მატრიცები და გარდაქმნები

თუ მატრიცაზე ვიფიქრებთ, როგორც სივრცის გარდაქმნაზე, ეს მატრიცებზე მოქმედებების უფრო ღრმად გააზრებაში დაგვეხმარება. ეს გვეხმარება მატრიცებზე მოქმედებების, როგორიცაა გამრავლება, განსაზღვრაში და კარგ მიზეზს გვაძლევს, რომ ლამაზი სურათები დავხაზოთ. ეს მასალა წრფივ ალგებრას (როგორც წესი, უნივერსიტეტის საგანს) ეხება.

"გარდაქმნის" იდეა თავიდან შეიძლება, უფრო რთული მოგვეჩვენოს, ვიდრე სინამდვილეშია, ასე რომ, სანამ შევეჭიდებით იმის გაგებას, თუ $2 \times 2$2, times, 2 მატრიცა როგორ გარდაქმნის $2$2 განზომილებიან სივრცეს და $3 \times 3$3, times, 3 მატრიცა – $3$3 განზომილებიანს, ვნახოთ, ძველი მარტივი რიცხვები (ასევე ცნობილი, როგორც $1 \times 1$1, times, 1 მატრიცა) როგორ შეიძლება, განვიხილოთ $1$1-განზომილებიანი სივრცის გარდაქმნად.

"$1$1-განზომილებიანი სივრცე" უბრალოდ რიცხვითი ღერძია.

რა ხდება, როცა ღერძზე თითოეულ რიცხვს ვამრავლებთ კონკრეტულ რიცხვზე, როგორიცაა $2$2? ამის ვიზუალური გამოსახვის ერთ–ერთი გზა არის შემდეგნაირი:

შედარებისთვის ვინარჩუნებთ თავდაპირველი ღერძის ასლს. შემდეგ ღერძის თითოეული რიცხვი გადაგვაქვს ამ რიცხვზე $2$2-ჯერ დიდ წერტილზე.

ამის მსგავსად, $\dfrac{1}{2}$start fraction, 1, divided by, 2, end fraction–ზე გამრავლება შეიძლება, გამოისახოს შემდეგნაირად:

უარყოფითმა რიცხვებმა თავი უგულებელყოფილად რომ არ იგრძნონ, აი, $-3$minus, 3–ზე გამრავლება:

მათთვის, ვინც ტერმინოლგიით არის გატაცებული, ეს ანიმაციური მოქმედებები შეგვიძლია, ავღწეროთ, როგორც „$1$1-განზომილებიანი სივრცის წრფივი გარდაქმნა". სიტყვა “გარდაქმნა” იმავეს ნიშნავს, რასაც - “ფუნქცია”: ესაა ისეთი რაღაც, რაც ერთი რიცხვით სხვა რიცხვს იღებს, როგორიცაა $f(x) = 2x$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x. მიუხედავად იმისა, რომ ფუნქციებს ჩვეულებრივ მათი გრაფიკებით გამოვსახავთ, ხალხი სიტყვა “გარდაქმნას” იყენებს იმის მისანიშნებლად, რომ უნდა გამოვსახოთ რაღაც ობიექტის მოძრაობა, გაწელვა, შეკუმშვა და ა. შ. ასე რომ, $f(x) = 2x$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x ფუნქცია, მოცემული გარდაქმნის სახით, გვაძლევს ზემოთ მოცემულ „$2$2-ზე გამრავლების" ვიდეოს. მას რიცხვით ღერძზე წერტილი $1$1 გადაჰყავს იქ, სადაც $2$2 იყო, $2$2 - სადაც $4$4 იყო და ა. შ.

სანამ $2$2-განზომილებიან სივრცეზე გადავალთ, ერთი მარტივი, მაგრამ მნიშვნელოვანი რამ უნდა დავიმახსოვროთ. დავუშვათ, რომ ვუყურებთ ერთ–ერთ ასეთ გარდაქმნას, ვიცით, რომ იგი რაღაც რიცხვზე გამრავლებაა, მაგრამ არ ვიცით, რა რიცხვზე, მაგალითად:

მარტივად შეგიძლიათ მიხვდეთ, რომელი რიცხვი მრავლდება $\goldE{\text{მიმდინარე}1}$start color #a75a05, start text, მ, ი, მ, დ, ი, ნ, ა, რ, ე, end text, 1, end color #a75a05–ზე. ამ შემთხვევაში $1$1 მოხვდება იქ, სადაც $-3$minus, 3 დაიწყო, ანუ, შეგიძლიათ თამამად თქვათ, რომ ანიმაცია $-3$minus, 3–ზე გამრავლებას წარმოადგენს.

$2$2-განზომილებიანი წრფივი გარდაქმნა არის განსაკუთრებული სახის ფუნქცია, რომელიც $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]$ $2$2-განზომილებიანი ვექტორისგან ღებულობს სხვა $2$2-განზომილებიან ვექტორს. აქაც სიტყვა “გარდაქმნა” ნიშნავს იმას, რომ უნდა ვიფიქროთ რაღაცის გადაკეთებაზე, ამ შემთხვევაში - $2$2-განზომილებიანი სივრცის გადაკეთებაზე. აქ არის რამდენიმე მაგალითი:

ჩვენი მიზნებისთვის გარდაქმნას წრფივად აქცევს შემდეგი გეომეტრიული წესი: სათავე უცვლელად უნდა დარჩეს და ყველა ღერძი - ღერძად. ასე რომ, ზემოთ ანიმაციაში მოცემული ყველა გარდაქმნა ამის მაგალითია, მაგრამ შემდეგები - არა:

წარმოიდგინეთ, რომ უყურებთ ერთ კონკრეტულ გარდაქმნას, მაგალითისთვის ასეთს

როგორ აღუწერთ ამას მეგობარს, რომელიც ამ ანიმაციას არ უყურებს? ამას ერთი ციფრის გამოყენებით ვეღარ შეძლებთ, როგორც რიცხვ $1$1-ს ვადევნებდით თვალს ერთგანზომილებიანი სივრცის შემთხვევაში. ყველაფერს თვალი რომ ვადევნოთ, ვექტორ $\greenD{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]}$-ს გავუკეთოთ მწვანე ისარი, ვექტორ $\redD{\left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]}$-ს წითელი ისარი და უკანა პლანზე დავტოვოთ საკოორდინატო სიბრტყის ასლი.

ახლა უფრო ადვილია იმის დანახვა, თუ სად გადავა იგი. მაგალითისთვის კიდევ ერთხელ უყურეთ ანიმაციას და ყურადღება $\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right]$ ვექტორზე გაამახვილეთ, მასზე მიდევნება უფრო ადვილად შეგვიძლია და დავინახავთ, რომ $\left[\begin{array}{c} 4 \\ -2 \end{array} \right]$ ვექტორზე გადადის.

ეს ფაქტი შემდეგი ჩანაწერით შეგვიძლია, წარმოვადგინოთ:

ყურადღება მიაქციეთ, რომ $\left[ \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array} \right]$–ის მსგავსი ვექტორი, რომელიც იწყება, როგორც $2$2–ჯერ მწვანე ისარი, გარდაქმნის შემდეგაც $2$2–ჯერ მწვანე ისარი რჩება. რადგან მწვანე ისარი $\greenD{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ -2 \end{array} \right]}$–ზე გადადის, შეგვიძლია, დავასკვნათ, რომ

$\left[ \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array} \right] \rightarrow 2 \cdot \greenD{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ -2 \end{array} \right]} = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ -4 \end{array} \right]$.

და ზოგადად

ამის მსგავსად, მთელი $y$y ღერძის მდებარეობა განისაზღვრება იმით, თუ სად გადავა $\redD{\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]}$ წერტილი, რაც ამ გარდაქმნისთვის არის $\redD{\left[ \begin{array}{c} 3 \\ 0 \end{array} \right]}$.

სინამდვილეში, მას შემდეგ, რაც გვეცოდინება, თუ სად გადადის $\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]$ და $\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]$ შეგვიძლია, დავასკვნათ, თუ სიბრტყის თითოეული წევრი სად უნდა გადავიდეს. მაგალითად, ჩვენს ანიმაციაში მივყვეთ $\left[ \begin{array}{c} -1 \\ 2 \end{array} \right]$ წერტილს:

იგი იწყება $-1$minus, 1–ჯერ მწვანე ისარს დამატებული $2$2–ჯერ წითელი ისრით, მაგრამ ასევე გადადის $-1$minus, 1–ჯერ მწვანე ისარს დამატებული $2$2–ჯერ წითელ ისარზე, რაც გარდაქმნის შემდეგ ნიშნავს, რომ

სწორედ ვექტორის მდგენელებად დაშლის შესაძლებლობა გარდაქმნამდე და გარდაქმნის შემდეგაც ხდის წრფივ გარდაქმნებს ასე განსაკუთრებულს.

ზოგადად, რადგან ნებისმიერი $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]$ ვექტორი შეიძლება, დაიშალოს, როგორც

თუ მწვანე ისარი $\greenD{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]}$ რაიმე ვექტორზე დაბოლოვდება $\greenD{\left[ \begin{array}{c} a \\ c \end{array} \right]}$, და წითელი ისარი $\redD{\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]}$ რაიმე ვექტორზე დაბოლოვდება $\redD{\left[ \begin{array}{c} b \\ d \end{array} \right]}$, მაშინ ვექტორი $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]$ უნდა დაბოლოვდეს

ამ ყველაფრის აღწერის ძალიან კარგი გზა არის, მოცემული გარდაქმნა წარმოვადგინოთ მატრიცის სახით

სადაც პირველი სვეტი გვეუბნება, თუ სად გადადის $\greenD{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]}$ და მეორე სვეტი გვეუბნება, თუ სად გადადის $\redD{\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]}$ . ახლა შეგვიძლია, კომპაქტურად, მატრიცისა და ვექტორის ნამრავლის სახით, აღვწეროთ, თუ სად გადადის ნებისმიერი $\textbf{v} = \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]$ ვექტორი

სინამდვილეში აქედან მოდის მატრიცისა და ვექტორის ნამრავლის განსაზღვრება.

ასე რომ, როგორც $1$1-განზონიმილებიანი წრფივი გარდაქმნა შეგვიძლია, აღვწეროთ, როგორც რაღაც რიცხვზე გამრავლება, კონკრეტულად, რიცხვზე, რომელზეც $1$1 გადადის, ასევე $2$2-განზომილებიანი წრფივი გარდაქმნა ყოველთვის შეგვიძლია, აღვწეროთ $2 \times 2$2, times, 2 მატრიცით, კონკრეტულად, ისეთით, რომლის პირველი სვეტიც ასახავს, თუ სად გადადის $\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]$ და მეორე სვეტი ასახავს, თუ სად გადადის $\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]$.