ძირითადი მასალა

მრავალცვლადიანი კალკულუსი

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 2

გაკვეთილი 11: დივერგენცია და როტორი (სტატიები)

როტორის, სითხის მობრუნება სამ განზომილებაში

Google–ის საკლასო ოთახი

როტორი არის ოპერატორი, რომელიც ზომავს სამგანზომილებიანი ვექტორული ველით გამოსახული სითხის ბრუნვას.

ფონი

შენიშვნა: ამ სტატიაში მე გამოვიყენე საყოველთაოდ მიღებული ფორმა, რომ:

$\hat{i}$ ‍ წარმოადგენს $x$ ‍ მიმართულების ერთეულოვან ვექტორს.
$\hat{j}$ ‍ წარმოადგენს $y$ ‍ მიმართულების ერთეულოვან ვექტორს.
$\hat{k}$ ‍ წარმოადგენს $z$ ‍ მიმართულების ერთეულოვან ვექტორს.

რის აგებას ვცდილობთ

როტორი არის მოქმედება, რომელიც იღებს ფუნქციას, რომელიც წარმოადგენს სამგანზომილებიან ვექტორულ ველს და იძლევა სხვა ფუნქციას, რომელიც წარმოადგენს სხვა სამგანზომილებიან ვექტორულ ველს.
თუ სითხე მიედინება სამგანზომილებიან სივრცეში ვექტორული ველის გასწვრვივ, თითოეული წერტილის ირგვლივ სითხის მობრუნება, რომელიც წარმოდგენილია ვექტორით, მოიცემა ამ წერტილზე თავდაპირველი ვექტორული ველის გამოთვლილი როტორით. როტორის ვექტორული ველი უნდა გაიყოს შუაზე, თუ გინდათ, რომ როტორული ვექტორების აბსოლუტური სიდიდეები გაუტოლდეს სითხის ბრუნვით სიჩქარეს.
თუ სამგანზომილებიანი ვექტორული ფუნქციას, $\vec{v} (x, y, z)$ ‍-ს, აქვს $v_{1} (x, y, z)$ ‍, $v_{2} (x, y, z)$ ‍ და $v_{3} (x, y, z)$ ‍ კომპონენტი ფუნქციები, როტორი შემდეგნაირად გამოითვლება:
$\underset{როტორის აღნიშვნა}{\underset{⏟}{\nabla \times \vec{v}}} = (\frac{\partial v_{3}}{\partial y} - \frac{\partial v_{2}}{\partial z}) \hat{i} + (\frac{\partial v_{1}}{\partial z} - \frac{\partial v_{3}}{\partial x}) \hat{j} + (\frac{\partial v_{2}}{\partial x} - \frac{\partial v_{1}}{\partial y}) \hat{k}$ ‍

მობრუნების ვექტორით აღწერა

თუ ობიექტი ბრუნავს ორ განზომილებაში, მისი მობრუნება შეგიძლიათ, სრულიად აღწეროთ ერთი რიცხვით: კუთხური სიჩქარით. დადებითი კუთხური სიჩქარე აღნიშნავს საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით მოძრაობას, ხოლო უარყოფითი რიცხვი - საათის ისრის მიმართულებით. კუთხური სიჩქარის აბსოლუტური სიდიდე გვაძლევს მობრუნების სიჩქრეს, რომელიც, ჩვეულებრივ, რადიან/წამში იწერება.

სამ განზომილებაში მბრუნავი ობიექტისთვის სიტუაცია უფრო რთულია. უნდა წარმოვადგინოთ კუთხური სიჩქრეც და სამგანზომილებიან სივრცეში მიმართულებაც, საითაც ბრუნავს ობიექტი.

ამის გასაკეთებლად, სამ განზომილებაში მობრუნება ჩვეულებრივ აღიწერება ერთი ვექტორის გამოყენებით. ვექტორის აბსოლუტური სიდიდე აღნიშნავს კუთხურ სიჩქარეს და მიმართულება განისაზღვრება ძალიან მნიშვნელოვანი შეთანხმებით, რომელსაც „მარჯვენა ხელის წესი“ ეწოდება

მარჯვენა ხელის წესი: მარჯვენა ხელის თითები შემოახვიეთ მობრუნების მიმართულებით და ცერა თითი გაშალეთ. ვექტორი, რომელიც წარმოადგენს ამ სამგანზომილებიან მობრუნებას, განმარტების თანახმად, მიმართულია ცერა თითის მიმართულებით.

თქვენი ცერა მიმართული უნდა იყოს მობრუნების ღერძისკენ. მარცხენას ნაცვლად მარჯვენა ხელის გამოყენებაზე შეთანხმება საშუალებას გვაძლევს, ჩანაწერში ვაჩვენოთ განსხვავება კონკრეტულ სამგანზომილებიან მობრუნებასა და შებრუნებულ მობრუნებას შორის. ფაქტიურად, ეს საათის ისრის და მის საწინააღმდეგო მიმართულებით მოძრაობის იდეას განავრცობს სამ განზომილებაში.

მაგალითად, კოსმოსში დედამიწის მობრუნება აღიწერებოდა ვექტორით, რომელიც დედამიწის ცენტრიდან მიმართულია ჩრდილოეთ პოლუსისკენ და რომლის სიგრძე უდრის დედამიწის ბრუნვის კუთხურ სიჩქარეს (რომელიც

0,000 0729

რადიანი/წამშია).

სითხის ორ განზომილებაში მოძრაობის ხელახლა ნახვა

როტორზე მოთელვის სტატიაში გაგაცანით, როგორ მიედინება სითხე ფუნქციით განსაზღვრულ ორგანზომილებიან ვექტორულ ველში

\begin{aligned} \vec{v} (x, y) & = [\begin{array}{c} y^{3} - 9 y \\ x^{3} - 9 x \end{array}] \\ = (y^{3} - 9 y) \hat{i} + (x^{3} - 9 x) \hat{j} \end{aligned}

შემდეგი ანიმაცია გვაძლევს ამის სიმულაციას, სადაც სითხის ნაწილაკები (დახატული ლურჯი წერტილებით) ყოველთვის მოძრაობს იმ ვექტორის მიმართულებით, რომელთან ახლოსაცაა. როტორის შესწავლის მიზნებისთვის შენიშნეთ, თუ რა ხდება წრით შემოსაზრვრული რეგიონების შინგით და გარეთ.

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

სითხე ბრუნავს საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით მარცხენა და მარჯვენა წრეებში და საათის ისრის მიმართულებით ზედა და ქვედა წრეებში. როტორის შესწავლისას საკვანძო შეკითხვაა: რამდენად ბრუნავს სითხე თითოეული კონკრეტული წერტილის ირგვლივ $(x_{0}, y_{0})$ ‍ სიბრტყეში?

ამ სტატიაში მე შეგიქმენით წარმოდგენა იმაზე, თუ როგორაა ამ კითხვის პასუხი ის, რასაც შეიძლება,

\vec{v}

-ს 2d-როტორი უწოდოთ, რომელსაც შემდეგი ფორმულა აქვს:

\begin{array}{r} 2d-curl \vec{v} (x_{0}, y_{0}) = \frac{\partial v_{2}}{\partial x} (x_{0}, y_{0}) - \frac{\partial v_{1}}{\partial y} (x_{0}, y_{0}) \end{array}

აქ,

v_{1}

და

v_{2}

არის

\vec{v}

ვექტორული ფუნქციის კომპონენტები. მაგალითად, ზემოთ მოცემული კონკრეტული ვექტორული ველით, რომელიც განსაზღვრულია

(y^{3} - 9 y) \hat{i} + (x^{3} - 9 x) \hat{j}

-ით, პასუხი იქნებოდა

\begin{aligned} \frac{\partial (x^{3} - 9 x)}{\partial x} - \frac{\partial (y^{3} - 9 y)}{\partial y} & = 3 x^{2} - 9 - (3 y^{2} - 9) \\ = 3 x^{2} - 3 y^{2} \end{aligned}

ყურადღება მიაქციეთ, რომ შედეგი სკალარული ფუნქციაა. თქვენ სვამთ წერტილს, როგორიცაა

(2, 1)

და იღებთ ერთ რიცხვს, რომელიც მიგვანიშნებს სითხის კუთხურ სიჩქარეს,

3 (2)^{2} - 3 (1)^{2} = 12 - 3 = 9

-ს, წერტილთან ახლოს. როგორც აღმოჩნდა, ეს რიცხვი წარმოადგენს წერტილთან სითხის კუთხური სიჩქარის ორმაგ ოდენობას, ასე რომ, მობრუნების სიჩქარეა

4, 5

რადიანი/წამში (ამაზე მეტს მოგვიანებით ვისაუბრებთ). მნიშვნელოვანია, რომ თქვენ იღებთ ერთ სკალარს, რომელიც აღწერს მობრუნებას.

ეს ლოგიკური უნდა იყოს, რადგან ერთი ობიექტის ორ განზომილებაში მობრუნება შეიძლება, აღიწეროს ერთი რიცხვით (ან სკალარით), ასე რომ, ყველა შესაძლო წერტილის ირგვლივ ბრუნვა მოძრავ სითხეში უნდა აღიწეროს სკალარული ფუნქციით.

შეკითხვა არეკვლაზე: ზემოთ ნაჩვენებ სითხის მოძრაობაში, სითხეს ააქვს მობრუნებითი კომპონენტი სათავეზე,

(0, 0)

-ზე?

აირჩიეთ 1 პასუხი:
(Choice A)
დიახ, საათის ისრის მიმართულებით
(Choice B)
დიახ, საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით
(Choice C)
არა

[პასუხი]

გადავდივართ სამ განზომილებაში

სამ განზომილებაში გადასვლის მოსამზადებლად მოდით, გამოვხატოთ ზემოთ მოცემული სითხის მოძრაობა ვექტორების გამოყენებით. ფოკუსირდით საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით მობრუნების რეგიონზე, როგორიცაა ზემოთ მოცემულ ანიმაციაში უკიდურესი მარჯვენა წრე. წარმოიდგინეთ ამ წრეზე თითების შემოხვევა ისე, რომ ისინი მიმართული იყვნენ ისრების მიმართულებისკენ (ამ შემთხვევაში, საათის ისრის საწინაამღდეგო მიმართულებით) და გაშალეთ ცერა თითი. თქვენი თითი უნდა იყოს მიმართული დადებითი

z

მიმართულებით,

\hat{k}

ერთეულოვანი ვექტორის პარალელურად.

ეს რომ გაგეკეთებინათ ყველა წერტილზე, ვექტორი მიგენიჭებინათ

x y

სიბრტყეზე თითოეული წერტილის ირგვლივ მობრუნებაზე

2d-როტორი \vec{v} (x, y) = 3 x^{2} - 3 y^{2}

ფორმულის მიხედვით, დაახლოებით ასეთ რამეს მიიღებდით:

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

დადებითი

z

მიმართულების ვექტორები გვიჩვენებს საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით მობრუნებას ამ წერტილთან ახლოს და მეორე მხარეს მიმართული ვექტორები - საათის ისრის მიმართულებით მობრუნებას, როგორც

x y

სიბრტყეზეა ნაჩვენები. თითოეული ვექტორის სიგრძე გვიჩვენებს ამ მობრუნების სიჩქარეს. ვექტორების ეს სისტემა შეგეძლოთ, აღგეწერათ შემდეგი გამოსახულებით:

$(3 x^{2} - 3 y^{2}) \hat{k}$ ‍

ეს თითქმის სამგანზომილებიანი ვექტორული ველია, იმ განსხვავებით, რომ მხოლოდ

x y

სიბრტყის წერტილებს ვუყურებთ და არა - მთელ სივრცეს. თავად როტორი მხოლოდ სამგანზომილებიან ვექტორულ ველებს შეესაბამება, ასე რომ, ქვემოთ მოცემული მასალა სათანადო რომ გახდეს, მოდით, ეს მაგალითი გავხადოთ სრულიად სამგანზომილებიანი. დასაწყისისთვის, თავდაპირველი

\vec{v}

ვექტორული ფუნქცია გავშალოთ მსგავს

{\vec{v}}_{3 d}

სამგანზომილებიან ფუნქციამდე.

\begin{array}{r} {\vec{v}}_{3 d} (x, y, z) = [\begin{array}{c} y^{3} - 9 y \\ x^{3} - 9 x \\ 0 \end{array}] = (y^{3} - 9 y) \hat{i} + (x^{3} - 9 x) \hat{j} + (0) \hat{k} \end{array}

სამგანზომილებიანი ვექტორული ველებისთვის ეს მაინც ძალიან ბრტყელი ჩანს, არა?

\hat{k}

კომპონენტი ყველგან

0

-ია და არც ერთი კომპონენტი არაა დამოკიდებული

z

არგუმენტ ცვლადზე. ჩვენ, ფაქტიურად, საწყისი ორგანზომილებიანი ვექტორული ველი დავაკოპირეთ სამგანზომილებიან სივრცეში

x y

სიბრტყის ყველა პარალელურ სიბრტყეში.

შემდეგი ვიდეო გვიჩვენებს, თუ როგორ გამოიყურება ეს

{\vec{v}}_{3 d}

ვექტორული ველი, სადაც ვტოვებთ ბრტყელ

x y

სიბრტყესა (დახატულია ნაცრისფრად) და წითელ წრეებს ათვლის წერტილებად. ყურადღება მიაქციეთ, რომ

x y

სიბრტყის თითოეულ პარალელურ ფენაზე ვექტორები თავდაპირველი ვექტორების იდენტურია, რომლებიც წინა სექციაში გვქონდა

x y

სიბრტყეზე ჩვეულებრივი 2d ვექტორული ვექტორული ველიდან,

\vec{v}

-იდან.

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

კვლავ წარმოიდგინეთ ეს ვექტორული ველი, რომელიც წარმოადგენს სითხისებრ მოძრაობას, როგორიცაა ჰაერი ოთახში ან წყალი აუზში. როცა ამ მოძრაობას წარმოვადგენთ თითოეული წერტილის ირგვლივ ვექტორით, რომელიც ამ წერტილზე მდებარეობს, ვიღებთ ახალ ვექტორულ ველს, როგორც მომდევნო ვიდეოშია ნაჩვენები:

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

ეს მოიცემა ვექტორული ველით

$\vec{w} (x, y, z) = (0) \hat{i} + (0) \hat{j} + (3 x^{2} - 3 y^{2}) \hat{k}$ ‍

ეს იგივე ფორმულაა, რაც ადრე გვქონდა,

(3 x^{2} - 3 y^{2}) \hat{k}

, მაგრამ მნიშვნელოვანია ის, რომ ახლა ამას ვიყენებთ

(x, y, z)

სივრცეში ყველა წერტილზე და არა მხოლოდ

x y

სიბრტყის

(x, y)

წერტილებზე.

ის ფაქტი, რომ $z$ ‍ არგუმენტი გავლენას არ ახდენს მნიშვნელობაზე, გვიდასტურებს, რომ ჩვენი სითხის მოძრაობა იგივეა სივერცეში $x y$ ‍ სიბრტყის ყველა პარალელური ფენისთვის.
ის ფაქტი, რომ $\hat{i}$ ‍ და $\hat{j}$ ‍ კომპონენტები $0$ ‍-ია, ნიშნავს, რომ მობრუნების ყველა ვექტორი მიმართუელია $z$ ‍ მიმართულებით, რაც იმას ნიშნავს, რომ სითხის ნამდვილი მოძრაობა $x y$ ‍ სიბრტყის პარალელურია.

ამ ახალ (ლურჯ) ვექტორულ ველს,

\vec{w}

-ს, ეწოდება თავდაპირველი (მწვანე) ვექტორული ველის,

{\vec{v}}_{3 d}

-ის, როტორი. ამის ჩაწერის ერთ-ერთი გზაა:

\begin{array}{r} \vec{w} = როტორი {\vec{v}}_{3 d} \end{array}

ეს სამგანზომილებიანი როტორის ჩვენი პირველი მაგალითია: როტორი, როგორც მათემატიკური მოქმედება, იღებს სამგანზომილებიან ვექტორულ ფუნქციას, ${\vec{v}}_{3 d}$ ‍-ს, რომელიც სითხის დინების წარმომდგენად ითვლება და იძლევა სხვა სამგანზომილებიან ვექტორულ ფუნქციას, „ $როტორი {\vec{v}}_{3 d}$ ‍-ს,“ რომელიც წარმოადგენს ამ სითხის თითეულ წერტილთან მობრუნებას.

სამ განზომილებაში სითხის მობრუნების ვიზუალურად გამოსახვა

სამ განზომილებაში სითხის ზოგადი დინებისთვის მობრუნება შეიძლება, ყოველთვის არ იყოს

x y

სიბრტყის პარალელური. ამან სიტუაციის გამოსახვა შეიძლება, გაართულოს. ძალიან გაართულოს.

მაგალითად, წარმოიდგინეთ, რომ თქვენს ირგვლივ ჰაერი უბერავს და ბრუნავს რაიმე ქაოტური მიმართულებით. ახლა რაიმე კონრეტული წერტილი აირჩიეთ

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

სივრცეში. როგორ შეგიძლიათ, იფიქროთ, თუ რას ნიშნავს „ჰაერის მობრუნება წერტილთან ახლოს“?

აქ არის რამდენიმე მეთოდი:

წარმოიდგინეთ, რომ გვაქვს უმცირესი ტენისის ბურთი, რომლის ცენტრი ფიქსირებულია $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ‍ წერტილზე, მაგრამ თავისუფლად შეუძლია ბრუნვა. შეიძლება, თქვენ იგი მაგიით დააფიქსირეთ ან გაქვთ მაგნიტური შემჩერებელი მექანიზმი. ჰაერმა, რომელიც ირგვლივ უბერავს, შეიძლება, რაიმე მიმართულებით დაატრიალოს. როტორი ვექტორი, რომელიც ამ წერტილზეა მოთავსებული, იქნება ვექტორი, რომელიც აღწერს ტენისის ამ პატარა ბურთის მობრუნებას იმავე გზით, რომლითაც აღვწერეთ დედამიწის მობრუნება ერთი ვექტორის გამოყენებით.

ალტერნატიული გზით, აიღეთ მშვილდოსნის ისარი ლამაზი სქელი ბუმბულებით. შეგიძლიათ, წარმოიდგინოთ, რომ რობინ ჰუდი ისვრის. ისარი დააფიქსირეთ ჰაერში ისე, რომ მისი ბუმბულები აღმოჩნდეს $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ‍ წერტილზე. თქვენ ისევ შექმენით მაგიური და უჩვეულო გზა, რომლითაც ისრის ბოლო ფიქსირდება წერტილზე, მაგრამ მისი მიბრუნება ნებისმიერი მიმართლებით შეგიძლიათ და იგი თავისუფლად ბრუნავს იმის მიხედვით, თუ როგორ უბერავს ქარი მის ბუმბულებს.

თუ ექსპერიმენტულად ნახავთ ისრის სხვადასხვა მიმართულებებს და იპოვით ერთ მიმართულებას, რომელზეც ჰაერის ნაკადები ისარს ყველაზე სწრაფად აბრუნებს, ეს იქნება

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

წერტილზე როტორი ვექტორის მიმართულება.

ეს რაღაცნაირად გრადიენტის ანალოგიურია, რომელიც „მიმართულია ყველაზე ციცაბო ნაწილისკენ“. როტორი „მიმართულია ყველაზე დიდი მობრუნებისკენ“.

[სინამდვილეში, წერტილზე მობრუნება უფრო რთულია]

ჩანაწერი და ფორმულა როტორისთვის

მოდით,

\vec{v}

ჩავწეროთ, როგორც ზოგადი ვექტორეული ფუნქცია, სამი

(x, y, z)

არგუმენტითა და სამკოორდინატიანი მნიშვნელობით. ამ სამგანზომილებიან მნიშვნელობას ჩავწერთ სამი სკალარული ფუნქციით:

v_{1} (x, y, z)

v_{2} (x, y, z)

და

v_{3} (x, y, z)

\begin{aligned} \vec{v} (x, y, z) & = [\begin{array}{c} v_{1} (x, y, z) \\ v_{2} (x, y, z) \\ v_{3} (x, y, z) \end{array}] \\ = v_{1} (x, y, z) \hat{i} + v_{2} (x, y, z) \hat{j} + v_{3} (x, y, z) \hat{k} \end{aligned}

როტორის ჩანაწერი იყენებს იმავე „

\nabla

“ სიმბოლოს, რომელიც გამოიყენება გრადიენტის გამოსახულებასა და განშლადობაში და მასზე ისე ვფიქრობთ, როგორც კერძო წარმოებულის მოქმედების ვექტორზე:

\begin{array}{r} \nabla = [\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{array}] \end{array}

როტორი აღიქმება, როგორც „ვექტორისა“ და

\vec{v}

ფუნქციის სკალარული ნამრავლი, რომლიც, ჩვეულებრივ, გამოითვლება დეტერმინანტის გამოყენებით:

\begin{aligned} curl \vec{v} & = \nabla \times \vec{v} \\ = [\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{array}] \times [\begin{array}{c} v_{1} (x, y, z) \\ v_{2} (x, y, z) \\ v_{3} (x, y, z) \end{array}] \\ = det ([\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{array}]) \\ = (\frac{\partial v_{3}}{\partial y} - \frac{\partial v_{2}}{\partial z}) \hat{i} + (\frac{\partial v_{1}}{\partial z} - \frac{\partial v_{3}}{\partial x}) \hat{j} + (\frac{\partial v_{2}}{\partial x} - \frac{\partial v_{1}}{\partial y}) \hat{k} \end{aligned}

ვიცი, რასაც ფიქრობთ: „ეს ყველაზე შემაშინებელი დეტერმინანტია, რაც კი მინახავს. შემადგენელი ელემენტები რიცხვებიც კი არ არის! ერთ რიგში ვექტორებია, ერთში - მოქმედებები და ერთში - ფუნქციები. ამის გაკეთება საერთოდ შეგიძლიათ?“ მართალია, ცოტა უცნაურია, მაგრამ, სხვა თუ არაფერი, ჩანაწერის ხერხად მაინც გამოდგება.

[როგორ გამოითველბა დეტერმინანტის თითოეული ნაწილი?]

ინტუიცია ფორმულისთვის

მოდით, ამ საბოლოო შედეგს შევხედოთ ახლოდან:

\begin{array}{r} როტორი \vec{v} = (\frac{\partial v_{3}}{\partial y} - \frac{\partial v_{2}}{\partial z}) \hat{i} + (\frac{\partial v_{1}}{\partial z} - \frac{\partial v_{3}}{\partial x}) \hat{j} + (\frac{\partial v_{2}}{\partial x} - \frac{\partial v_{1}}{\partial y}) \hat{k} \end{array}

შენიშნეთ, რომ თითოეული კომპონენტი ჰგავს

2d-როტორის

მოქმედებას, რომელიც ვიპოვეთ როტორზე მოთელვის სტატიაში. სინამდვილეში,

\vec{k}

კომპონენტს აქვს ზუსტად იგივე ფორმულა, რაც -

2d-როტორს

. ეს ლოგიკური უნდა იყოს, რადგან როტორის

\vec{k}

კომპონენტი უნდა ზომავდეს სითხის ბრუნვის კომპონენტს, რომელიც

x y

სიბრტყის პარალელურია.

ამის მსგავსად,

\hat{i}

და

\hat{j}

კომპონენტები ზომავს შესაბამისად

y z

და

x z

სიბრტყეების პარალელური სითხის მობრუნების კომპონენტს.

\begin{array}{r} (\frac{\partial v_{3}}{\partial y} - \frac{\partial v_{2}}{\partial z}) \hat{i} \leftarrow Rotational component parallel to the y z -plane \\ (\frac{\partial v_{1}}{\partial z} - \frac{\partial v_{3}}{\partial x}) \hat{j} \leftarrow ბრუნვითი კომპონენტი x z -სიბრტყის პარალელურია \\ (\frac{\partial v_{2}}{\partial x} - \frac{\partial v_{1}}{\partial y}) \hat{k} \leftarrow ბრუნვითი კომპონენტი x y -ღერძის პარალელურია \end{array}

ერთი პატარა ნიუანსი, რომელიც უნდა აღვნიშნოთ, არის ის, რომ თქვენ როტორს თვლით წერტილთან ახლოს, რომ მიიღოთ ვექტორი (როგორც მობრუნების ვექტორი). ამ ვექტორის აბსოლუტური სიდიდე არ უდრის წარმოსახვითი სითხის კუთხურ სიჩქარეს ამ წერტილთან ახლოს. ამის ნაცვლად, აბსოლუტური სიდიდე უდრის ამ სითხის კუთხური სიჩქარის ორმაგ ოდენობას.

[რატომ კუთხური სიჩქარის ორმაგი ოდენობა?]

მაგალითი: მობრუნების პოვნა სამგანზომილებიან ვექტორულ ველში როტორის გამოყენებით

ამოცანა: დავუშვათ, სითხე სამ განზომილებაში მიედინება შემდეგი ვექტორული ველის მიხედვით

$\vec{v} (x, y, z) = (x^{3} + y^{2} + z) \hat{i} + (z e^{x}) \hat{j} + (x y z - 9 x z) \hat{k}$ ‍

აღწერეთ სითხის ბრუნვა

(0, 1, 2)

წერტილთან ახლოს

ნაბიჯი 1: გამოთვალეთ როტორი (ამისთვის შეიძლება, ქაღალდი დაგჭირდეთ).

$\nabla \times \vec{v} =$ ‍
$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

[პასუხი]

ნაბიჯი 2: ჩასვით

(0, 1, 2)

$\nabla \times \vec{v} (0, 1, 2) =$ ‍
$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

[პასუხი]

ნაბიჯი 3: ინტერპრეტირება მოახდინეთ

$(0, 1, 2)$ ‍ წერტილთან ახლოს სითხის ბრუნვა არის დაახლოებით
რადიანი წამში მობრუნებით, რომლიც თითქმის
პარალელურია

[პასუხი]

შეჯამება

როტორი არის მოქმედება, რომელიც იღებს ფუნქციას, რომელიც წარმოადგენს სამგანზომილებიან ვექტორულ ველს და იძლევა სხვა ფუნქციას, რომელიც სხვა სამგანზომილებიან ვექტორულ ველს წარმოადგენს.
თუ სითხე მიედინება სამგანზომილებიან სივრცეში ვექტორული ველის გასწვრვივ, თითოეული წერტილის ირგვლივ სითხის მობრუნება, რომელიც წარმოდგენილია ვექტორით, მოიცემა ამ წერტილზე თავდაპირველი ვექტორული ველის გამოთვლილი როტორით. როტორის ვექტორული ველი უნდა გაიყოს შუაზე, თუ გინდათ, რომ როტორი ვექტორების აბსოლუტური სიდიდეები გაუტოლდეს სითხის ბრუნვით სიჩქარეს.
თუ სამგანზომილებიან ვექტორული ფუნქციას, $\vec{v} (x, y, z)$ ‍-ს, აქვს $v_{1} (x, y, z)$ ‍, $v_{2} (x, y, z)$ ‍ და $v_{3} (x, y, z)$ ‍ კომპონენტი ფუნქციები, როტორი შემდეგნაირად გამოითვლება:
$\begin{array}{r} \nabla \times \vec{v} = (\frac{\partial v_{3}}{\partial y} - \frac{\partial v_{2}}{\partial z}) \hat{i} + (\frac{\partial v_{1}}{\partial z} - \frac{\partial v_{3}}{\partial x}) \hat{j} + (\frac{\partial v_{2}}{\partial x} - \frac{\partial v_{1}}{\partial y}) \hat{k} \end{array}$ ‍

გასართობად

აქ არის სითხის ის ბრუნვა, რომელიც სტატიის დასაწყისში გაჩვენეთ, მაგრამ ამჯერად წერტილი უფრო ზუსტად აღიქმება, როგორც წყლის წვეთი, რომელიც იღუნება და იგრიხება იმის მიხედვით, თუ როგორ ქაჩავს ვექტორული ველი წყლის წვეთის თითოეულ ნაწილაკს. ასევე ამოვიღე ვექტორები ვექტორული ველიდან, რომ სითხის მოძრაობა ადვილად დავინახოთ. იმედი მაქვს, ეს შეგიქმნით წარმოდგენას, თუ რა კომპლექსური და ამასთანავე რა ლამაზი შეიძლება, იყოს სითხის მოძრაობის ცნება ვექტორულ ველებში.

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.