ძირითადი მასალა

პრეკალკულუსი

კურსი: პრეკალკულუსი > თემა 5

გაკვეთილი 1: რას წარმოადგენს წარმოსახვითი რიცხვები?

წარმოსახვითი ერთეულის ხარისხები

ისწავლეთ, როგორ გაამარტივოთ ნებისმიერი წარმოსახვითი i რიცხვის ხარისხი. მაგალითად, გაამარტივეთ i²⁷ , როგორც -i.

ვიცით, რომ i, equals, square root of, minus, 1, end square root და i, squared, equals, minus, 1.

მაგრამ i, cubed–ზე რას ვიტყვით? i, start superscript, 4, end superscript–ზე? i–ის სხვა მთელ ხარისხებზე? ისინი როგორ გამოვთვალოთ?

i, cubed-ისა და i, start superscript, 4, end superscript-ის პოვნა

ხარისხების თვისებები აქ შეიძლება, გამოგვადგეს! სინამდვილეში, i–ის ხარისხების გამოთვლისას ნამდვილ რიცხვებში უკვე ნაცნობი ხარისხების თვისებები გამოვიყენოთ, თუ ეს ხარისხები მთელი რიცხვებია.

ამის გათვალისწინებით, ვიპოვოთ i, cubed და i, start superscript, 4, end superscript.

ვიცით, რომ i, cubed, equals, i, squared, dot, i. მაგრამ რადგან i, squared, equals, minus, 1, ვხედავთ, რომ:

$\begin{aligned} i^3 &= {{i^2}}\cdot i\\ \\ &={ (-1)}\cdot i\\ \\ &= \purpleD{-i} \end{aligned}$

ამის მსგავსად i, start superscript, 4, end superscript, equals, i, squared, dot, i, squared. ისევ იმ ფაქტის გამოყენებით, რომ i, squared, equals, minus, 1, გვექნება შემდეგი:

$\begin{aligned} i^4 &= {{i^2\cdot i^2}}\\ \\ &=({ -1})\cdot ({-1})\\ \\ &= \goldD{1} \end{aligned}$

i-ის მეტი ხარისხი

მოდით, განვაგრძოთ! ახლა i–ს შემდეგი 4 ხარისხი ვიპოვოთ მსგავსი მეთოდის გამოყენებით.

$\begin{aligned} \Large i^5 &= {i^4\cdot i}~~~~~&&\small{\gray{\text{ხარისხების თვისებები}}}\\ \\ &=1\cdot i&&\small{\gray{\text{რადგანაც $i^4=1$}}}\\ \\ &= \blueD i \end{aligned}$

$\begin{aligned}\Large i^6 &= {i^4\cdot i^2}&&\small{\gray{\text{ხარისხების თვისებები}}}\\ \\ &=1\cdot (-1)&&\small{\gray{\text{რადგან $i^4=1$ და $i^2=-1$}}}\\ \\ &=\greenD{-1} \end{aligned}$

$\begin{aligned}\Large i^7 &= {i^4\cdot i^3}&&\small{\gray{\text{ხარისხების თვისებები}}}\\ \\ &=1\cdot (-i)&&\small{\gray{\text{რადგან $i^4=1$ და $i^3=-i$}}}\\ \\ &=\purpleD{-i} \end{aligned}$

$\begin{aligned}\Large i^8 &= {i^4\cdot i^4~~~~}&&\small{\gray{\text{ხარისხების თვისებები}}}\\ \\ &=1\cdot 1&&\small{\gray{\text{რადგან $i^4=1$ }}}\\ \\ &=\goldD 1 \end{aligned}$

შედეგები შეჯამებულია ცხრილში.

i, start superscript, 1, end superscript	i, squared	i, cubed	i, start superscript, 4, end superscript	i, start superscript, 5, end superscript	i, start superscript, 6, end superscript	i, start superscript, 7, end superscript	i, start superscript, 8, end superscript
start color #11accd, i, end color #11accd	start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54	start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab	start color #e07d10, 1, end color #e07d10	start color #11accd, i, end color #11accd	start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54	start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab	start color #e07d10, 1, end color #e07d10

კანონზომიერების გამოვლენა

ცხრილიდან ჩანს, რომ i–ს ხარისხები მოძრაობს start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab და start color #e07d10, 1, end color #e07d10 მიმდევრობაში.

ამ კანონზომიერების გამოყენებით შეგვიძლია, i, start superscript, 20, end superscript ვიპოვოთ? მოდით, ვცადოთ!

შემდეგი ჩამონათვალი გვაჩვენებს განმეორებადი მიმდევრობის პირველ 20 რიცხვს.

\quad

start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10

ამ ლოგიკით, i, start superscript, 20, end superscript უნდა უდრიდეს start color #e07d10, 1, end color #e07d10-ს. ვნახოთ, თუ შეძლებთ ამის დამტკიცებას ხარისხების გამოყენებით. დაიმახსოვრეთ, ხარისხების თვისებების გამოყენება აქ ისევე შეგვიძლია, როგორც ნამდვილი რიცხვების შემთხვევაში!

$\begin{aligned} i^{20} &= (i^4)^5&&\small{\gray{\text{ხარისხების თვისებები}}}\\ \\ &= (1)^5 &&\small{\gray{i^4=1}}\\\\ &= \goldD 1 &&\small{\gray{\text{გაამარტივეთ}}}\end{aligned}$

ნებისმიერ შემთხვევაში, ვხედავთ, რომ i, start superscript, 20, end superscript, equals, 1.

i-ის უფრო მაღალი ხარისხები

ვთქვათ, გვინდა i, start superscript, 138, end superscript–ის პოვნა. შეგვიძლია, ჩამოვთვალოთ start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10,... 138, start superscript, start text, end text, end superscript–ე წევრამდე მიმდევრობა მაგრამ ამას ძალიან ბევრი დრო დასჭირდება!

თუმცა, ყურადღება მიაქციეთ, რომ i, start superscript, 4, end superscript, equals, 1, i, start superscript, 8, end superscript, equals, 1, i, start superscript, 12, end superscript, equals, 1 და ასე შემდეგ, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ i აყვანილი 4–ის ჯერად ხარისხსში არის 1.

ეს ფაქტი შეგვიძლია, გამოვიყენოთ ხარისხების თვისებებთან ერთად, რომ გავამარტივოთ i, start superscript, 138, end superscript.

მაგალითი

გაამარტივეთ i, start superscript, 138, end superscript.

ამოხსნა

138 არ არის 4–ის ჯერადი, მაგრამ რიცხვი 136 არის! ეს შეგვიძლია, გამოვიყენოთ i, start superscript, 138, end superscript–ის გამარტივებისას.

$\begin{aligned} i^{138} &=i^{136}\cdot i^2 &&\small{\gray{\text{ხარისხის თვისებები}}}\\\\ &=(i^{4\cdot 34})\cdot i^2&&\small{\gray{136=4\cdot 34}} \\\\ &=(i^{4})^{34}\cdot i^2&&\small{\gray{\text{ხარისხის თვისებები}}} \\\\ &=(1)^{34}\cdot i^2 &&\small{\gray{\text{$i^4=1$}}}\\\\ &=1\cdot -1&&\small{\gray{\text{$i^2=-1$}}}\\\\ &=-1 \end{aligned}$

ასე რომ, i, start superscript, 138, end superscript, equals, minus, 1.

ახლა შეიძლება, იკითხოთ, თუ რატომ გადავწყვიტეთ, i, start superscript, 138, end superscript ჩაგვეწერა i, start superscript, 136, end superscript, dot, i, squared სახით.

თუ თავდაპირველი ხარისხი არ არის 4–ის ჯერადი, მაშინ უახლოესი 4–ის ჯერადის პოვნით, რომელიც მასზე ნაკლებია, ხარისხი დაგვყავს i–მდე, i, squared–მდე ან i, cubed–მდე მხოლოდ იმ ფაქტის გამოყენებით, რომ i, start superscript, 4, end superscript, equals, 1.