კომპლექსური რიცხვების ფორმების გახსენება

კომპლექსური რიცხვის ალგებრული ფორმა გვაძლევს $\blueD{\text{ნამდვილ}}$start color #11accd, start text, ნ, ა, მ, დ, ვ, ი, ლ, end text, end color #11accd და $\greenD{\text{წარმოსახვით}}$start color #1fab54, start text, წ, ა, რ, მ, ო, ს, ა, ხ, ვ, ი, თ, end text, end color #1fab54 ნაწილებს. იგი რიცხვს ამ ორი ნაწილის ჯამად განიხილავს.

ამის გამო, ეს ფორმა ძალიან მოსახერხებელია კომპლექსური რიცხვების შეკრებისა და გამოკლებისას.

ალგებრული ფორმით მოცემული კომპლექსური რიცხვი კომპლექსურ სიბრტყეზეც შეგვიძლია, გამოვსახოთ. ნამდვილი და წარმოსახვითი ნაწილები განსაზღვრავს რიცხვის ნამდვილ და წარმოსახვით ნაწილებს.

პოლარული ფორმა ხაზს უსვამს კომპლექსური რიცხვების გრაფიკულ თვისებებს: $\goldD{\text{აბსოლუტურ სიდიდეს}}$start color #e07d10, start text, ა, ბ, ს, ო, ლ, უ, ტ, უ, რ, space, ს, ი, დ, ი, დ, ე, ს, end text, end color #e07d10 (სათავიდან რიცხვამდე მანძილი კომპლექსურ სიბრტყეზე) და $\purpleC{\text{კუთხეს}}$start color #aa87ff, start text, კ, უ, თ, ხ, ე, ს, end text, end color #aa87ff (კუთხე, რომელსაც რიცხვი დადებით ნამდვილ ღერძთან ადგენს). მათ ასევე $\goldD{\text{მოდული}}$start color #e07d10, start text, მ, ო, დ, უ, ლ, ი, end text, end color #e07d10 და $\purpleC{\text{არგუმენტი}}$start color #aa87ff, start text, ა, რ, გ, უ, მ, ე, ნ, ტ, ი, end text, end color #aa87ff ეწოდებათ.

ყურადღება მიაქციეთ, რომ თუ პოლარულ ფორმაში გავხსნით ფრჩხილებს, რიცხვს მივიღებთ ალგებრული ფორმით:

ეს ფორმა ძალიან მოსახერხებელია კომპლექსური რიცხვების გამრავლებისა და გაყოფისას მისი განსაკუთრებულლ ქცევის გამო: ორი რიცხვის, რომელთა მოდულებია $\goldD{r_1}$start color #e07d10, r, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10 და $\goldD{r_2}$start color #e07d10, r, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10 და კუთხეები - $\purpleC{\theta_1}$start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #aa87ff და $\purpleC{\theta_2}$start color #aa87ff, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff, ნამრავლის მოდული იქნება $\goldD{r_1r_2}$start color #e07d10, r, start subscript, 1, end subscript, r, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10 და არგუმენტი - $\purpleC{\theta_1+\theta_2}$start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, plus, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff.

მაჩვენებლიანი ფორმა იმავე მახასიათებლებს იყენებს, რასაც პოლარული ფორმა, $\goldD{\text{მოდული}}$start color #e07d10, start text, მ, ო, დ, უ, ლ, ი, end text, end color #e07d10 და $\purpleC{\text{არგუმენტი}}$start color #aa87ff, start text, ა, რ, გ, უ, მ, ე, ნ, ტ, ი, end text, end color #aa87ff. იგი მას უბრალოდ სხვა, უფრო კომპაქტური, გზით გამოსახავს. მაგალითად, გამრავლების თვისება ახლა შემდეგნაირად შეგვიძლია, ჩავწეროთ:

ეს ფორმა გამომდინარეობს $e^z$e, start superscript, z, end superscript მაჩვენებლიანი ფუნქციის ეულერის გაშლილი ფორმიდან ნებისმიერი $z$z კომპლექსური რიცხვისთვის. ამის შესახებ მსჯელობა საკმაოდ რთულია, მაგრამ მისი მნიშვნელობა მარტივია: ნებისმიერი ნამდვილი $x$x რიცხვისათვის განვსაზღვრავთ, რომ $e^{ix}$e, start superscript, i, x, end superscript არის $\cos(x)+i\sin(x)$cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, x, right parenthesis.

ამ განსაზღვრების გამოყენებით ვიღებთ მაჩვენებლიანი და პოლარული ფორმების ტოლფასობას: