ძირითადი მასალა

პრეკალკულუსი

კურსი: პრეკალკულუსი > თემა 5

გაკვეთილი 10: პოლარული ფორმის კომპლექსური რიცხვების გამრავლება და გაყოფა

კომპლექსური რიცხვების ხარისხების ვიზუალიზაცია

გაიგეთ, როგორ იქცევიან კომპლექსური რიცხვების ხარისხები, როცა მათ გრაფიკულ ეფექტს კომპლექსურ სიბრტყეზე უყურებთ.

კავშირი $i^{2} = - 1$ ‍-სა და $i$ ‍-ს მდებარეობას შორის

კომპლექსური რიცხვების სწავლა დავიწყეთ

i

რიცხვის შექმნით, რომელიც

i^{2} = - 1

ტოლობას აკმაყოფილებს და შემდეგ იგი გამოვსახეთ რიცხვითი ღერძის მიღმა

0

-ზე ერთი ერთეულით ზემოთ განთავსებით. წინა სტატიაში შემოთავაზებული ვიზუალური გამოსახულებებით ვხედავთ, თუ რატომ არის ეს წერტილი ასეთი ბუნებრივი მდებარეობა რიცხვისათვის, რომლის კვადრატი არის

- 1

დიახ,

i

–ზე გამრავლება გვაძლევს სათავის მიმართ

90^{\circ}

–ით მობრუნებას:

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

ამის მიზეზად შეგიძლიათ, ჩათვალოთ ის, რომ

i

-ის მოდული არის

1

და არგუმენტი -

90^{\circ}

, ან ის, რომ ეს მობრუნება საკოორდინატო სიბრტყის გადაადგილების (

0

-ის უცვლელად) ერთადერთი გზაა, რომელსაც

1

იქ გადაჰყავს, სადაც თავიდან

i

იყო.

ასე რომ, რა მოხდება, თუ სიბრტყეზე ყველაფერს

i

–ზე გავამრავლებთ ორჯერ?

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

ეს იგივე სათავის მიმართ

180^{\circ}

–ით მობრუნებაა, რაც არის

- 1

–ზე გამრავლება. რა თქმა უნდა, ეს ლოგიკურია, რადგან

i

–ზე ორჯერ გამრავლება იგივე

i^{2}

–ზე გამრავლებაა, რაც

- 1

უნდა იყოს.

საინტერესოა იმაზე ფიქრი, რომ

i

სადმე სხვაგან რომ მოგვეთავსებინა, ხოლო მისი

i^{2} = - 1

თვისება შეგვენარჩუნებინა, კომპლექსური გამრავლების ასეთ სუფთა ვიზუალურ გამოსახვას ვერ შევძლებდით.

კომპლექსური რიცხვების ხარისხები

მოდით, მეტი ვიმუშაოთ რაღაც კომპლექსურ რიცხვზე განმეორებით გამრავლებებზე.

1–ლი მაგალითი: $(1 + i \sqrt{3})^{3}$ ‍

აიღეთ რიცხვი

z = 1 + i \sqrt{3}

, რომლის მოდული არის

\sqrt{1^{2} + (\sqrt{3})^{2}} = 2

და კუთხე -

60^{\circ}

. რა მოხდება, თუ სიბრტყეზე ყველაფერს

z

-ზე გავამრავლებთ ზედიზედ სამჯერ?

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

ყველაფერი გაწელილია

2

–ჯერ ზედიზედ სამჯერ, ასე რომ, საბოლოო ჯამში ყველაფერი გაწელილია

2^{3} = 8

–ჯერ. ამის მსგავსად ყველაფერი ზედიზედ სამჯერაა მობრუნებული

60^{\circ}

–ით, ასე რომ, საბოლოო ჯამში მობრუნებულია

180^{\circ}

–ით. მაშასადამე, საბოლოო ჯამში, ეს იგივე

- 8

–ზე გამრავლებაა, ასე რომ,

(1 + i \sqrt{3})^{3} = - 8

ამის ნახვა ალგებრულადაც შეგვიძლია შემდეგნაირად:

\begin{aligned} {(2 (\cos (60^{\circ}) + i \sin (60^{\circ})))}^{3} \\ = 2^{3} (\cos (60^{\circ} + 60^{\circ} + 60^{\circ}) + i \sin (60^{\circ} + 60^{\circ} + 60^{\circ}) \\ = 8 (\cos (180^{\circ}) + i \sin (180^{\circ})) \\ = - 8 \end{aligned}

მე–2 მაგალითი: $(1 + i)^{8}$ ‍

შემდეგ დავუშვათ, რომ სიბრტყეზე ყველაფერს

(1 + i)

–ზე ზედიზედ რვაჯერ ვამრავლებთ:

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

რადგან

1 + i

–ის მოდული არის

| 1 + i | = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}

ყველაფერი

\sqrt{2}

–ჯერაა გაწელილი ზედიზედ სამჯერ, მაშასადამე, საბოლოო ჯამში გაწელილია

(\sqrt{2})^{8} = 2^{4} = 16

–ჯერ.

რადგან

(1 + i)

–ის კუთხე არის

45^{\circ}

, ყველაფერი ჯამში

8 \cdot 45^{\circ} = 360^{\circ}

–ითაა მობრუნებული, ასე რომ, ჯამში თითქოს არც მობრუნებულა. შესაბამისად,

(1 + i)^{8} = 16

ამის ალგებრულად დანახვა შეგვიძლია შემდეგნაირად

\begin{aligned} (1 + i)^{8} \\ = {(\sqrt{2} \cdot (\cos (45^{\circ}) + i \sin (45^{\circ}))}^{8} \\ = (\sqrt{2})^{8} \cdot (\cos (\underset{8 -ჯერ}{\underset{⏟}{45^{\circ} + \dots + 45^{\circ}}}) + i \sin (\underset{8 -ჯერ}{\underset{⏟}{45^{\circ} + \dots + 45^{\circ}}})) \\ = 16 (\cos (360^{\circ}) + i \sin (360^{\circ})) \\ = 16 \end{aligned}

მე–3 მაგალითი: $z^{5} = 1$ ‍

ახლა მოდით, შებრუნებული კითხვის დასმა დავიწყოთ: არის ისეთი

z

რიცხვი, რომლისთვისაც თუ სიბრტყეზე ყველაფერს ზედიზედ ხუთჯერ გავამრავლებთ

z

–ზე, ყველაფერი საწყის ეტაპს დაუბრუნდება? სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შეგვიძლია,

z^{5} = 1

განტოლება ამოვხსნათ? ერთი მატრივი პასუხია

z = 1

, მაგრამ ვნახოთ, სხვა პასუხების პოვნასაც თუ შევძლებთ.

პირველ რიგში, ასეთი რიცხვის მოდული

1

უნდა იყოს, რადგან თუ იგი

1

ზე მეტი იქნება, სიბრტყეზე ყველაფერი გაწელვას განაგრძობს და თუ

1

–ზე ნაკლები – შეკუმშვას. თუმცა მობრუნება ცოტა განსხვავებული რამ არის, რადგან საწყის ეტაპს შეგიძლიათ, დაუბრუნდეთ კონკრეტული რაოდენობის მობრუნების გამეორების შემდეგ. კონკრეტულად, თუ გზის

\frac{1}{5}

–ს მოაბრუნებთ ასე

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

მაშინ ამის ზედიზედ

5

–ჯერ გაკეთება საწყის პოზიციაზე დაგაბრუნებთ.

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

რიცხვი, რომელიც სიბრტყეს ასე აბრუნებს, არის

\cos (72^{\circ}) + i \sin (72^{\circ})

, რადგან

\frac{360^{\circ}}{5} = 72^{\circ}

სხვა ამონახსნებიც არსებობს, როგორიცაა

\frac{2}{5}

–ით საპირისპირო მხარეს მობრუნება:

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

ან

\frac{1}{5}

-ით საპირისპირო მხარეს მობრუნება:

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

სინამდვილეში, რიცხვები, რომლებიც განტოლებას ხსნიან, ერთეულოვან წრეზე ლამაზად ქმნიან წესიერ ხუთკუთხედს:

მე–4 მაგალითი: $z^{6} = - 27$ ‍

z^{6} = - 27

განტოლების მიხედვით გვთხოვენ, ვიპოვოთ ისეთი კომპლექსური

z

რიცხვი, რომელზეც ზედიზედ

6

-ჯერ გამრავლება გაწელავს $27$ ‍-ჯერ და მოაბრუნებს $180^{\circ}$ ‍-ით, რადგან უარყოფითობა ნიშნავს

180^{\circ}

-ით მობრუნებას.

ისეთი რაღაცის, რომელიც

6

-ჯერ ზედიზედ გამოყენებისას გაწელავს

27

-ჯერ, მოდული უნდა იყოს

\sqrt[6]{27} = \sqrt{3}

და მობრუნების ერთი გზა, რომელიც

6

-ჯერ გამოყენების შემდეგ

180^{\circ}

-ით მოაბრუნებს, არის

\frac{180^{\circ}}{6} = 30^{\circ}

-ით მობრუნება. შესაბამისად, ერთი რიცხვი, რომელიც

z^{6} = - 27

განტოლებას ხსნის, არის

\begin{aligned} \sqrt{3} (\cos (30^{\circ}) + i \sin (30^{\circ})) & = \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}) \\ = \frac{3}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}

თუმცა სხვა ამონახსნებიც არსებობს! სინამდვილეში, ეს ამონახსნები წესიერ ექვსკუთხედს ქმნის წრეზე, რომლის რადიუსი არის

\sqrt{3}

ხედავთ, რატომ?

$z^{n} = w$ ‍-ის ზოგადი ამოხსნა

მოდით, ბოლო ორი მაგალითი განვაზოგადოთ. თუ მოცემული გაქვთ

w

-ისა და

n

-ის მნიშვნელობები და გთხოვენ

z

-ის პოვნას, როგორც წინა მაგალითში, სადაც

n = 6

და

w = - 27

, ჯერ

w

-ს პოლარულ ფორმას პოულობთ:

w = r (\cos (θ) + i \sin (θ))

ეს ნიშნავს, რომ

z

-ის არგუმენტი უნდა იყოს

\frac{θ}{n}

, მისი მოდული კი —

\sqrt[n]{r}

, რადგან ამ შემთხვევაში ზედიზედ

n

-ჯერ

z

-ზე გამრავლება გამოიწვევს

θ

-ით მობრუნებას და

r

-ზე გამრავლებას, როგორც ამას

w

აკეთებს. ასე რომ,

z = \sqrt[n]{r} \cdot (\cos (\frac{θ}{n}) + i \sin (\frac{θ}{n}))

სხვა პასუხები რომ ვიპოვოთ, ვითვალისწინებთ, რომ

θ

კუთხე შეგვიძლია, წარმოვიდგინოთ, როგორც

θ + 2 π

θ + 4 π

ან

θ + 2 k π

ნებისმიერი მთელი

k

რიცხვისათვის, რადგან ისინი სინამდვილეში ერთი და იგივე კუთხეებია. ამას მნიშვნელობა იმის გამო აქვს, რომ თუ

θ

–ს გაყოფამდე შევცვლით

θ + 2 π k

–ით,

\frac{θ}{n}

–იც შეიცვლება. მაშასადამე, ყველა ამონახსნი იქნება შემდეგი ფორმის

z = \sqrt[n]{r} \cdot (\cos (\frac{θ + 2 k π}{n}) + i \sin (\frac{θ + 2 k π}{n}))

k

-ის ზოგიერთი მთელი მნიშვნელობისთვის. ეს მნიშვნელობები განსხვავებული იქნება, რადგან

k

იცვლება

0

–დან

n - 1

–მდე, მაგრამ როცა

k = n

, შეგვიძლია, მივუთითოთ, რომ

\frac{θ + 2 n π}{n} = \frac{θ}{n} + 2 π

არის იგივე

\frac{θ}{n}

, რადგან ისინი ერთი სრული მობრუნებით განსხვავდებიან. ასე რომ, ყველა პასუხს ვხედავთ

k

–ს

0

–დან

n - 1

–მდე მნიშვნელობების განხილვით.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

პრეკალკულუსი

კურსი: პრეკალკულუსი > თემა 5

კავშირი i2=−1‍ -სა და i‍ -ს მდებარეობას შორის

კომპლექსური რიცხვების ხარისხები

1–ლი მაგალითი: (1+i3)3‍

მე–2 მაგალითი: (1+i)8‍

მე–3 მაგალითი: z5=1‍

მე–4 მაგალითი: z6=−27‍

zn=w‍ -ის ზოგადი ამოხსნა

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

კავშირი $i^{2} = - 1$ ‍-სა და $i$ ‍-ს მდებარეობას შორის

1–ლი მაგალითი: $(1 + i \sqrt{3})^{3}$ ‍

მე–2 მაგალითი: $(1 + i)^{8}$ ‍

მე–3 მაგალითი: $z^{5} = 1$ ‍

მე–4 მაგალითი: $z^{6} = - 27$ ‍

$z^{n} = w$ ‍-ის ზოგადი ამოხსნა