თუ თქვენ ხედავთ ამ შეტყობინებას, ესე იგი საიტზე გარე რესურსების ჩატვირთვისას მოხდა შეფერხება.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

ძირითადი მასალა

კურსი: პრეკალკულუსი > თემა 5

გაკვეთილი 10: პოლარული ფორმის კომპლექსური რიცხვების გამრავლება და გაყოფა

კომპლექსური რიცხვების ხარისხების ვიზუალიზაცია

გაიგეთ, როგორ იქცევიან კომპლექსური რიცხვების ხარისხები, როცა მათ გრაფიკულ ეფექტს კომპლექსურ სიბრტყეზე უყურებთ.

კავშირი i2=1-სა და i-ს მდებარეობას შორის

კომპლექსური რიცხვების სწავლა დავიწყეთ i რიცხვის შექმნით, რომელიც i2=1 ტოლობას აკმაყოფილებს და შემდეგ იგი გამოვსახეთ რიცხვითი ღერძის მიღმა 0-ზე ერთი ერთეულით ზემოთ განთავსებით. წინა სტატიაში შემოთავაზებული ვიზუალური გამოსახულებებით ვხედავთ, თუ რატომ არის ეს წერტილი ასეთი ბუნებრივი მდებარეობა რიცხვისათვის, რომლის კვადრატი არის 1.
დიახ, i–ზე გამრავლება გვაძლევს სათავის მიმართ 90–ით მობრუნებას:
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ამის მიზეზად შეგიძლიათ, ჩათვალოთ ის, რომ i-ის მოდული არის 1 და არგუმენტი - 90, ან ის, რომ ეს მობრუნება საკოორდინატო სიბრტყის გადაადგილების (0-ის უცვლელად) ერთადერთი გზაა, რომელსაც 1 იქ გადაჰყავს, სადაც თავიდან i იყო.
ასე რომ, რა მოხდება, თუ სიბრტყეზე ყველაფერს i–ზე გავამრავლებთ ორჯერ?
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ეს იგივე სათავის მიმართ 180–ით მობრუნებაა, რაც არის 1–ზე გამრავლება. რა თქმა უნდა, ეს ლოგიკურია, რადგან i–ზე ორჯერ გამრავლება იგივე i2–ზე გამრავლებაა, რაც 1 უნდა იყოს.
საინტერესოა იმაზე ფიქრი, რომ i სადმე სხვაგან რომ მოგვეთავსებინა, ხოლო მისი i2=1 თვისება შეგვენარჩუნებინა, კომპლექსური გამრავლების ასეთ სუფთა ვიზუალურ გამოსახვას ვერ შევძლებდით.

კომპლექსური რიცხვების ხარისხები

მოდით, მეტი ვიმუშაოთ რაღაც კომპლექსურ რიცხვზე განმეორებით გამრავლებებზე.

1–ლი მაგალითი: (1+i3)3

აიღეთ რიცხვი z=1+i3, რომლის მოდული არის 12+(3)2=2 და კუთხე - 60. რა მოხდება, თუ სიბრტყეზე ყველაფერს z-ზე გავამრავლებთ ზედიზედ სამჯერ?
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ყველაფერი გაწელილია 2–ჯერ ზედიზედ სამჯერ, ასე რომ, საბოლოო ჯამში ყველაფერი გაწელილია 23=8–ჯერ. ამის მსგავსად ყველაფერი ზედიზედ სამჯერაა მობრუნებული 60–ით, ასე რომ, საბოლოო ჯამში მობრუნებულია 180–ით. მაშასადამე, საბოლოო ჯამში, ეს იგივე 8–ზე გამრავლებაა, ასე რომ, (1+i3)3=8.
ამის ნახვა ალგებრულადაც შეგვიძლია შემდეგნაირად:
=(2(cos(60)+isin(60)))3=23(cos(60+60+60)+isin(60+60+60) =8(cos(180)+isin(180))=8

მე–2 მაგალითი: (1+i)8

შემდეგ დავუშვათ, რომ სიბრტყეზე ყველაფერს (1+i)–ზე ზედიზედ რვაჯერ ვამრავლებთ:
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
რადგან 1+i–ის მოდული არის
|1+i|=12+12=2,
ყველაფერი 2–ჯერაა გაწელილი ზედიზედ სამჯერ, მაშასადამე, საბოლოო ჯამში გაწელილია (2)8=24=16–ჯერ.
რადგან (1+i)–ის კუთხე არის 45, ყველაფერი ჯამში 845=360–ითაა მობრუნებული, ასე რომ, ჯამში თითქოს არც მობრუნებულა. შესაბამისად, (1+i)8=16.
ამის ალგებრულად დანახვა შეგვიძლია შემდეგნაირად
=(1+i)8=(2(cos(45)+isin(45))8=(2)8(cos(45++458-ჯერ)+isin(45++458-ჯერ))=16(cos(360)+isin(360))=16

მე–3 მაგალითი: z5=1

ახლა მოდით, შებრუნებული კითხვის დასმა დავიწყოთ: არის ისეთი z რიცხვი, რომლისთვისაც თუ სიბრტყეზე ყველაფერს ზედიზედ ხუთჯერ გავამრავლებთ z–ზე, ყველაფერი საწყის ეტაპს დაუბრუნდება? სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შეგვიძლია, z5=1 განტოლება ამოვხსნათ? ერთი მატრივი პასუხია z=1, მაგრამ ვნახოთ, სხვა პასუხების პოვნასაც თუ შევძლებთ.
პირველ რიგში, ასეთი რიცხვის მოდული 1 უნდა იყოს, რადგან თუ იგი 1 ზე მეტი იქნება, სიბრტყეზე ყველაფერი გაწელვას განაგრძობს და თუ 1–ზე ნაკლები – შეკუმშვას. თუმცა მობრუნება ცოტა განსხვავებული რამ არის, რადგან საწყის ეტაპს შეგიძლიათ, დაუბრუნდეთ კონკრეტული რაოდენობის მობრუნების გამეორების შემდეგ. კონკრეტულად, თუ გზის 15–ს მოაბრუნებთ ასე
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
მაშინ ამის ზედიზედ 5–ჯერ გაკეთება საწყის პოზიციაზე დაგაბრუნებთ.
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
რიცხვი, რომელიც სიბრტყეს ასე აბრუნებს, არის cos(72)+isin(72), რადგან 3605=72.
სხვა ამონახსნებიც არსებობს, როგორიცაა 25–ით საპირისპირო მხარეს მობრუნება:
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ან 15-ით საპირისპირო მხარეს მობრუნება:
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
სინამდვილეში, რიცხვები, რომლებიც განტოლებას ხსნიან, ერთეულოვან წრეზე ლამაზად ქმნიან წესიერ ხუთკუთხედს:

მე–4 მაგალითი: z6=27

z6=27 განტოლების მიხედვით გვთხოვენ, ვიპოვოთ ისეთი კომპლექსური z რიცხვი, რომელზეც ზედიზედ 6-ჯერ გამრავლება გაწელავს 27-ჯერ და მოაბრუნებს 180-ით, რადგან უარყოფითობა ნიშნავს 180-ით მობრუნებას.
ისეთი რაღაცის, რომელიც 6-ჯერ ზედიზედ გამოყენებისას გაწელავს 27-ჯერ, მოდული უნდა იყოს A276=3 და მობრუნების ერთი გზა, რომელიც 6-ჯერ გამოყენების შემდეგ 180-ით მოაბრუნებს, არის 1806=30-ით მობრუნება. შესაბამისად, ერთი რიცხვი, რომელიც z6=27 განტოლებას ხსნის, არის
3(cos(30)+isin(30))=3(32+i12)=32+i32
თუმცა სხვა ამონახსნებიც არსებობს! სინამდვილეში, ეს ამონახსნები წესიერ ექვსკუთხედს ქმნის წრეზე, რომლის რადიუსი არის 3:
ხედავთ, რატომ?

zn=w-ის ზოგადი ამოხსნა

მოდით, ბოლო ორი მაგალითი განვაზოგადოთ. თუ მოცემული გაქვთ w-ისა და n-ის მნიშვნელობები და გთხოვენ z-ის პოვნას, როგორც წინა მაგალითში, სადაც n=6 და w=27, ჯერ w-ს პოლარულ ფორმას პოულობთ:
w=r(cos(θ)+isin(θ))
ეს ნიშნავს, რომ z-ის არგუმენტი უნდა იყოს θn, მისი მოდული კი — Arn, რადგან ამ შემთხვევაში ზედიზედ n-ჯერ z-ზე გამრავლება გამოიწვევს θ-ით მობრუნებას და r-ზე გამრავლებას, როგორც ამას w აკეთებს. ასე რომ,
z=Arn(cos(θn)+isin(θn))
სხვა პასუხები რომ ვიპოვოთ, ვითვალისწინებთ, რომ θ კუთხე შეგვიძლია, წარმოვიდგინოთ, როგორც θ+2π, θ+4π ან θ+2kπ ნებისმიერი მთელი k რიცხვისათვის, რადგან ისინი სინამდვილეში ერთი და იგივე კუთხეებია. ამას მნიშვნელობა იმის გამო აქვს, რომ თუ θ–ს გაყოფამდე შევცვლით θ+2πk–ით, θn–იც შეიცვლება. მაშასადამე, ყველა ამონახსნი იქნება შემდეგი ფორმის
z=Arn(cos(θ+2kπn)+isin(θ+2kπn))
k-ის ზოგიერთი მთელი მნიშვნელობისთვის. ეს მნიშვნელობები განსხვავებული იქნება, რადგან k იცვლება 0–დან n1–მდე, მაგრამ როცა k=n, შეგვიძლია, მივუთითოთ, რომ θ+2nπn=θn+2π არის იგივე θn, რადგან ისინი ერთი სრული მობრუნებით განსხვავდებიან. ასე რომ, ყველა პასუხს ვხედავთ k–ს 0–დან n1–მდე მნიშვნელობების განხილვით.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.