD4\end{array}\right]:
კიდევ ერთხელ, ვხედავთ, რომ თითოეული სვეტის ბოლო მატრიცა ტოლფასია ნამდვილი რიცხვების ჯუფდებადობის გამო, რაც, ჩვენი სურვილისამებრ, თავდაპირველ გამოსახულებებს ტოლფასს ხდის!

ერთეულოვან მატრიცაზე გამრავლების თვისება: 1, A, equals, A

ეს თვისება ამბობს, რომ, როცა ნებისმიერ A მატრიცას ამრავლებთ სკალარ 1–ზე, შედეგი თავდაპირველი A გამოსახულებაა.
ასე რომ, მაგალითისთვის, თუ A=[2517]A= \left[\begin{array}{rr}{2} &5 \\ 1&7 \end{array}\right], მაშინ გვექნება:
1[2517]=[1⋅21⋅51⋅11⋅7]=[2517]\begin{aligned}\greenD1 \left[\begin{array}{rr}{2} &5 \\ 1&7 \end{array}\right]&=\left[\begin{array}{rr}{\greenD1\cdot {2}} &\greenD1\cdot 5 \\\greenD1\cdot 1&\greenD1\cdot 7 \end{array}\right]\\ \\ &=\left[\begin{array}{rr}{2} &5 \\ 1&7 \end{array}\right] \end{aligned}
ყურადღება მიაქციეთ, რომ რადგან 1, dot, a, equals, a ნებისმიერი ნამდვილი a-სთვის, 1-ზე სკალარულ გამრავლებას ყოველთვის ექნება იგივეობის თვისება!

ნულზე გამრავლების თვისებები:

0, dot, A, equals, O

ეს თვისება ამბობს, რომ სკალარული გამრავლებისას, 0–ჯერ ნებისმიერი m, times, n სახის A მატრიცა არის m, times, n ნულოვანი მატრიცა.
ეს ჭეშმარიტია ნამდვილ რიცხვთა სისტემაში ნულის იგივეობის თვისების გამო. თუ a ნამდვილი რიცხვია, ვიცით, რომ 0, dot, a, equals, 0. შემდეგი მაგალითი ახდენს ამის ილუსტრირებას.
0[3867]=[0⋅30⋅80⋅60⋅7]=[0000]\begin{aligned}\greenD0 \left[\begin{array}{rr}{3} &8 \\ 6&7 \end{array}\right]&=\left[\begin{array}{rr}{\greenD0\cdot 3} &\greenD0\cdot 8 \\ \greenD0\cdot 6&\greenD0\cdot 7 \end{array}\right]\\ \\ &=\left[\begin{array}{rr}{0} &0 \\ 0&0 \end{array}\right] \end{aligned}

c, dot, O, equals, O

ეს თვისება ამბობს, რომ ნებისმიერი სკალარი გამრავლებული ნულოვან მატრიაზე იგივე ნულოვანი მატრიცაა.
ეს თვისებაც ჭეშმარიტია ნამდვილ რიცხვთა სისტემაში ნულის იგივეობის თვისების გამო. აქ არის მაგალითი, სადაც c, equals, 3 და O არის 2, times, 2 ნულოვანი მატრიცა.
3[0000]=[3⋅03⋅03⋅03⋅0]=[0000]\begin{aligned}\greenD 3 \left[\begin{array}{rr}{0} &0 \\ 0&0 \end{array}\right]&=\left[\begin{array}{rr}{\greenD 3 \cdot 0} &\greenD 3\cdot 0 \\ \greenD 3\cdot 0&\greenD 3\cdot 0 \end{array}\right]\\ \\ &=\left[\begin{array}{rr}{0} &0 \\ 0&0 \end{array}\right] \end{aligned}

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

ახლა, როცა გაეცანით სკალარული გამრავლების ყველა თვისებას, ვნახოთ, თუ შეძლებთ მათ გამოყენებას ტოლფასი მატრიცული გამოსახულებების დასადგენად.
ქვემოთ მოცემულ ამოცანებში A და B იყოს 2, times, 2 მატრიცები და c და d – სკალარები.
1) ჩამოთვლილთაგან რომელია c, left parenthesis, 1, A, plus, B, right parenthesis–ის ტოლფასი?
მონიშნეთ ყველა შესაბამისი პასუხი:

2) ჩამოთვლილთაგან რომელია left parenthesis, c, d, right parenthesis, A, plus, 0, A–ის ტოლფასი?
მონიშნეთ ყველა შესაბამისი პასუხი:

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა
პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.