If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

მატრიცების გამრავლება

სალი გვაჩვენებს ორი განსხვავებულზომიანი მატრიცის გამრავლების მაგალითს. შემქმნელია სალ ხანი.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

ვიდეოს აღწერა

გვეკითხებიან, რისი ტოლი არის E-ჯერ D-ო, ანუ, ორი მატრიცა მაქვს და ამათი ნამრავლი გვაინტერესებს. მოდი, ჯერ აღვნიშნოთ ის, რომ ეს მატრიცა, E, არის ორი სამზე მატრიცა, და D მატრიცა არის სამი ორზე მატრიცა. ანუ, რომ მინდოდეს ამათი გამრავლება, ვთქვათ, შებრუნებული თანმიმდევრობით, მაგალითად, D გამრავლებული E-ზე რომ დავწერო, თავისთავად ცხადია, რომ D გამრავლებული E-ზე სხვა რაღაცა უნდა იყოს და E გამრავლებული D-ზე სხვა რაღაცა, თუ რაღაც სასწაული დამთხვევა არ არის. იმიტომ, რომ მატრიცების შემთხვევაში გამრავლების თანმიმდევრობას მნიშვნელობა აქვს. მაგრამ საინტერესო ისაა, შესაძლებელია თუ არა ამათი გამრავლება შებრუნებული თანმიმდევრობით. კონკრეტულად ამ შემთხვევაში შესაძლებელია. იმიტომ, რომ იმისათვის, რომ გამრავლდეს ორი მატრიცა, საჭიროა, პირველი მატრიცის სვეტების რაოდენობა ემთხვეოდეს მეორე მატრიცის სტრიქონების რაოდენობას. ამ შემთხვევაში, პირველი მატრიცა არის ისეთი, რომ მისი სვეტების რაოდენობა არის სამი და მეორე მატრიცა ისეთი, რომ სტრიქონების რაოდენობა არის სამი, ამიტომ ემთხვევა. და რომ შევაბრუნო თანმიმდევრობა, პირველი მატრიცა D იქნება და მისი სვეტების რაოდენობაა ორი. და მეორე მატრიცა იქნება E და მისი სტრიქონების რაოდენობაა ორი. ასე რომ, მაგ შემთხვევაშიც გამრავლება შესაძლებელი იქნებოდა. სტანდარტული რიცხვებისთვის გამრავლებას მნიშვნელობა არ აქვს, უფრო სწორად, გამრავლების თანმიმდევრობას, მაინც ერთსა და იმავე შედეგს იღებ. მატრიცებში, როგორც წესი, ასე არ არის. ანუ, ზოგადად, ეს არაა სიმართლე. შეიძლება, რაღაც კონკრეტული მატრიცებისთვის აღმოჩნდეს, რომ რაღაც, „A-ჯერ B იგივეა, რაც B-ჯერ A“, მაგრამ, ზოგადად, ასე არ ხდება. კარგი ბატონო, მოდი, ახლა გავამრავლოთ ესენი. ესე იგი, რა იქნება E-ჯერ D? E გამრავლებული D-ზე, ეს იქნება, ეს იქნება, ესე იგი, ჩავწეროთ, უბრალოდ გადმოვწერ ჯერ მატრიცას, მეტი არაფერი. მანამდე იფიქრეთ, რა განზომილება ექნება ამათ ნამრავლს. 0, 3, 5, 5, 5, 2. რა განზომილებები ექნება, რა ვიცი, შეგვიძლია, ეგრეც ვთქვათ. ეს გამრავლებული მატრიცაზე 3, 3, 4, მინუს 2, მინუს 2. აი ასე. რადგან ვიცით, რომ გარე განზომილებები, ასე ვთქვათ, ანუ, პირველი მატრიცის სტრიქონების რაოდენობა და მეორე მატრიცის სვეტების რაოდენობა არის ორი და ორი, ესე იგი, ამ ნამრავლის საბოლოო განზომილება იქნება ორი ორზე. ზოგადად, ეგრე არის. როცა მაქვს რაღაცა ორი მატრიცა, ვთქვათ, ერთი არის N M-ზე და მეორე არის M K-ზე, ამათი ნამრავლის, ასეთი მატრიცების ნამრავლის განზომილება იქნება N K-ზე. ამ შემთხვევაში, N და K ორი და ორი აღმოჩნდა, ამიტომ ორი ორზე გვექნება ეს მატრიცა. უბრალოდ, ცოტა დიდად დავწერ, რომ გამოთვლისთვის ადგილი მქონდეს. კარგი, ბატონო. მოდი, ახლა ვნახოთ, რა იქნება პირველი წევრი. პირველი წევრი იქნება, აი, ეს სტრიქონი. აი, ეს სტრიქონი. გამრავლებული, აი, ამ სვეტზე. და გავამრავლოთ. ესე იგი, ნულ – გამრავლებული, სინამდვილეში რა ხდება? ნული სამზე მრავლდება, სამი სამზე, ხუთი ოთხზე და იკრიბება ეს ყველაფერი. ამიტომ, პირველი წევრი იქნება, მოდი, მაინც ხაზს გავუსვამ. აი, ეს გამრავლებული აი, ამაზე. ესე იგი, პირველი წევრი იქნება ნულჯერ სამს დამატებული სამჯერ სამი და დამატებული ხუთჯერ ოთხი. კარგი, ბატონო. ახლა მეორე წევრი. მეორე წევრი იქნება ისევ ეს სტრიქონი გამრავლებული უკვე, აი, ამ სვეტზე. ანუ, მეორე წევრი არის ნული გამრავლებული ოთხზე პლუს სამი გამრავლებული მინუს ორზე, პლუს ხუთჯერ მინუს ორი. ხუთჯერ მინუს ორი. აი ასე. შემდეგ, ქვედა წევრი, ანუ, მეორე სტრიქონის და პირველი სვეტის გადაკვეთაზე მყოფი წევრი, იქნება მეორე სტრიქონის და პირველი სვეტის ნამრავლი, რაც არ უნდა გასაკვირი იყოს. ხუთჯერ – ანუ, ესე იგი, ეს აქ – ხუთჯერ სამი. ხუთჯერ სამი. პლუს ხუთჯერ სამი, ისევ. და პლუს ორჯერ ოთხი. და ბოლოს მეორე სტრიქონი მრავლდება მეორე სვეტზე და მიიღება მეორე სტრიქონისა და მეორე სვეტის გადაკვეთაზე მყოფი წევრი. რომელიც არის ხუთჯერ ოთხს დამატებული ხუთჯერ მინუს ორი და დამატებული ორჯერ მინუს ორი. აი ასე. და ახლა მოდი უბრალოდ ვიარითმეტიკოთ ცოტა და მივიღებთ საბოლო მატრიცას. როგორიც არის. ახლა, ვნახოთ. აქ ნულ ჯერ სამი წავიდა. სამჯერ სამი ცხრა არის. ხუთჯერ ოთხი არის 20. ესე იგი, ამათი ჯამი არის 29. ეს არის პირველი წევრი. შემდეგ, ნულჯერ ოთხი წავიდა. სამჯერ მინუს ორია მინუს ექვსი. ხუთჯერ მინუს ორია მინუს 10. ჯამი იქნება მინუს 16. ეს არის მეორე. შემდეგ, ხუთჯერ სამი 15, ხუთჯერ სამი 15, ეს არის 30. ორჯერ ოთხი – რვა ესე იგი, ეს არის 38. და ბოლოს – ხუთჯერ ოთხი არის 20. ხუთჯერ მინუს ორი არის მინუს 10. ესე იგი, ამათი ჯამია 10. და 10-ს მინუს ოთხი იქნება ექვსი. ამიტომ, ბოლო წევრი გამოგვივიდა ექვსი. და ესეც ასე. ესე იგი, გავამრავლეთ ორი სამზე მატრიცა სამი ორზე მატრიცაზე და მივიღეთ ორი ორზე მატრიცა და, აი, ეს არის შედეგი. შეგიძლიათ, შეცვალოთ თანმიმდევრობა გამრავლების და პირდაპირ იმითაც კი შეიძლება თქვა, რომ სხვადასხვა – სხვათა შორის, დასაწყისში რომ ვთქვი, აღარ მივაქციე ყურადღება. შანსი არ არის, რომ ამ ორი მატრიცის ნამრავლი განსხვავებული თანმიმდევრობებით იყოს ერთი და იგივე. იმიტომ, რომ, ანუ, წეღან დამთხვევა რომ შეიძლება იყოს მეთქი, რომ ვთქვი. იმიტომ, რომ განზომილებები ასეთ შემთხვევაში არის ორი ორზე და რომ შევაბრუნო ამათი ნამრავლის თანმიმდევრობა, იქნება განზომილება სამი სამზე. ორი ორზე მატრიცა სამი სამზე მატრიცის ტოლი ვერ იქნება, ხომ? ამიტომ, პრინციპში, თავიდანვე უნდა მეთქვა, რომ შანსი არაა, რომ ED უდრიდეს DE-ს. ანუ, ცალსახად შეგვიძლია, ვთქვათ, რომ ED, ამ შემთხვევაში, არ უდრის DE-ს. იმიტომ, რომ ამის განზომილება გამოდის ორი ორზე, ამის განზომილება გამოდის სამი სამზე. ED DE-ს მაშინ შეიძლება უდრიდეს, როცა ორივე ერთნაირი განზომილებების მქონე შეიძლება იყოს. აი, მაგალითად, როცა, ვთქვათ, კვადრატული მატრიცები მრავლდება ერთმანეთზე, მაშინ კაცმა არ იცის. შეიძლება, რომ ერთმანეთის ტოლი იყოს შებრუნებული თანმიმდევრობით ნამრავლიც. მაგრამ როცა განსხვავებულ განზომილებებიან ვიღაცებს ვამრავლებთ ერთმანეთზე, თუ მერე მაგათი თანმიმდევრობის შებრუნება შეიძლება, საერთოდაც, მაშინ განსხვავებულ განზომილებებს ვიღებთ ნამრავლში და აზრი არ აქვს, მაინც არ გამოვა ერთმანეთის ტოლი. ასე რომ, კარგია, რომ ეგ გამახსენდა და ამასაც ხაზი გავუსვი. (სუბტიტრები შექმნილია ნიკა ხარშილაძის დახმარებით)