ძირითადი მასალა

მრავალცვლადიანი კალკულუსი

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 2

გაკვეთილი 11: დივერგენცია და როტორი (სტატიები)

დივერგენცია

Google–ის საკლასო ოთახი

განშლადობა ზომავს ცვლილებას სითხის სიმკვრივეში, რომელიც მოედინება მოცემული ვექტორული ველის მიხედვით.

პრერეკვიზიტი

რის აგებას ვცდილობთ

ვექტორული ველი ინტეპრეტირებით წარმოადგინეთ სითხის დინებად.
დივერგენცია არის ოპერატორი, რომელიც არგუმენტად იღებს ვექტორული ველის განმსაზღვრელ ვექტორულ ფუნქციას, ხოლო მნიშნელობად აბრუნებს სკალარულ ფუნქციას, რომელიც თითოეულ წერტილში ზომავს სითხის სიმკვრივის ცვლილებას.
ეს არის განშლადობის ფორმულა
$\begin{array}{r} div \vec{v} = \nabla \cdot \vec{v} = \frac{\partial v_{1}}{\partial x} + \frac{\partial v_{2}}{\partial y} + \dots \end{array}$ ‍
აქ $v_{1}$ ‍, $v_{2}$ ‍, $\dots$ ‍ არის $\vec{v}$ ‍-ის კომპონენტი ფუნქციები.

ცვალებადი სიმკვრივე სითხის დინებაში

გადახედეთ შემდეგ ვექტორულ ველს:

[რას ნიშნავს ვექტორული ველის ფერებით დაშიფრვა?]

ასე რომ, ეს არის სურათი, მაგრამ რა არის ფუნქცია?

$\vec{v} (x, y) = [\begin{matrix} 2 x - y \\ y^{2} \end{matrix}]$ ‍

\vec{v}

-ის არგუმენტები არის წერტილები ორგანზომილებიან სივრცეში,

(x, y)

, ხოლო მნიშვნელობები არის ორგანზომილებიანი ვექტორები, რომლებიც ვექტორულ ველში მიბმულია შესაბამის

(x, y)

წერტილებზე.

ვექტორულ ველებზე ფიქრის ძალიან კარგი გზა არის ისეთი სითხის დინების წარმოდგენა, რომელსაც ისინი შეიძლება აღწერდნენ. კონკრეტულად, თითოეული

(x, y)

წერტილისთვის ორგანზომილებიან სივრცეში წარმოიდგინეთ ნაწილაკი, რომელიც ზის ამ

(x, y)

წერტილში და მიცურავს ამ წერტილზე მიბმული ვექტორის მიმართულებით,

\vec{v} (x, y)

. უფრო მეტიც, დაუშვით, რომ ნაწილაკის სიჩქარე განისაზღვრება ამ ვექტორის სიგრძით. შემდეგი ანიმაცია გვიჩვენებს, თუ როგორ გამოიყურება ეს ჩვენი

\vec{v}

ფუნქციისთვის:

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

შევნიშნოთ, რომ სითხის ამ დინებისას ზოგიერთი რეგიონში წერტილები უფრო და უფრო ნაკლებად მკვრივი ხდება, ეს ხდება, როცა სითხე ამ რეგიონიდან გარეთ გაედინება, როგორც ზედა შუა ნაწილში. მეორე მხრივ, ამ რეგიონის დაბლა და მარცხნოვ ნაწილაკები ერთმანეთისკენ მიდიან და წერტილები უფრო და უფრო მკვრივდება.

საკვანძო შეკითხვა: მოცემული

\vec{v} (x, y)

ვექტორული ფუნქციისთვის, როგორ შეგვიძლია ნაწილაკების სიმკვრივის ცვლილების გაზომვა

(x, y)

წერტილის გარშემო, როცა ეს ნაწილაკები ცურავენ

\vec{v} (x, y)

-ით მოცემული ვექტორების გასწვრივ?

ჩვენ ამ შეკითხვაზე პასუხის გაცემა წარმოებულის ვარიაციით, დივერგენციით, შეგვიძლია. ჩვენ ქვემოთ უფრო მეტს ვილაპარაკებთ სითხის დინებაზე, თუმცა ჯერ მოდით, ჩამოვაყალიბოთ ამ კონცეფციის აღნიშვნა და ფორმულა.

ჩანაწერი და ფორმულა დივერგენციისთვის

დივერგენციის აღნიშვნაც არის "

\nabla

", რომელსაც თქვენ იცნობთ გრადიენტიდან. როგორც გრადიენტზე, ისე ამ სიმბოლოზეც ვფიქრობთ, როგორც კერძო წარმოებულების ვექტორზე.

\begin{array}{r} \nabla = [\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ ⋮ \end{array}] \end{array}

\vec{v} (x, y, \dots)

ვექტორული მნიშვნელობის ფუნქციის დივერგენციას შემდეგნაირად ვწერთ

$\nabla \cdot \vec{v} \leftarrow \vec{v} -ს დივერგენცია$ ‍

ეს ცოტა უცნაურია, რადგან

\nabla

რეალურად არ არის ვექტორი. მისი კომპონენტები არის ოპერატორები და არა რიცხვები. გარდა ამისა, სკალარული ნამრავლის აღნიშვნის გამოყენება ძალიან სასარგებლოა იმის დასამახსოვრებლად, თუ როგორ უნდა გამოვთვალოთ დივერგენცია, უბრალოდ შეხედეთ:

\begin{aligned} \nabla \cdot \vec{v} & = [\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 x - y \\ y^{2} \end{array}] \\ = \frac{\partial}{\partial x} (2 x - y) + \frac{\partial}{\partial y} (y^{2}) \\ = 2 + 2 y \end{aligned}

უფრო ზოგადად რომ ვთქვათ, დივერგენციის გამოყენება ნებისმიერი განზომილების ვექტორული ველებისთვის შეიძლება. ეს ნიშნავს, რომ

\vec{v}

-ს ნებისმიერი რაოდენობის არგუმენტი შეიძლება ჰქონდეს, თუმცა მნიშვნელობის განზომილება არ იცვლება. სხვანაირად ის ვერ წარმოადგენდა ვექტორულ ველს. თუ ჩვენ

\vec{v}

-ს კომპონენტებს ჩავწერთ ასე:

\begin{aligned} \vec{v} (x_{1}, \dots, x_{n}) & = [\begin{array}{c} v_{1} (x_{1}, \dots, x_{n}) \\ ⋮ \\ v_{n} (x_{1}, \dots, x_{n}) \end{array}] \end{aligned}

მაშინ

\vec{v}

-ის დივერგენცია იქნება:

\begin{array}{r} \nabla \cdot \vec{v} = [\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x_{1}} \\ ⋮ \\ \frac{\partial}{\partial x_{n}} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{array}] = \frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}} + \dots + \frac{\partial v_{n}}{\partial x_{n}} \end{array}

[დივერგენციის ფორმულაზე ფიქრის კიდევ ერთი გზა]

მოდით, შევაჯამოთ ეს სწრაფი დიაგრამით:

დივერგენციის ინტერპრეტაცია

ვთქვათ, შეაფასებთ

\vec{v}

ფუნქციის დივერგენციას რაიმე

(x_{0}, y_{0})

წერტილში და მიიღებთ უარყოფითს.

\begin{array}{r} \nabla \cdot \vec{v} (x_{0}, y_{0}) < 0 \end{array}

ეს ნიშნავს, რომ სითხის დინება

\vec{v}

ვექტორული ველის გასწვრივ გახდება უფრო მეტად მკვრივი

(x_{0}, y_{0})

წერტილში. მაგალითად, მომდევნო ანიმაცია გვიჩენებს ვექტორულ ველს უარყოფითი დივერგენციით სათავეში.

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

მეორე მხრივ, თუ

(x_{0}, y_{0})

წერტილში დივერგენცია დადებითია,

\begin{array}{r} \nabla \cdot \vec{v} (x_{0}, y_{0}) > 0 \end{array}

ვექტორული ველის გასწვრივ გამდინარე სითხე ხდება ნაკლებად მკვრივი

(x_{0}, y_{0})

წერტილის გარშემო. აქ არის მაგალითი:

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

საბოლოოდ, ნულოვან დივერგენცია ძალიან მნიშნელოვანია სითხის დინებასა და ელექტროდინამიკაში. ის ამბობს, რომ სითხის თავისუფალი დინების მიუხედავად, მისი სიმკვრივე უცვლელი რჩება. ეს ძალიან ხელსაყრელია უკუმშელი სითხეების, მაგალითად წყლის, განხილვისას. ფაქტია, რომ სითხის უკუმშვადობის იდეა მჭიდრო კავშირშია შემდეგ განტოლებასთან:

\begin{array}{r} \nabla \cdot \vec{v} = 0 \end{array}

ასეთ ვექტორულ ველებს ეწოდება „დივერგენციისგან თავისუფალი.“ აი, როგორ შეიძლება, ამის მაგალითი გამოიყურებოდეს:

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

წყაროები და ნიჟარები

ხანდახან, ზოგიერთი ადამიანი იმის წარმოდგენის ნაცვლად, რომ უარყოფითი დივერგენციის მქონე წერტილებიდან სითხე უფრო მკვრივი ხდება, წარმოიდგენენ სითხის დაშრობას მისი მუდმივი დინებისას. აი, დაახლოებით რას ჰგავს ეს:

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

ამიტომ უარყოფითი დივერგენციის მქონე წერტილებს ნიჟარებს უწოდებენ.

ამის მსგავსად, იმის ფიქრის ნაცვლად, რომ დადებითი დივერგენციის მქონე წერტილებიდან სითხე ნაკლებად მკვრივი ხდება, ჩვენ შეგვიძლია, წარმოვიდგინოთ გარკვეული წყაროები, რომლებიც მუდმივად წარმოშობენ სითხის ახალ ნაწილაკებს.

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

დივერგენცია უფრო მაღალ განზომილებებში

მიუხედავად იმისა, რომ ჩემ მიერ მოყვანილი ყველა ანიმაცია და დიაგრამა ორგანზომილებიანია, თქვენ იმის გაგებაც შეგიძლიათ, რომ ეს კონცეფციები კარგად მუშაობს სამ ან მეტ განზომილებაშიც.

სცადეთ ეს, როგორც ძალიან კარგი მენტალური სავარჯიშო, გესმით თუ არა დივერგენციის არსი: წარმოიდგინეთ სამგანზომილებიანი ვექტორული ველი და იფიქრეთ, როგორ შეიძლება გამოიყურებოდეს დადებითი, უარყოფითი და ნულოვანი დივერგენციის მქონე წერტილები.

მაგალითი 1: გამოთვალეთ და წარმოადგინეთ დივერგენცია

ამოცანა: ვექტორული ველი შემდეგნაირად განვსაზღვროთ

\begin{array}{r} \vec{v} (x, y) = (x^{2} - y^{2}) \hat{i} + 2 x y \hat{j} \end{array}

გამოთვალეთ დივერგენცია და განსაზღვრეთ, წყარო უფროა თუ ნიჟარა

(1, 2)

წერტილი.

ნაბიჯი 1: გამოთვალეთ დივერგენცია.

$\nabla \cdot \vec{v} =$ ‍

[პასუხი]

ნაბიჯი 2: ჩასვით

(1, 2)

$\nabla \cdot \vec{v} (1, 2) =$ ‍

[პასუხი]

ნაბიჯი 3: ინტერპრეტაცია. უფრო მეტად წყაროა თუ ნიჟარა წერტილი

(1, 2)

აირჩიეთ 1 პასუხი:
(Choice A)
წყარო
(Choice B)
ნიჟარა
(Choice C)
არცერთი

[პასუხი]

დამაბნეველი ნიშნები

ყოველთვის მაბნევს, რომ დადებითი დივერგენცია აღწერს სიმკვრივის უარყოფით ცვლილებას, ხოლო უარყოფითი დივერგენცია აღწერს სიმკვრივის დადებით ცვლილებას. ეს არ არის დამაბნეველი? ამ შემთხვევაში გვეხმარება წყარო/ნიჟარის ინტერპრეტაცია, რადგან დადებითი დივერგენციის მქონე წერტილები წარმოშობენ სითხეს, ხოლო უარყოფითი დივერგენციის მქონე წერტილები შთანთქავენ მას.

გზა, რომელიც მე სულ მახსოვს, არის, როცა

f

არის იგივური ფუნქცია, ჩავწეროთ

(x, y)

წერტილი

[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}]

ვექტორად. შედეგად მიღებული ვექტორული ველის ყველა ვექტორი მიმართულია სათავიდან გარეთ (გესმით, რატომ?), ეს კი შედარებით ამარტივებს

\nabla \cdot f

გამოსახულების გამოთვლას.

\begin{array}{r} \nabla \cdot f = \frac{\partial}{\partial x} (x) + \frac{\partial}{\partial y} (y) = 1 + 1 = 2 \end{array}

ამრიგად, როცა დივერგენციასთან მიწევს შეხება და მიჩნდება კითხვა "ჰმ, სიმკვრივის კლებას მიუთითებს დადებითი თუ უარყოფითი დივერგენცია," მაშინვე ვიხსენებ ამ პატარა სავარჯიშოს და ვხვდები "ხო, ასეა, დადებითი დივერგენცია მიუთითებს შიგნიდან გარეთ დინებაზე."

სხვა რესურსები

შემდეგ სტატიაში ჩვენ განვივითარებთ ინტუიციას, თუ რა საერთო აქვს დივერგენციის ფორმულას სითხის დინებასთან.

ამის შემდეგ, ინტეგრალებისა და ზედაპირული ინტეგრალების ამოწურვის მერე, მე ვილაპარაკებ დივერგენციის ფორმალურ განმარტებაზე.

შეჯამება

ვექტორული ველი ინტეპრეტირებით წარმოადგინეთ სითხის დინებად.
დივერგენცია არის ოპერატორი, რომელიც არგუმენტად იღებს ვექტორული ველის განმსაზღვრელ ვექტორულ ფუნქციას, ხოლო მნიშნელობად აბრუნებს სკალარულ ფუნქციას, რომელიც თითოეულ წერტილში ზომავს სითხის სიმკვრივის ცვლილებას.
დივერგენციის ფორმულა არის
$\begin{array}{r} div \vec{v} = \nabla \cdot \vec{v} = \frac{\partial v_{1}}{\partial x} + \frac{\partial v_{2}}{\partial y} + \dots \end{array}$ ‍
აქ $v_{1}$ ‍, $v_{2}$ ‍, $\dots$ ‍ არის $\vec{v}$ ‍-ის კომპონენტი ფუნქციები.

თუმცა ყოველთვის გახსოვდეთ, რომ დივერგენცია მრავალ კონტექსტში შეიძლება შეგვხვდეს, მათ შორის ისეთში, რომელსაც სითხესთან არანაირი კავშირი არ აქვს. მაგალითად, ასეთია ელექტროდინამიკა. სითხის დინების ინტერპრეტაცია ძალიან სასარგებლოა და იძლევა ბევრად ძლიერ ინტუიციას, ვიდრე მშრალი სიმბოლოები, თუმცა ჩვენ ის უნდა გამოვიყენოთ მხოლოდ ხანდახან.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.