ძირითადი მასალა

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 2

გაკვეთილი 11: დივერგენცია და როტორი (სტატიები)

მოთელვა როტორის ცნებაზე, სითხის მობრუნება ორ განზომილებაში

როტორი ზომავს მობრუნებას სითხეში, რომელიც მოედინება ვექტორულ ველში. ფორმალურად, როტორი გამოიყენება მხოლოდ სამ განზომილებაში, მაგრამ ჩვენს შემთხვევაში მოთელვისთვის ამ ცნებას განვიხილავთ ორ განზომილებაში.

ფონი

შენიშვნა: ამ სტატიაში გამოვიყენებ შემდეგ შეთანხმებას:

$\hat{i}$ ‍ წარმოადგენს ერთეულოვან ვექტორს $x$ ‍ მიმართულებით.
$\hat{j}$ ‍ წარმოადგენს ერთეულოვან ვექტორს $y$ ‍ მიმართულებით.

რის აგებას ვცდილობთ

როტორი ზომავს "ბრუნვას" ვექტორულ ველში.
ორ განზომილებაში თუ ვექტორული ველი მოცემულია ფუნქციით $\vec{v} (x, y) = v_{1} (x, y) \hat{i} + v_{2} (x, y) \hat{j}$ ‍, ეს ბრუნვა მოიცემა ფორმულით
$2d-როტორი \vec{v} = \frac{\partial v_{2}}{\partial x} - \frac{\partial v_{1}}{\partial y}$ ‍

ბრუნვა სითხის დინებაში

თავად შექმენით კარგი მბრუნავი ვექტორული ველი:

ეს კონკრეტული ვექტორული ველი განსაზღვრულია შემდეგი ფუნქციით:

\begin{aligned} \vec{v} (x, y) & = [\begin{array}{c} y^{3} - 9 y \\ x^{3} - 9 x \end{array}] \\ = (y^{3} - 9 y) \hat{i} + (x^{3} - 9 x) \hat{j} \end{aligned}

ახლა მინდა, წაროიდგინოთ, რომ ეს ვექტორული ველი აღწერს სითხის დინებას, მდინარის ქაოტურ ნაწილს. შემდეგ ვიდეოში ნაჩვენებია სიმულაცია, თუ როგორ გამოიყურება ეს. სითხის ნაწილაკები, რომლებიც ნაჩვენებია ლურჯ წერტილებად, გაედინებიან ვექტორული ველის გასწვრივ. ეს ნიშნავს, რომ ნებისმიერ მომენტში წერტილი მიდის იმ ვექტორის მიმართულებით, რომელთანაც ის ყველაზე ახლოსაა. განსაკუთრებით დააკვირდით რა ხდება ოთხ წრიულ რეგიონში.

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

ყოველგვარი ქაოსის მიუხედავად, თქვენ შესაძლოა შეამჩნიეთ, რომ სითხე ბრუნავს წრიულ რეგიონებში. მარცხენა და მარჯვენა წრეებში ბრუნვა არის საათის ისრის საპირისპიროდ, ხოლო ზედა და ქვედა რეგიონებში საათის ისრის მიმართულებით.

საკვანძო შეკითხვა: თუ მოცემულია ფუნქცია $\vec{v} (x, y)$ ‍, რომელიც განსაზღვრავს ვექტორულ ველს და მოიცავს სივრცის კონკრეტულ $(x_{0}, y_{0})$ ‍ წერტილს, რამდენად ბრუნავს სითხე ამ $(x_{0}, y_{0})$ ‍ წერტილში?

ამ შეკითხვას პასუხს ვექტორული კალკულუსის ოპერაცია როტორი სცემს სითხის ბრუნვის იდეის ფორმულაში გადათარგმნით. ეს არის ოპერატორი, რომელიც იღებს ვექტორული ველის განმსაზღვრელ ფუნქციას და აბრუნებს სითხის ბრუნვის აღმწერ ფუნქციას.

ტექნიკურად როტორის ოპერაციის შესრულება მხოლოდ სამგანზომილებიან სივრცეშია შესაძლებელი. შემდეგ სტატიაში თქვენ შეგიძლიათ ნახოთ, რას ნიშნავს და როგორ გამოითვლება ეს, თუმა ამ სტატიაში ჩვენ გავხურდებით სითხის ბრუნვის აღწერით ორგანზომილებიან სივრცეში.

ორგანზომილებიანი ბრუნვის ასახვა ფორმულაში

სითხის ბრუნვის აღმწერი ვექტორული ველის ერთ-ერთი ყველაზე მარტივი მაგალითია

\begin{array}{r} \vec{v} (x, y) = [\begin{array}{c} - y \\ x \end{array}] = - y \hat{i} + x \hat{j} . \end{array}

აი, როგორ გამოიყურება ის.

ანიმაცია, სითხის ყველა ნაწილაკი მოძრაობს წრეწირზე.

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

რაღაც გაგებით ეს არის საათის საპირისპიროდ ბრუნვის საუკეთესო მაგალითი. თქვენ შეგიძლიათ ორგანზომილებიანი ბრუნვის ზოგადი ფორმულის გაგება მხოლოდ იმის გააზრებით, თუ რატომ აღწერს

\vec{v} (x, y) = - y \hat{i} + x \hat{j}

ფორმულა საათის საპირისპიროდ ბრუნვას.

$\hat{i}$ ‍ კომპონენტი

მოდით, ჯერ გავიგოთ, რატომ მიანიშნებს

- y \hat{i}

კომპონენტი საათის საპირისპიროდ ბრუნვაზე. წარმოიდგინეთ, რომ ჩვენს სითხეში აგდია პატარა ნაფოტი, რომელიც

y

-ღერძის პარალელურადაა მიმართული. უფრო კონკრეტულად, მისი ერთი ბოლო ემთხვევა სათავეს, ხოლო მეორე ბოლო არის

(0, 2)

წერტილში. რას გვიჩვენებს ცექტორული ველის

- y \hat{i}

კომპონენტი სითხის სიჩქარისთვის ნაფოტის სხვადასხვა წერტილში.

ეს ნიშნავს, რომ ნაფოტის წვერის სიჩქარე არის

- 2 \hat{i}

, მარცხნივ მიმართული ვექტორი, ხოლო ნაფოტის ძირის სიჩქარე არის

0

ნაფოტისთვის ეს ნიშნავს, რომ საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით ბრუნვის მნიშვნელოვანი ფაქტორია ის, რომ რაც უფრო ზევით მივდივართ ვექტორულ ველში, ვექტორები მით უფრო მარცხენა მიმართულებას იღებს. კიდევ რამდენიმე სიმბოლოთი რომ ვთქვათ, აქ მნიშვნელოვანია ის, რომ

(x_{0}, y_{0})

წერტილზე მოთავსებული ვექტორის

\hat{i}

კომპონენტი მცირდება, როცა

y_{0}

იზრდება.

კიდევ მეტი სიმბოლოთი რომ ვთქვათ,

$\frac{\partial}{\partial y} (- y) = - 1 < 0$ ‍

მოდით, ეს იდეა ოდნავ განვაზოგადოთ.

შეკითხვა: განვიხილოთ უფრო ზოგადი ვექტორული ველი.

$\vec{v} (x, y) = v_{1} (x, y) \hat{i} + v_{2} (x, y) \hat{j}$ ‍

v_{1}

და

v_{2}

არის გარკვეული სკალარული ფუნქციის კომპონენტები. თუ თქვენ მცირე ნაფოტს განათავსებთ

y

-ღერძის პარალელურად

(x_{0}, y_{0})

წერტილში, როგორ გეცოდინებათ, თუ საით დაიწყებს ნაფოტი ბრუნვას მხოლოდ

v_{1} - ი ს, v_{2}

-ისა და

(x_{0}, y_{0})

-ის ცოდნით?

პასუხი: დავაკვირდეთ $v_{1}$ ‍-ის ცვლილების ტემპს, როცა $y$ ‍ იცვლება ჩვენთვის საინტერესო $(x_{0}, y_{0})$ ‍ წერტილის სიახლოვეში:
$\frac{\partial v_{1}}{\partial y} (x_{0}, y_{0}) \leftarrow თუ უარყოფითია, მიუთითებს საათის მიმართულების საპირისპიროდ ბრუნვაზე$ ‍
თუ ეს უარყოფითია, იმას ნიშნავს, რომ წერტილები უფრო მარცხნივაა მიმართული, როცა $y_{0}$ ‍ იზრდება, ასე რომ, ბრუნვა იქნებოდა საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით. თუ იგი დადებითია, ვექტორები უფრო მარჯვნივაა მიმართული, როცა $y_{0}$ ‍ იზრდება, რაც საათის ისრის მიმართულებით ბრუნვას აღნიშნავს.

$\hat{j}$ ‍ კომპონენტი

შემდეგ ვნახოთ, თუ რატომ მიუთითებს თავდაპირველი ვექტორული ველის

x \hat{j}

კომპონენტიც საათის ისრის საწინააღმდეგო ბრუნვაზე. ამჯერად წარმოიდგინეთ

x

ღერძის პარალელური ნაფოტი. კონკრეტულად, ნაფოტის ერთი ბოლო მოათავსეთ

(0, 0)

-ზე და მეორე -

(2, 0)

-ზე.

სათავეზე მოთავებული ვექტორი

0

-ის ტოლია, მაგრამ მეორე ბოლოზე,

(2, 0)

-ზე მოთავსებული ვექტორია

2 \hat{j}

, ზემოთ მიმართული ვექტორი. ასე რომ, სითხე ნაფოტის მარჯვენა ბოლოს აწვება ზევით და მარცხენა ბოლოზე არ არის ზემოქმედება, ასე რომ, გვექნება საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით ბრუნვა.

მეორე ნაფოტისთვის ვექტორების ვერტიკალური კომპონენტი იზრდება, როცა მარჯვნივ მივდივართ, რაც საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებაზე მოძრაობას მიუთითებს. ეს იგივე იმის თქმაა, რომ

(x_{0}, y_{0})

-ზე მოთავსებული ვექტორის

y

კომპონენტი იზრდება

x_{0}

-ის ზრდასთან ერთად.

უფრო ზოგადი ვექტორული ველის ფუნქციის შემთხვევაში,

$\vec{v} (x, y) = v_{1} (x, y) \hat{i} + v_{2} (x, y) \hat{j}$ ‍

ეს გავლენა

(x_{0}, y_{0})

წერტილთან ახლოს შეგვიძლია, გავზომოთ

x

-ის ცვლილების პარალელურად

v_{2}

-ის ცვლილებაზე დაკვირვებით.

$\frac{\partial v_{2}}{\partial x} \leftarrow თუ დადებითია, მიუთითებს საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით ბრუნვაზე$ ‍

ორივე კომპონენტის გაერთიანება

ამ ორი კომპონენტის შეჯამებით, სითხის ბრუნვა

\vec{v}

ვექტორული ველის გასწვრივ

(x_{0}, y_{0})

წერტილთან ახლოს შეიძლება, გაიზომოს შემდეგი ოდენობის გამოყენებით:

$\frac{\partial v_{2}}{\partial x} (x_{0}, y_{0}) - \frac{\partial v_{1}}{\partial y} (x_{0}, y_{0})$ ‍

როცა მას გამოთვლით, დადებითი რიცხვი მიუთითებს ზოგადად

(x_{0}, y_{0})

-ის ირგვლივ საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით მოძრაობის ტენდენციას და უარყოფითი - საპირისპიროს, საათის ისრის მიმართულებით მოძრაობის ტენდენციას. თუ იგი უდრის

0

-ს, არ გვაქვს სითხის ბრუნვა

(x_{0}, y_{0})

-ის ირგვლივ. თუ დეტალები გაინტერესებთ, ეს ფორმულა იძლევა

(x_{0}, y_{0})

-სთან ახლოს სითხის კუთხური სიჩქარის ორმაგს.

ზოგიერთი ავტორი მას უწოდებს

\vec{v}

-ის „ორგანზომილებიან როტორს. ეს არ არის სტანდარტული, მაგრამ მოდით, ისე დავწეროთ, თითქოს „2d-როტრი“ ოპერატორია.

$2d-როტორი \vec{v} = \frac{\partial v_{2}}{\partial x} - \frac{\partial v_{1}}{\partial y}$ ‍

მაგალითი: მობრუნების გაანალიზება ორგანზომილებიან ვექტორულ ველში როტორის გამოყენებით

ამოცანა: განიხილეთ შემდეგი ფუნქციის მიერ განსაზღვრული ვექტორული ველი

\begin{array}{r} \vec{v} (x, y) = [\begin{array}{c} \cos (x + y) \\ \sin (x y) \end{array}] \end{array}

განსაზღვრეთ, ამ ვექტორული ველის მიხედვით მოძრავი სითხე შემდეგ წერტილზე საათის ისრის მიმართულებით მოძრაობს თუ საწინააღმდეგოდ:

\begin{aligned} p & = (0, \frac{π}{2}) \end{aligned}

ნაბიჯი 1: გამოთვალეთ ამ ფუნქციის

2d-როტორი

$2d-როტორი \vec{v} =$ ‍

ჩვენ ვიყენებთ ახლა ნაპოვნ 2d-როტორის ფორმულას ამ ფუნქციაზე. ეს მოგვცემს ახალ, სკალარულ ფუნქციას, რომელიც მიუთითებს ბრუნვაზე თითოეულ წერტილთან ახლოს. შემდეგ ვსვამთ $(0, π / 2)$ ‍ წერტილს, რათა ვნახოთ, ბრუნვა დადებითია (საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულების), ნული თუ უარყოფითი (საათის ისრის მიმართულების).
$\begin{aligned} 2d-როტორი \vec{v} & = \frac{\partial v_{2}}{\partial x} - \frac{\partial v_{1}}{\partial y} \\ = \frac{\partial}{\partial x} (\sin (x y)) - \frac{\partial}{\partial y} (\cos (x + y)) \\ = \cos (x y) y - (- \sin (x + y)) \\ = \cos (x y) y + \sin (x + y) \end{aligned}$ ‍

ნაბიჯი 2: ჩასვით

(0, π / 2)

წერტილი.

$2d-როტორი \vec{v} (0, π / 2) =$ ‍

ნაბიჯი 3: ინტერპრეტირება. ამ წერტილის ირგვლივ ბრუნვის როგორი ტენდენცია აქვს სითხეს?

აირჩიეთ 1 პასუხი:
(Choice A)
საათის ისრის მიმართულებით
(Choice B)
საათის ისრის მოძრაობის საწინააღმდეგოდ
(Choice C)
არ გვაქვს ბრუნვა

მოდით, ვუყუროთ ამ სითხის დინებაში ნაწილაკების ერთობლიობას:

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

წერტილი წვეროსთან, სადაც ყველა ნაწილაკი იყრის თავს, შეესაბამება

p = (0, \frac{π}{2})

-ს. ამ რეგიონში ნაწილაკები მოძრაობს საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით, რაც უნდა შეესაბამებოდეს თქვენს

2d-როტორის

გამოთვლებს.

შეჯამება

როტორი ზომავს „ბრუნვას“ ვექტორულ ველში.
ორ განზომილებაში თუ ვექტორული ველი მოცემულია $\vec{v} (x, y) = v_{1} (x, y) \hat{i} + v_{2} (x, y) \hat{j}$ ‍ ფუნქციით, ეს ბრუნვა მოიცემა შემდეგი ფორმულით:
$2d-როტორი \vec{v} = \frac{\partial v_{2}}{\partial x} - \frac{\partial v_{1}}{\partial y}$ ‍

გადავდივართ მესამე განზომილებაში!

ნამდვილი როტორი მოქმედება, რომელიც მომდევნო სტატიაშია განხილული, ამ იდეასა და ფორმულას შლის სამ განზომილებაში.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

მრავალცვლადიანი კალკულუსი

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 2

ფონი

რის აგებას ვცდილობთ

ბრუნვა სითხის დინებაში

ორგანზომილებიანი ბრუნვის ასახვა ფორმულაში

i^‍ კომპონენტი

j^‍ კომპონენტი

ორივე კომპონენტის გაერთიანება

მაგალითი: მობრუნების გაანალიზება ორგანზომილებიან ვექტორულ ველში როტორის გამოყენებით

შეჯამება

გადავდივართ მესამე განზომილებაში!

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

$\hat{i}$ ‍ კომპონენტი

$\hat{j}$ ‍ კომპონენტი