ძირითადი მასალა

მრავალცვლადიანი კალკულუსი

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 2

გაკვეთილი 11: დივერგენცია და როტორი (სტატიები)

ინტუიცია განშლადობის ფორმულისთვის

Google–ის საკლასო ოთახი

რა შუაშია რამდენიმე კერძო წარმოებულის ჯამი შიგნიდან გარე მიმართულებით დინებასთან?

ფონი

განშლადობა

ინტუიცია განშლადობის ფორმულის უკან

მოდით, ორგანომილებიანი ვექტორული ველების შესახებ ჩვენ წარმოდგენა ჩარჩოებში მოვაქციოთ,

$\vec{v} (x, y) = [\begin{matrix} v_{1} (x, y) \\ v_{2} (x, y) \end{matrix}]$ ‍

გახსოვდეთ, განშლადობის ფორმულა შემდეგნაირად გამოიყურება:

$\nabla \cdot \vec{v} = \frac{\partial v_{1}}{\partial x} + \frac{\partial v_{2}}{\partial y}$ ‍

ამას რა კავშირი აქვს იმ სითხის სიმკვრივესთან, რომელიც მიედინება

\vec{v} (x, y)

-ს მიხედვით?

მოდით, თითოეულ კომპონენტს დამოუკიდებლად შევხედოთ.

მაგალითად, დავუშვათ, რომ

v_{1} (x_{0}, y_{0}) = 0

, რაც იმას ნიშნავს, რომ

(x_{0}, y_{0})

-ზე მოთავსებულ ვექტორს არ აქვს ჰორიზონტალური კომპონენტი. ასევე დავუშვათ, რომ

\frac{\partial v_{1}}{\partial x} (x_{0}, y_{0})

აღმოჩნდა დადებითი. ეს იმას ნიშნავს, რომ

(x_{0}, y_{0})

წერტილთან ახლოს ვექტორული ველი შეიძლება, დაახლოებით ასე გამოიყურებოდეს.

$v_{1} (x, y_{0})$ ‍-ის მნიშნველობა იზრდება $x$ ‍-ის ზრდათან ერთად.
$v_{1} (x, y_{0})$ ‍-ის მნიშვნელობა მცირდება $x$ ‍-ის შემცირებასთან ერთად.

შესაბამისად,

(x_{0}, y_{0})

-ის მარცხნივ მდებარე ვექტორები მიმართული იქნება მარცხნივ და

(x_{0}, y_{0})

-ის მარჯვნივ მდებარე ვექტორები მიმართული იქნება მარჯვნივ (ნახეთ ზემოთ მოცემული დიაგრამა). ეს გვეუბნება სითხის გარეთ გადინებას, ყოველ შემთხვევაში,

x

კომპონენტის გათვალისწინებით.

საპირისპიროდ ნახეთ, როგორ გამოიყურება ეს, თუ

\frac{\partial v_{1}}{\partial x} (x_{0}, y_{0})

უარყოფითია:

$(x_{0}, y_{0})$ ‍-ის მარცხნივ მდებარე ვექტორები მიმართული იქნება მარჯვნივ.
$(x_{0}, y_{0})$ ‍-ის მარჯვნივ მდებარე ვექტორები მიმართული იქნება მარცხნივ.

ეს

x

კომპონენტის მიხედვით მიუთითებს სითხის შედინებაზე.

იგივე ინტუიცია გვადგება, როცა

v_{1} (x_{0}, y_{0})

ნულისგან განსხვავებულია. მაგალითად, თუ

v_{1} (x_{0}, y_{0})

დადებითია და

\frac{\partial v_{1}}{\partial x} (x_{0}, y_{0})

-იც დადებითია, ეს ნიშნავს, რონ

(x_{0}, y_{0})

-ის ირგვლივ ყველა ვექტორი მარჯვნივაა მიმართული, მაგრამ ისინი იზრდება მარცხნიდან მარჯვნივ. შეგიძლიათ, წარმოიდგინოთ, რომ სითხე ნელა მიედინება

(x_{0}, y_{0})

-ისკენ მარცხნიდან, მაგრამ სწარაფად გაედინება მისგან მარჯვნივ. რადგან უფრო მეტი გადის, ვიდრე შემოდის, ამ წერტილზე სიმკვრივე მცირდება.

\frac{\partial v_{2}}{\partial y}

მნიშვნელობის გაანალიზება მსგავსია. იგი უჩვენებს ცვლილებას ვექტორების ვერტიკალურ კომპონენტში,

v_{2}

-ში, როცა იგი ვექტორულ ველში მოძრაობს ზევით და ქვევით და ცვლის

y

-ს.

მაგალითად, დავუშვათ, რომ

v_{2} (x_{0}, y_{0}) = 0

, რაც იმას ნიშნავს, რომ

(x_{0}, y_{0})

-ზე მოთავსებულ ვექტორს არ აქვს ვერტიკალური კომპონენტი. ასევე დავუშვათ, რომ

\frac{\partial v_{2}}{\partial y} (x_{0}, y_{0})

დადებითია, რაც იმას ნიშნავს, რომ ზევით მოძრაობისას ვექტორების ვერტიკალური კომპონენტი იზრდება.

აი, ეს როგორ შეიძლება, გამოიყურებოდეს:

$(x_{0}, y_{0})$ ‍-ის ქვევით ვექტორები მიმართული იქნება ოდნავ ქვემოთ.
$(x_{0}, y_{0})$ ‍-ის ზევით ვექტორები - ოდნავ ზემოთ

ეს მიუთითებს გადინებას, როცა

y

მიმართულება განიხილება.

ამის მსგავსად, თუ

\frac{\partial v_{2}}{\partial y} (x_{0}, y_{0})

უარყოფითია, ეს მიუთითებს შედინებას

(x_{0}, y_{0})

-სთან ახლოს, როცა

y

მიმართულება განიხილება.

დივერგენცია ამ ორ ზემოქმედებას აჯამებს

ორი კომპონენტის,

\frac{\partial v_{1}}{\partial x}

-ისა და

\frac{\partial v_{2}}{\partial y}

-ის შეკრება აერთიანებს

x

და

y

მიმართულებების ცალკეულ ზემოქმედებებს, რათა განსაზღვროს, წერტილთან ახლოს სითხის სიმკვრივე იზრდება თუ მცირდება.

\nabla \cdot \vec{v} = \overset{\begin{matrix} სიმკვრივის ცვლილება \\ x მიმართულებაში \end{matrix}}{\overset{⏞}{\frac{\partial v_{1}}{\partial x}}} + \underset{\begin{matrix} სიმკვრივის ცვლილება \\ y მიმართულებაში \end{matrix}}{\underset{⏟}{\frac{\partial v_{2}}{\partial y}}}

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.