ირაციონალური და რაციონალური რიცხვები: შესავალი

ვისაუბროთ რაციონალურ რიცხვებზე. მარტივი გზა მოსაფიქრებლად არის, ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც შეიძლება წარმოვიდგინოთ ორი მთელი რიცხვის შეფარდებად არის რაციონალური რიცხვი. მაგალითად, ნებისმიერი მთელი რიცხვი არის რაციონალური რიცხვი. ერთი შეიძლება წარმოვიდინოთ, როგორც 1/1 ან მინუს ორი შეფარდებული მინუს ორთან. ან 10000/10000. ესენი განსხვავებული სახეებია ორი მთელი რიცხვით რიცხვი ერთის წარმოდგენის. და აშკარაა, რომ მაქვს უსასრულო რაოდენობა ერთის ამდაგვარად გამოსახვის, რიცხვის იგივე რიცხვზე შეფარდებით. რიცხვი უარყოფითი შვიდი შეიძლება წარმოვაჩინოთ, როგორც უარყოფითი 7/1, ან შვიდი შეფარდებული უარყოფით ერთთან, ან უარყოფითი 14 გაყოფილი ორზე. და შემიძლია ასე გავნაგრძო უსასრულოდ. უარყოფითი შვიდი აშკარად რაციონალური რიცხვია. ის შეიძლება წარმოვაგინოთ, როგორც ორი მთელი რიცხვის შეფარდება. და რა იქნება, როცა რიცხვები არაა მთელი. მაგალითად, წარმოვიდგინოთ-- ოჰ, არ ვიცი-- 3.75. როგორ წარმოვადგინოთ ეს ორი მთელი რიცხვის შეფარდების სახით? 3.75, შეგიძლიათ დაწეროთ, როგორც 375/100, რაც იგივე 750/200-ია. ან შეგიძლიათ თქვათ, 3.75 იგივე სამი მთელი 3/4-ია-- მოდით აქ ჩავწერ-- ეს იგივეა, რაც-- ეს 15/4. ოთხჯერ სამი 12-ია, დამატებული სამი 15, შეგიძლიათ ჩაწეროთ. ეს იგივე 15/4-ია. შეგვეძლო ჩაგვეწერა, როგორც უარყოფითი 30 შეფარდებული უარყოფით რვაზე. უბრალოდ გავამრავლო მრიცხველის და მნიშვნელიც უარყოფით ორზე. უფრო ნათელი რომ იყოს მისი რაციონალურობა. რამდენიმე მაგალითს გეტყვით თუ როგორ შეიძლება წარმოვადგინოთ ორი მთელი რიცხვის შეფარდებად. და რა იქნება უსასრულო ათწილადებზე? მოდით ყველა ცნობილი უსასრულო ათწილადი ავიღოთ. ვთქვათ გვაქვს 0.333 და ასე გრძელდება უსასრულოდ, რაც შეგვიძლია მივუთითოთ პატარა ხაზით სამის თავზე. 0.3 მეორდება. და დავინახეთ-- მოგვიანებით განახებთ როგორ გადააქციოთ ნებისმიერი უსასრულო ათწილადი ორი მთელი რიცხვის შეფარდებად-- აშკარად 1/3-ია. ან იქნებ გინახავთ 0.6-ის განმეორება, რაც 2/3-ია. და კიდევ ბევრი, ბევრი, ბევრი მაგალითია ამისა. და ნებისმიერ უსასრულო ათწილადზე, არა მხოლოდ ერთი ციფრის განმეორებით. მილიონი ციფრიც რომ მეორდებოდეს. როცა იწყება განმეორება ყოველთვის შეგიძლიათ წარმოადგინოთ ორი მთელი რიცხვის შეფარდებად. ვიცი ალბათ რასაც ფიქრობთ. ჰეი, სალ, ბევრი ჩათვალე. ყველა მთელი რიცხვი ჩათვალე. ყველა, სასრული, არა განმეორებადი ათწილადი, და უსასრულო ათწილადებიც. რა დარჩა? არის რიცხვები, რომლებიც არ არის რაციონალური? ალბათ ხვდებით, რომ არის. მაშინ ხალხი რაციონალური რიცხვების გასარჩევად აღარ იწვალებდა. აღმოჩნდა-- როგორც წარმოგედგინათ-- რომ რამდენიმე ცნობილი რიცხვი არ არის რაციონალური. და ამ რიცხვებს ვეძახით ირაციონალურს. და მე ძალიან ცოტა მათგანი ჩამოვთვალე, მხოლოდ ღირებული მაგალითები პი-- წრეწირის სიგრძის შეფარდება დიამეტრთან-- ირაციონალური რიცხვია. ის არასდროს მთავრდება. და ასე მიდის უსასრულოდ და არასდროს მეორდება. e, იგივე-- არასდროს მთავრდება და არც მეორდება. ასე გრძელდება მუდმივად. და ვარდება კომპლექსური ანალიზიდან. e ვლინდება კვადრატული ფესვი ორიდან, ირაციონალური რიცხვი. ფი, ოქროს შეფარდება, ირაციონალური რიცხვი. ეს ისეთი მაგალითებია, რომლებიც ხშირად გვხვდება ბუნებაში, ბევრი რიცხვთაგანი ირაციონალურია. ახლა იტყვით, ესენი ირაციონალურია? ესენი უბრალოდ განსაკუთრებული რიცხვბია. მაგრამ იქნებ უმეტესობა რიცხვებისა რაციონალურია? და სალმა ამოარჩია განსაკუთრებული შემთხვევები. მნიშვნელოვანია გაიაზროთ, რომ ეს რიცხვები ეგზოტიკური არაა, ისინი უცხო, მხოლოდ განსაკუთრებულ შემთხვევაშია. მაგრამ იშვიათად არ გვხვდება. აღმოჩნდება, რომ ყოველთვის არის ირაციონალური რიცხვი ორ რაციონალურს შორის. და შეგვიძლია გავაგრძელოთ და გავაგრძელოთ. უსასრულო რაოდენობაა ამ რიცხვებისა. მაგრამ იმას მაინც ვერ იტყვით, რომ ირაციონალური რიცხვები რაციონალურზე ცოტაა. მომავალ ვიდეოში, დავამტკიცებ, თქვენ ორ რაციონალურ რიცხვს მომცემთ-- რაციონალური ერთი, რაციონალური ორი-- მათ შორის ერთი ირაციიონალური მაინც იქნება, რაც მკაფიო შედეგია, რადგან ირაციონალური რიცხვები უფრო ეგზოტიკურია. მეორე გზა ამაზე საფიქრალად-- ამოვიღე კვადრატული ფესვი ორიდან, თუმცა კვადრატული ფესვის ამოღება ნებისმიერი არაიდეალური კვადრატიდან შეგიძლიათ, მიიღებთ ირაციონალურ რიცხვს. იღებ ირაციონალურის და რაციონალური რიცხვის ჯამს-- და ამას მოგვიანებით ვნახავთ. დავუმტკიცებთ საკუთარ თავებს ირაციონალური და რაციონალური რიცხვის ჯამი იქნება ირაციონალური. ირაციონალურის და რაციონალურის შედეგი იქნება რაციონალური. ესეიგი, ძალიან, ძალიან ძალიან ბევრი ირაციონალური რიცხვი გვაქვს.