If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

მრავალცვლადიანი კალკულუსი

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 2

გაკვეთილი 11: დივერგენცია და როტორი (სტატიები)
მათემატიკა
მრავალცვლადიანი კალკულუსი
მრავალცვლადიანი ფუნქციების წარმოებული
დივერგენცია და როტორი (სტატიები)
© 2023 Khan Academyგამოყენების პირობებიკონფიდენციალურობის პოლიტიკაშენიშვნა ქუქი-ჩანაწერებზე

როტორის, სითხის მობრუნება სამ განზომილებაში

Google–ის საკლასო ოთახი
როტორი არის ოპერატორი, რომელიც ზომავს სამგანზომილებიანი ვექტორული ველით გამოსახული სითხის ბრუნვას.

ფონი

შენიშვნა: ამ სტატიაში მე გამოვიყენე საყოველთაოდ მიღებული ფორმა, რომ:
  • start bold text, i, end bold text, with, hat, on top წარმოადგენს x მიმართულების ერთეულოვან ვექტორს.
  • start bold text, j, end bold text, with, hat, on top წარმოადგენს y მიმართულების ერთეულოვან ვექტორს.
  • start bold text, k, end bold text, with, hat, on top წარმოადგენს z მიმართულების ერთეულოვან ვექტორს.

რის აგებას ვცდილობთ

  • როტორი არის მოქმედება, რომელიც იღებს ფუნქციას, რომელიც წარმოადგენს სამგანზომილებიან ვექტორულ ველს და იძლევა სხვა ფუნქციას, რომელიც წარმოადგენს სხვა სამგანზომილებიან ვექტორულ ველს.
  • თუ სითხე მიედინება სამგანზომილებიან სივრცეში ვექტორული ველის გასწვრვივ, თითოეული წერტილის ირგვლივ სითხის მობრუნება, რომელიც წარმოდგენილია ვექტორით, მოიცემა ამ წერტილზე თავდაპირველი ვექტორული ველის გამოთვლილი როტორით. როტორის ვექტორული ველი უნდა გაიყოს შუაზე, თუ გინდათ, რომ როტორული ვექტორების აბსოლუტური სიდიდეები გაუტოლდეს სითხის ბრუნვით სიჩქარეს.
  • თუ სამგანზომილებიანი ვექტორული ფუნქციას, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis-ს, აქვს start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis და start color #0d923f, v, start subscript, 3, end subscript, end color #0d923f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis კომპონენტი ფუნქციები, როტორი შემდეგნაირად გამოითვლება:
    start underbrace, del, times, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end underbrace, start subscript, start text, რ, ო, ტ, ო, რ, ი, ს, space, ა, ღ, ნ, ი, შ, ვ, ნ, ა, end text, end subscript, equals, left parenthesis, start fraction, \partial, start color #0d923f, v, start subscript, 3, end subscript, end color #0d923f, divided by, \partial, y, end fraction, minus, start fraction, \partial, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, divided by, \partial, z, end fraction, right parenthesis, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, left parenthesis, start fraction, \partial, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, divided by, \partial, z, end fraction, minus, start fraction, \partial, start color #0d923f, v, start subscript, 3, end subscript, end color #0d923f, divided by, \partial, x, end fraction, right parenthesis, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus, left parenthesis, start fraction, \partial, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, divided by, \partial, y, end fraction, right parenthesis, start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

მობრუნების ვექტორით აღწერა

თუ ობიექტი ბრუნავს ორ განზომილებაში, მისი მობრუნება შეგიძლიათ, სრულიად აღწეროთ ერთი რიცხვით: კუთხური სიჩქარით. დადებითი კუთხური სიჩქარე აღნიშნავს საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით მოძრაობას, ხოლო უარყოფითი რიცხვი - საათის ისრის მიმართულებით. კუთხური სიჩქარის აბსოლუტური სიდიდე გვაძლევს მობრუნების სიჩქრეს, რომელიც, ჩვეულებრივ, რადიან/წამში იწერება.
სამ განზომილებაში მბრუნავი ობიექტისთვის სიტუაცია უფრო რთულია. უნდა წარმოვადგინოთ კუთხური სიჩქრეც და სამგანზომილებიან სივრცეში მიმართულებაც, საითაც ბრუნავს ობიექტი.
ამის გასაკეთებლად, სამ განზომილებაში მობრუნება ჩვეულებრივ აღიწერება ერთი ვექტორის გამოყენებით. ვექტორის აბსოლუტური სიდიდე აღნიშნავს კუთხურ სიჩქარეს და მიმართულება განისაზღვრება ძალიან მნიშვნელოვანი შეთანხმებით, რომელსაც „მარჯვენა ხელის წესი“ ეწოდება
  • მარჯვენა ხელის წესი: მარჯვენა ხელის თითები შემოახვიეთ მობრუნების მიმართულებით და ცერა თითი გაშალეთ. ვექტორი, რომელიც წარმოადგენს ამ სამგანზომილებიან მობრუნებას, განმარტების თანახმად, მიმართულია ცერა თითის მიმართულებით.
თქვენი ცერა მიმართული უნდა იყოს მობრუნების ღერძისკენ. მარცხენას ნაცვლად მარჯვენა ხელის გამოყენებაზე შეთანხმება საშუალებას გვაძლევს, ჩანაწერში ვაჩვენოთ განსხვავება კონკრეტულ სამგანზომილებიან მობრუნებასა და შებრუნებულ მობრუნებას შორის. ფაქტიურად, ეს საათის ისრის და მის საწინააღმდეგო მიმართულებით მოძრაობის იდეას განავრცობს სამ განზომილებაში.
მაგალითად, კოსმოსში დედამიწის მობრუნება აღიწერებოდა ვექტორით, რომელიც დედამიწის ცენტრიდან მიმართულია ჩრდილოეთ პოლუსისკენ და რომლის სიგრძე უდრის დედამიწის ბრუნვის კუთხურ სიჩქარეს (რომელიც 0, comma, 0000729 რადიანი/წამშია).

სითხის ორ განზომილებაში მოძრაობის ხელახლა ნახვა

როტორზე მოთელვის სტატიაში გაგაცანით, როგორ მიედინება სითხე ფუნქციით განსაზღვრულ ორგანზომილებიან ვექტორულ ველში
v⃗(x,y)=[y3−9yx3−9x]=(y3−9y)i^+(x3−9x)j^\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{v}}(x, y) &= \left[ \begin{array}{c} \blueE{y^3 - 9y} \\ \redE{x^3 - 9x} \end{array} \right] \\ &= (\blueE{y^3 - 9y}) \hat{\textbf{i}} + (\redE{x^3 - 9x})\hat{\textbf{j}} \end{aligned}
შემდეგი ანიმაცია გვაძლევს ამის სიმულაციას, სადაც სითხის ნაწილაკები (დახატული ლურჯი წერტილებით) ყოველთვის მოძრაობს იმ ვექტორის მიმართულებით, რომელთან ახლოსაცაა. როტორის შესწავლის მიზნებისთვის შენიშნეთ, თუ რა ხდება წრით შემოსაზრვრული რეგიონების შინგით და გარეთ.
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა
სითხე ბრუნავს საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით მარცხენა და მარჯვენა წრეებში და საათის ისრის მიმართულებით ზედა და ქვედა წრეებში. როტორის შესწავლისას საკვანძო შეკითხვაა: რამდენად ბრუნავს სითხე თითოეული კონკრეტული წერტილის ირგვლივ left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis სიბრტყეში?
ამ სტატიაში მე შეგიქმენით წარმოდგენა იმაზე, თუ როგორაა ამ კითხვის პასუხი ის, რასაც შეიძლება, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top-ს 2d-როტორი უწოდოთ, რომელსაც შემდეგი ფორმულა აქვს:
2d-curl  v⃗(x0,y0)=∂v2∂x(x0,y0)−∂v1∂y(x0,y0)\begin{aligned} \quad \text{2d-curl}\;\vec{\textbf{v}}(x_0, y_0) = \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\blueE{\partial x}}(x_0, y_0) - \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\redE{\partial y}}(x_0, y_0) \end{aligned}
აქ, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99 და start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612 არის start bold text, v, end bold text, with, vector, on top ვექტორული ფუნქციის კომპონენტები. მაგალითად, ზემოთ მოცემული კონკრეტული ვექტორული ველით, რომელიც განსაზღვრულია left parenthesis, y, cubed, minus, 9, y, right parenthesis, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, left parenthesis, x, cubed, minus, 9, x, right parenthesis, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top-ით, პასუხი იქნებოდა
∂(x3−9x)∂x−∂(y3−9y)∂y=3x2−9−(3y2−9)=3x2−3y2\begin{aligned} \quad \dfrac{\partial({x^3-9x})}{\partial x} - \dfrac{\partial({y^3-9y})}{\partial y} &= 3x^2 - 9 - (3y^2-9) \\ &= 3x^2-3y^2 \end{aligned}
ყურადღება მიაქციეთ, რომ შედეგი სკალარული ფუნქციაა. თქვენ სვამთ წერტილს, როგორიცაა left parenthesis, 2, comma, 1, right parenthesis და იღებთ ერთ რიცხვს, რომელიც მიგვანიშნებს სითხის კუთხურ სიჩქარეს, 3, left parenthesis, 2, right parenthesis, squared, minus, 3, left parenthesis, 1, right parenthesis, squared, equals, 12, minus, 3, equals, 9-ს, წერტილთან ახლოს. როგორც აღმოჩნდა, ეს რიცხვი წარმოადგენს წერტილთან სითხის კუთხური სიჩქარის ორმაგ ოდენობას, ასე რომ, მობრუნების სიჩქარეა 4, comma, 5 რადიანი/წამში (ამაზე მეტს მოგვიანებით ვისაუბრებთ). მნიშვნელოვანია, რომ თქვენ იღებთ ერთ სკალარს, რომელიც აღწერს მობრუნებას.
ეს ლოგიკური უნდა იყოს, რადგან ერთი ობიექტის ორ განზომილებაში მობრუნება შეიძლება, აღიწეროს ერთი რიცხვით (ან სკალარით), ასე რომ, ყველა შესაძლო წერტილის ირგვლივ ბრუნვა მოძრავ სითხეში უნდა აღიწეროს სკალარული ფუნქციით.
შეკითხვა არეკვლაზე: ზემოთ ნაჩვენებ სითხის მოძრაობაში, სითხეს ააქვს მობრუნებითი კომპონენტი სათავეზე, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis-ზე?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გადავდივართ სამ განზომილებაში

სამ განზომილებაში გადასვლის მოსამზადებლად მოდით, გამოვხატოთ ზემოთ მოცემული სითხის მოძრაობა ვექტორების გამოყენებით. ფოკუსირდით საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით მობრუნების რეგიონზე, როგორიცაა ზემოთ მოცემულ ანიმაციაში უკიდურესი მარჯვენა წრე. წარმოიდგინეთ ამ წრეზე თითების შემოხვევა ისე, რომ ისინი მიმართული იყვნენ ისრების მიმართულებისკენ (ამ შემთხვევაში, საათის ისრის საწინაამღდეგო მიმართულებით) და გაშალეთ ცერა თითი. თქვენი თითი უნდა იყოს მიმართული დადებითი z მიმართულებით, start bold text, k, end bold text, with, hat, on top ერთეულოვანი ვექტორის პარალელურად.
ეს რომ გაგეკეთებინათ ყველა წერტილზე, ვექტორი მიგენიჭებინათ x, y სიბრტყეზე თითოეული წერტილის ირგვლივ მობრუნებაზე start text, 2, d, negative, რ, ო, ტ, ო, რ, ი, end text, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, 3, x, squared, minus, 3, y, squared ფორმულის მიხედვით, დაახლოებით ასეთ რამეს მიიღებდით:
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა
დადებითი z მიმართულების ვექტორები გვიჩვენებს საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით მობრუნებას ამ წერტილთან ახლოს და მეორე მხარეს მიმართული ვექტორები - საათის ისრის მიმართულებით მობრუნებას, როგორც x, y სიბრტყეზეა ნაჩვენები. თითოეული ვექტორის სიგრძე გვიჩვენებს ამ მობრუნების სიჩქარეს. ვექტორების ეს სისტემა შეგეძლოთ, აღგეწერათ შემდეგი გამოსახულებით:
left parenthesis, 3, x, squared, minus, 3, y, squared, right parenthesis, start bold text, k, end bold text, with, hat, on top
ეს თითქმის სამგანზომილებიანი ვექტორული ველია, იმ განსხვავებით, რომ მხოლოდ x, y სიბრტყის წერტილებს ვუყურებთ და არა - მთელ სივრცეს. თავად როტორი მხოლოდ სამგანზომილებიან ვექტორულ ველებს შეესაბამება, ასე რომ, ქვემოთ მოცემული მასალა სათანადო რომ გახდეს, მოდით, ეს მაგალითი გავხადოთ სრულიად სამგანზომილებიანი. დასაწყისისთვის, თავდაპირველი start bold text, v, end bold text, with, vector, on top ვექტორული ფუნქცია გავშალოთ მსგავს start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, start subscript, 3, d, end subscript სამგანზომილებიან ფუნქციამდე.
v⃗3d(x,y,z)=[y3−9yx3−9x0]=(y3−9y)i^+(x3−9x)j^+(0)k^\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{v}}_{3d}(x, y, z) = \left[ \begin{array}{c} \blueE{y^3 - 9y} \\ \redE{x^3 - 9x} \\ \greenE{0} \end{array} \right] = (\blueE{y^3 - 9y}) \hat{\textbf{i}} + (\redE{x^3 - 9x})\hat{\textbf{j}} + (\greenE{0})\hat{\textbf{k}} \end{aligned}
სამგანზომილებიანი ვექტორული ველებისთვის ეს მაინც ძალიან ბრტყელი ჩანს, არა? start bold text, k, end bold text, with, hat, on top კომპონენტი ყველგან 0-ია და არც ერთი კომპონენტი არაა დამოკიდებული z არგუმენტ ცვლადზე. ჩვენ, ფაქტიურად, საწყისი ორგანზომილებიანი ვექტორული ველი დავაკოპირეთ სამგანზომილებიან სივრცეში x, y სიბრტყის ყველა პარალელურ სიბრტყეში.
შემდეგი ვიდეო გვიჩვენებს, თუ როგორ გამოიყურება ეს start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, start subscript, 3, d, end subscript ვექტორული ველი, სადაც ვტოვებთ ბრტყელ x, y სიბრტყესა (დახატულია ნაცრისფრად) და წითელ წრეებს ათვლის წერტილებად. ყურადღება მიაქციეთ, რომ x, y სიბრტყის თითოეულ პარალელურ ფენაზე ვექტორები თავდაპირველი ვექტორების იდენტურია, რომლებიც წინა სექციაში გვქონდა x, y სიბრტყეზე ჩვეულებრივი 2d ვექტორული ვექტორული ველიდან, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top-იდან.
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა
კვლავ წარმოიდგინეთ ეს ვექტორული ველი, რომელიც წარმოადგენს სითხისებრ მოძრაობას, როგორიცაა ჰაერი ოთახში ან წყალი აუზში. როცა ამ მოძრაობას წარმოვადგენთ თითოეული წერტილის ირგვლივ ვექტორით, რომელიც ამ წერტილზე მდებარეობს, ვიღებთ ახალ ვექტორულ ველს, როგორც მომდევნო ვიდეოშია ნაჩვენები:
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა
ეს მოიცემა ვექტორული ველით
start bold text, w, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, left parenthesis, 0, right parenthesis, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, left parenthesis, 0, right parenthesis, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus, left parenthesis, 3, x, squared, minus, 3, y, squared, right parenthesis, start bold text, k, end bold text, with, hat, on top
ეს იგივე ფორმულაა, რაც ადრე გვქონდა, left parenthesis, 3, x, squared, minus, 3, y, squared, right parenthesis, start bold text, k, end bold text, with, hat, on top, მაგრამ მნიშვნელოვანია ის, რომ ახლა ამას ვიყენებთ left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis სივრცეში ყველა წერტილზე და არა მხოლოდ x, y სიბრტყის left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis წერტილებზე.
  • ის ფაქტი, რომ z არგუმენტი გავლენას არ ახდენს მნიშვნელობაზე, გვიდასტურებს, რომ ჩვენი სითხის მოძრაობა იგივეა სივერცეში x, y სიბრტყის ყველა პარალელური ფენისთვის.
  • ის ფაქტი, რომ start bold text, i, end bold text, with, hat, on top და start bold text, j, end bold text, with, hat, on top კომპონენტები 0-ია, ნიშნავს, რომ მობრუნების ყველა ვექტორი მიმართუელია z მიმართულებით, რაც იმას ნიშნავს, რომ სითხის ნამდვილი მოძრაობა x, y სიბრტყის პარალელურია.
ამ ახალ (ლურჯ) ვექტორულ ველს, start bold text, w, end bold text, with, vector, on top-ს, ეწოდება თავდაპირველი (მწვანე) ვექტორული ველის, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, start subscript, 3, d, end subscript-ის, როტორი. ამის ჩაწერის ერთ-ერთი გზაა:
w⃗=როტორი v⃗3d\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{w}} = \text{როტორი}\,\vec{\textbf{v}}_{3d} \end{aligned}
ეს სამგანზომილებიანი როტორის ჩვენი პირველი მაგალითია: როტორი, როგორც მათემატიკური მოქმედება, იღებს სამგანზომილებიან ვექტორულ ფუნქციას, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, start subscript, 3, d, end subscript-ს, რომელიც სითხის დინების წარმომდგენად ითვლება და იძლევა სხვა სამგანზომილებიან ვექტორულ ფუნქციას, „start text, რ, ო, ტ, ო, რ, ი, end text, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, start subscript, 3, d, end subscript-ს,“ რომელიც წარმოადგენს ამ სითხის თითეულ წერტილთან მობრუნებას.

სამ განზომილებაში სითხის მობრუნების ვიზუალურად გამოსახვა

სამ განზომილებაში სითხის ზოგადი დინებისთვის მობრუნება შეიძლება, ყოველთვის არ იყოს x, y სიბრტყის პარალელური. ამან სიტუაციის გამოსახვა შეიძლება, გაართულოს. ძალიან გაართულოს.
მაგალითად, წარმოიდგინეთ, რომ თქვენს ირგვლივ ჰაერი უბერავს და ბრუნავს რაიმე ქაოტური მიმართულებით. ახლა რაიმე კონრეტული წერტილი აირჩიეთ left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis სივრცეში. როგორ შეგიძლიათ, იფიქროთ, თუ რას ნიშნავს „ჰაერის მობრუნება წერტილთან ახლოს“?
აქ არის რამდენიმე მეთოდი:
  • წარმოიდგინეთ, რომ გვაქვს უმცირესი ტენისის ბურთი, რომლის ცენტრი ფიქსირებულია left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis წერტილზე, მაგრამ თავისუფლად შეუძლია ბრუნვა. შეიძლება, თქვენ იგი მაგიით დააფიქსირეთ ან გაქვთ მაგნიტური შემჩერებელი მექანიზმი. ჰაერმა, რომელიც ირგვლივ უბერავს, შეიძლება, რაიმე მიმართულებით დაატრიალოს. როტორი ვექტორი, რომელიც ამ წერტილზეა მოთავსებული, იქნება ვექტორი, რომელიც აღწერს ტენისის ამ პატარა ბურთის მობრუნებას იმავე გზით, რომლითაც აღვწერეთ დედამიწის მობრუნება ერთი ვექტორის გამოყენებით.
  • ალტერნატიული გზით, აიღეთ მშვილდოსნის ისარი ლამაზი სქელი ბუმბულებით. შეგიძლიათ, წარმოიდგინოთ, რომ რობინ ჰუდი ისვრის. ისარი დააფიქსირეთ ჰაერში ისე, რომ მისი ბუმბულები აღმოჩნდეს left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis წერტილზე. თქვენ ისევ შექმენით მაგიური და უჩვეულო გზა, რომლითაც ისრის ბოლო ფიქსირდება წერტილზე, მაგრამ მისი მიბრუნება ნებისმიერი მიმართლებით შეგიძლიათ და იგი თავისუფლად ბრუნავს იმის მიხედვით, თუ როგორ უბერავს ქარი მის ბუმბულებს.
თუ ექსპერიმენტულად ნახავთ ისრის სხვადასხვა მიმართულებებს და იპოვით ერთ მიმართულებას, რომელზეც ჰაერის ნაკადები ისარს ყველაზე სწრაფად აბრუნებს, ეს იქნება left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis წერტილზე როტორი ვექტორის მიმართულება.
ეს რაღაცნაირად გრადიენტის ანალოგიურია, რომელიც „მიმართულია ყველაზე ციცაბო ნაწილისკენ“. როტორი „მიმართულია ყველაზე დიდი მობრუნებისკენ“.

ჩანაწერი და ფორმულა როტორისთვის

მოდით, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top ჩავწეროთ, როგორც ზოგადი ვექტორეული ფუნქცია, სამი left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis არგუმენტითა და სამკოორდინატიანი მნიშვნელობით. ამ სამგანზომილებიან მნიშვნელობას ჩავწერთ სამი სკალარული ფუნქციით: start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #bc2612 და start color #0d923f, v, start subscript, 3, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #0d923f.
v⃗(x,y,z)=[v1(x,y,z)v2(x,y,z)v3(x,y,z)]=v1(x,y,z)i^+v2(x,y,z)j^+v3(x,y,z)k^\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{v}}(x, y, z) &= \left[ \begin{array}{c} \blueE{v_1(x, y, z)} \\ \redE{v_2(x, y, z)} \\ \greenE{v_3(x, y, z)} \end{array} \right] \\\\&= \blueE{v_1(x, y, z)}\hat{\textbf{i}} + \redE{v_2(x, y, z)}\hat{\textbf{j}} + \greenE{v_3(x, y, z)}\hat{\textbf{k}} \end{aligned}
როტორის ჩანაწერი იყენებს იმავე „del“ სიმბოლოს, რომელიც გამოიყენება გრადიენტის გამოსახულებასა და განშლადობაში და მასზე ისე ვფიქრობთ, როგორც კერძო წარმოებულის მოქმედების ვექტორზე:
∇=[∂∂x∂∂y∂∂z]\begin{aligned} \quad \nabla = \left[ \begin{array}{c} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial y} \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial z} \\ \\ \end{array} \right] \end{aligned}
როტორი აღიქმება, როგორც „ვექტორისა“ და start bold text, v, end bold text, with, vector, on top ფუნქციის სკალარული ნამრავლი, რომლიც, ჩვეულებრივ, გამოითვლება დეტერმინანტის გამოყენებით:
curl v⃗=∇×v⃗=[∂∂x∂∂y∂∂z]×[v1(x,y,z)v2(x,y,z)v3(x,y,z)]=det([i^j^k^∂∂x∂∂y∂∂zv1v2v3])=(∂v3∂y−∂v2∂z)i^+(∂v1∂z−∂v3∂x)j^+(∂v2∂x−∂v1∂y)k^\begin{aligned} \quad \text{curl}\,\vec{\textbf{v}} &= \nabla \times \vec{\textbf{v}} \\\\ &= \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial}{\partial x} \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial y} \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial z} \\ \end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{c} \blueE{v_1(x, y, z)} \\ \\ \redE{v_2(x, y, z)} \\ \\ \greenE{v_3(x, y, z)} \end{array} \right] \\ \\ &= \text{det}\left(\left[ \begin{array}{ccc} \hat{\textbf{i}} & \hat{\textbf{j}} & \hat{\textbf{k}} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ \blueE{v_1} & \redE{v_2} & \greenE{v_3} \end{array} \right]\right) \\ \\ &= \boxed{ \left( \dfrac{\partial \greenE{v_3}}{\partial y}- \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial z} \right)\hat{\textbf{i}} + \left( \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial z}- \dfrac{\partial \greenE{v_3}}{\partial x} \right)\hat{\textbf{j}} + \left( \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial x}- \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial y} \right)\hat{\textbf{k}} } \end{aligned}
ვიცი, რასაც ფიქრობთ: „ეს ყველაზე შემაშინებელი დეტერმინანტია, რაც კი მინახავს. შემადგენელი ელემენტები რიცხვებიც კი არ არის! ერთ რიგში ვექტორებია, ერთში - მოქმედებები და ერთში - ფუნქციები. ამის გაკეთება საერთოდ შეგიძლიათ?“ მართალია, ცოტა უცნაურია, მაგრამ, სხვა თუ არაფერი, ჩანაწერის ხერხად მაინც გამოდგება.

ინტუიცია ფორმულისთვის

მოდით, ამ საბოლოო შედეგს შევხედოთ ახლოდან:
როტორი v⃗=(∂v3∂y−∂v2∂z)i^+(∂v1∂z−∂v3∂x)j^+(∂v2∂x−∂v1∂y)k^\begin{aligned} \quad \text{როტორი}\,\vec{\textbf{v}} = \left( \dfrac{\partial \greenE{v_3}}{\partial y}- \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial z} \right)\hat{\textbf{i}} + \left( \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial z}- \dfrac{\partial \greenE{v_3}}{\partial x} \right)\hat{\textbf{j}} + \left( \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial x}- \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial y} \right)\hat{\textbf{k}} \end{aligned}
შენიშნეთ, რომ თითოეული კომპონენტი ჰგავს start text, 2, d, negative, რ, ო, ტ, ო, რ, ი, ს, end text მოქმედებას, რომელიც ვიპოვეთ როტორზე მოთელვის სტატიაში. სინამდვილეში, start bold text, k, end bold text, with, vector, on top კომპონენტს აქვს ზუსტად იგივე ფორმულა, რაც - start text, 2, d, negative, რ, ო, ტ, ო, რ, ს, end text. ეს ლოგიკური უნდა იყოს, რადგან როტორის start bold text, k, end bold text, with, vector, on top კომპონენტი უნდა ზომავდეს სითხის ბრუნვის კომპონენტს, რომელიც x, y სიბრტყის პარალელურია.
ამის მსგავსად, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top და start bold text, j, end bold text, with, hat, on top კომპონენტები ზომავს შესაბამისად y, z და x, z სიბრტყეების პარალელური სითხის მობრუნების კომპონენტს.
(∂v3∂y−∂v2∂z)i^← Rotational component parallel to the yz-plane (∂v1∂z−∂v3∂x)j^← ბრუნვითი კომპონენტი xz-სიბრტყის პარალელურია (∂v2∂x−∂v1∂y)k^← ბრუნვითი კომპონენტი xy-ღერძის პარალელურია \begin{aligned} \quad \left( \dfrac{\partial \greenE{v_3}}{\partial y}- \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial z} \right)\hat{\textbf{i}} \quad \leftarrow \small{\gray{\text{ Rotational component parallel to the $\redE{y}\greenE{z}$-plane }}} \\ \\ \left( \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial z}- \dfrac{\partial \greenE{v_3}}{\partial x} \right)\hat{\textbf{j}} \quad \leftarrow \small{\gray{\text{ ბრუნვითი კომპონენტი $\blueE{x}\greenE{z}$-სიბრტყის პარალელურია }}} \\ \\ \left( \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial x}- \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial y} \right)\hat{\textbf{k}} \quad \leftarrow \small{\gray{\text{ ბრუნვითი კომპონენტი $\blueE{x}\redE{y}$-ღერძის პარალელურია }}} \\ \\ \end{aligned}
ერთი პატარა ნიუანსი, რომელიც უნდა აღვნიშნოთ, არის ის, რომ თქვენ როტორს თვლით წერტილთან ახლოს, რომ მიიღოთ ვექტორი (როგორც მობრუნების ვექტორი). ამ ვექტორის აბსოლუტური სიდიდე არ უდრის წარმოსახვითი სითხის კუთხურ სიჩქარეს ამ წერტილთან ახლოს. ამის ნაცვლად, აბსოლუტური სიდიდე უდრის ამ სითხის კუთხური სიჩქარის ორმაგ ოდენობას.

მაგალითი: მობრუნების პოვნა სამგანზომილებიან ვექტორულ ველში როტორის გამოყენებით

ამოცანა: დავუშვათ, სითხე სამ განზომილებაში მიედინება შემდეგი ვექტორული ველის მიხედვით
start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, left parenthesis, start color #0c7f99, x, cubed, plus, y, squared, plus, z, end color #0c7f99, right parenthesis, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, left parenthesis, start color #bc2612, z, e, start superscript, x, end superscript, end color #bc2612, right parenthesis, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus, left parenthesis, start color #0d923f, x, y, z, minus, 9, x, z, end color #0d923f, right parenthesis, start bold text, k, end bold text, with, hat, on top
აღწერეთ სითხის ბრუნვა left parenthesis, 0, comma, 1, comma, 2, right parenthesis წერტილთან ახლოს
ნაბიჯი 1: გამოთვალეთ როტორი (ამისთვის შეიძლება, ქაღალდი დაგჭირდეთ).
del, times, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

ნაბიჯი 2: ჩასვით left parenthesis, 0, comma, 1, comma, 2, right parenthesis
del, times, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, 0, comma, 1, comma, 2, right parenthesis, equals
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

ნაბიჯი 3: ინტერპრეტირება მოახდინეთ
left parenthesis, 0, comma, 1, comma, 2, right parenthesis წერტილთან ახლოს სითხის ბრუნვა არის დაახლოებით
რადიანი წამში მობრუნებით, რომლიც თითქმის
პარალელურია

შეჯამება

  • როტორი არის მოქმედება, რომელიც იღებს ფუნქციას, რომელიც წარმოადგენს სამგანზომილებიან ვექტორულ ველს და იძლევა სხვა ფუნქციას, რომელიც სხვა სამგანზომილებიან ვექტორულ ველს წარმოადგენს.
  • თუ სითხე მიედინება სამგანზომილებიან სივრცეში ვექტორული ველის გასწვრვივ, თითოეული წერტილის ირგვლივ სითხის მობრუნება, რომელიც წარმოდგენილია ვექტორით, მოიცემა ამ წერტილზე თავდაპირველი ვექტორული ველის გამოთვლილი როტორით. როტორის ვექტორული ველი უნდა გაიყოს შუაზე, თუ გინდათ, რომ როტორი ვექტორების აბსოლუტური სიდიდეები გაუტოლდეს სითხის ბრუნვით სიჩქარეს.
  • თუ სამგანზომილებიან ვექტორული ფუნქციას, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis-ს, აქვს start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis და start color #0d923f, v, start subscript, 3, end subscript, end color #0d923f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis კომპონენტი ფუნქციები, როტორი შემდეგნაირად გამოითვლება:
    ∇×v⃗=(∂v3∂y−∂v2∂z)i^+(∂v1∂z−∂v3∂x)j^+(∂v2∂x−∂v1∂y)k^\begin{aligned} \quad \nabla \times \vec{\textbf{v}} = \left( \dfrac{\partial \greenE{v_3}}{\partial y}- \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial z} \right)\hat{\textbf{i}} + \left( \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial z}- \dfrac{\partial \greenE{v_3}}{\partial x} \right)\hat{\textbf{j}} + \left( \dfrac{\partial \redE{v_2}}{\partial x}- \dfrac{\partial \blueE{v_1}}{\partial y} \right)\hat{\textbf{k}} \end{aligned}

გასართობად

აქ არის სითხის ის ბრუნვა, რომელიც სტატიის დასაწყისში გაჩვენეთ, მაგრამ ამჯერად წერტილი უფრო ზუსტად აღიქმება, როგორც წყლის წვეთი, რომელიც იღუნება და იგრიხება იმის მიხედვით, თუ როგორ ქაჩავს ვექტორული ველი წყლის წვეთის თითოეულ ნაწილაკს. ასევე ამოვიღე ვექტორები ვექტორული ველიდან, რომ სითხის მოძრაობა ადვილად დავინახოთ. იმედი მაქვს, ეს შეგიქმნით წარმოდგენას, თუ რა კომპლექსური და ამასთანავე რა ლამაზი შეიძლება, იყოს სითხის მოძრაობის ცნება ვექტორულ ველებში.
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა
პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.