ძირითადი მასალა

კურსი: პრეკალკულუსი > თემა 5

გაკვეთილი 8: აბსოლუტური მნიშვნელობა და კომპლექსური რიცხვების არგუმენტი

კომპლექსური რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობისა და არგუმენტის გახსენება

განაახლეთ თქვენი ცოდნა კომპლექსური რიცხვების მახასიათებლების შესახებ: მოდული და კუთხე. გადაიყვანეთ რიცხვები ამ ფორმიდან ალგებრულ ფორმაში და პირიქით.


$a + b i$ ‍-ის აბსოლუტური მნიშვნელობა
$∣ z ∣= \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ‍
$a + b i$ ‍-ის კუთხე
$θ = \tan^{- 1} (\frac{b}{a})$ ‍
მართკუთხა ფორმა $r$ ‍-ის აბსოლუტური მნიშვნელობასა და $θ$ ‍-კუთხიდან
$r \cos θ + r \sin θ i$ ‍

რა არის კომპლექსური რიცხვების მოდული და არგუმენტი?

ჩვენ მიჩვეული ვართ კომპლექსური რიცხვების ალგებრული ფორმით ჩაწერას, რომელიც გვაძლევს მათ

ნამდვილ

და

წარმოსახვით

ნაწილებს. მაგალითად:

3 + 4 i

რიცხვები კომპლექსურ სიბრტყეზე შეგვიძლია, გამოვსახოთ მათი ნაწილების მიხედვით:

გრაფიკულად განხილვისას კომპლექსური რიცხვების აღწერის სხვა უნიკალური მეთოდიც არსებობს — მათი

მოდული

და

არგუმენტი

აბოსლუტური მნიშვნელობა

, იგივე

მოდული

, გვაძლევს კომპლექსურ სიბრტყეზე სათავიდან რიხვამდე მანძილს, ხოლო მისი

კუთხე

, იგივე

არგუმენტი

, არის კუთხე, რომელსაც რიცხვი დადებით ნამდვილ ღერძთან ადგენს.

z

კომპლექსური რიცხვის მოდული იგივენაირად იწერება, როგორც ნამდვილი რიცხვის მოდული -

| z |

გინდათ, მეტი ისწავლოთ კომპლექსური რიცხვების მოდულისა და არგუმენტის შესახებ? ნახეთ ეს ვიდეო.

სავარჯიშოების ჩამონათვალი 1: მოდულის პოვნა

კომპლექსური რიცხვის მოდული რომ ვიპოვოთ, მისი ნაწილების კვადრატების ჯამებიდან ფესვს ვიღებთ (ეს პირდაპირ გამომდინარეობს პითაგორას თეორემიდან):

| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

მაგალითად,

3 + 4 i

-ის მოდული არის

\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5

ამოცანა 1,1

| 3 + 7 i | =

ჩაწერეთ ზუსტი პასუხი.

გინდათ, მეტი ასეთი ამოცანა სცადოთ? ნახეთ ეს სავარჯიშო.

სავარჯიშოების ჩამონათვალი 2: არგუმენტის პოვნა

კომპლექსური რიცხვის არგუმენტი რომ ვიპოვოთ, ვიღებთ მისი ნაწილების შეფარდების შებრუნებულ ტანგენსს:

θ = \tan^{- 1} (\frac{b}{a})

ეს შედეგი მიიღება, როცა მართკუთხა სამკუთხედში, რომელიც რიცხვისა და ნამდვილი ღერძისგან იგება, ტრიგონომეტრიის წესებს ვიყენებთ.

1–ლი მაგალითი: $I$ ‍ მეოთხედი

მოდით, ვიპოვოთ

3 + 4 i

–ის კუთხე:

\tan^{- 1} (\frac{4}{3}) \approx 53^{\circ}

მე–2 მაგალითი: $II$ ‍ მეოთხედი

მოდით, ვიპოვოთ

- 3 + 4 i

–ის კუთხე. პირველ რიგში ყურადღება მიაქციეთ, რომ

- 3 + 4 i

არის

II

მეოთხედში.

\tan^{- 1} (\frac{4}{- 3}) \approx - 53^{\circ}

- 53^{\circ}

არის

IV

მეოთხედში და არა –

II

–ში. საპირისპირო ნიშნის მისაღებად

180^{\circ}

უნდა დავუმატოთ:

- 53^{\circ} + 180^{\circ} = 127^{\circ}

ამოცანა 2,1

z = 1 + 4 i

θ =

^{\circ}

თუ საჭიროა, პასუხი დაამრგვალეთ მეათედებამდე. $θ$ ‍ გამოსახეთ $- 180^{\circ}$ ‍–სა და $180^{\circ}$ ‍–ს შორის კუთხით.

გინდათ, მეტი ასეთი ამოცანა სცადოთ? ნახეთ ეს სავარჯიშო.

სავარჯიშოების ჩამონათვალი 3: ალგებრული ფორმა მოდულისა და არგუმენტისგან

კომპლექსური რიცხვის მოდულისა და არგუმენტის მიხედვით ნამდვილი და წარმოსახვითი ნაწილები რომ ვიპოვოთ, მოდულს ვამრავლებთ არგუმენტის სინუსზე ან კოსინუსზე:

მაგალითად, ეს არის იმ კომპლექსური რიცხვის ალგებრული ფორმა, რომლის მოდულია

2

და არგუმენტი -

30^{\circ}

2 \cos (30^{\circ}) + 2 \sin (30^{\circ}) i = \sqrt{3} + 1 i

ამოცანა 3,1

| z_{1} | = 3

და

θ_{1} = 20^{\circ}

z_{1} =

i

პასუხები მეასედებამდე დაამრგვალეთ.

გინდათ, მეტი ასეთი ამოცანა სცადოთ? ნახეთ ეს სავარჯიშო.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

პრეკალკულუსი

კურსი: პრეკალკულუსი > თემა 5

რა არის კომპლექსური რიცხვების მოდული და არგუმენტი?

სავარჯიშოების ჩამონათვალი 1: მოდულის პოვნა

სავარჯიშოების ჩამონათვალი 2: არგუმენტის პოვნა

1–ლი მაგალითი: I‍ მეოთხედი

მე–2 მაგალითი: II‍ მეოთხედი

სავარჯიშოების ჩამონათვალი 3: ალგებრული ფორმა მოდულისა და არგუმენტისგან

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

1–ლი მაგალითი: $I$ ‍ მეოთხედი

მე–2 მაგალითი: $II$ ‍ მეოთხედი