If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

პარამეტრული ზედაპირების კერძო წარმოებულები

თუ გაქვთ ფუნქცია, რომელიც წარმოადგენს ზედაპირს სამ განზომილებაში, შეგიძლიათ, აიღოთ მისი კერძო წარმოებული.  აქ ვხედავთ, როგორ გამოიყურება ის და როგორ წარმოვადგინოთ ის.

რის აგებას ვცდილობთ

  • პირობაში მოცემული გვაქვს ვექტორული ფუნქცია ორგანზომილებიანი არგუმენტით და სამგანზომილებიანი მნიშვნელობით:
    v(s,t)=[x(s,t)y(s,t)z(s,t)]
    მისი კერძო წარმოებულები გამოითვლება თითოეული კომპონენტის კერძო წარმოებულის აღებით:
    vt(s,t)=[xt(s,t)yt(s,t)zt(s,t)]
    vs(s,t)=[xs(s,t)ys(s,t)zs(s,t)]
  • ამ კერძო წარმოებულების ინტერპრეტირება შეგიძლიათ, როგორც პარამეტრული ზედაპირის მხები ვექტორების v ფორმით წარმოდგენით.

მიზანი

დავუშვათ, მოგეცით ფუნქცია ორგანზომილებიანი არგუმენტითა და სამგანზომილებიანი მნიშვნელობით, როგორიც ეს არის:
v(t,s)=[3cos(t)+cos(t)cos(s)3sin(t)+sin(t)cos(s)sin(s)]
რადგან არგუმენტი მრავალგანზომილებიანია, ვერ აიღებთ ამ ფუნქციის ჩვეულებრივ წარმოებულს, მაგრამ შეგიძლიათ, აიღოთ კერძო წარმოებული. ამ სტატიის მიზანია, ინტუიციური წარმოდგენა შეგვიქმნას, თუ რას ნიშნავს ეს კერძო წარმოებულები.

ფუნქციის ინტერპრეტირება მოახდინეთ ზეაპირის სახით

ამ ფუნქციას, სინამდვილეში, ძალიან კარგი გეომეტრიული მნიშვნელობა აქვს. რადგან მას ორკოორდინატიანი არგუმენტი და სამკოორდინატიანი მნიშვნელობა აქვს, მისი წარმოდგენა შეგვიძლია, პარამეტრული ზედაპირის სახით.
კონკრეტულად, განიხილეთ ყველა ისეთი (t,s) არგუმენტი, რომლისთვისაც 0t2π და 0s2π. ეს შეგვიძლია, დავინახოთ, როგორც - კვადრატი „ts სიბრტყეზე.“ ამას ჭადრაკული კანონზომიერებით დავხაზავთ, რადგან ეს მოგვიანებით ყველაფერს აადვილებს.
ორპარამეტრიანი არგუმენტის სივრცე
ნებისმიერი მოცემული (t,s) წერტილისთვის v(t,s)-ის მნიშვნელობა არის რაღაც წერტილი სამგანზომილებიან სივრცეში.
კონცეფციის შემოწმება: გამოთვალეთ v(π,π). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სად მიჰყავს v ფუნქციას (t,s)=(π,π) არგუმენტი?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

თუ ამის გამოთვლას წარმოიდგენთ კვადრატში (t,s)-ის ყველა არგუმენტისთვის და ყოველ ჯერზე სამგანზომილებიან სივრცეში რაიმე წერტილის მიღებას, მიღებული შედეგები შეადგენს ორგანზომილებიან ზედაპირს სამგანზომილებიან სივრცეში. ეს ჰგავს იმის წარმოდგენას, რომ კვადრატის თითოეული წერტილი მიდის სივრცეში მისი შესაბამისი ადგილისკენ.
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
შედეგებს დონატის ფორმა აქვს! მათემატიკოსები მას ტოროიდს უწოდებენ.

კერძო წარმოებულების ინტერპეტირება

გააწარომეთ t-ის მიმართ

იმისთვის, რომ გამოვთვალოთ ამ ფუნქციის კერძო წარმოებული, ვთქვათ, vt, იღებთ თითეული კომპონენტის წარმოებულს.
vt(t,s)=t[3cos(t)+cos(t)cos(s)3sin(t)+sin(t)cos(s)sin(s)]=[t(3cos(t)+cos(t)cos(s))t(3sin(t)+sin(t)cos(s))t(sin(s))]=[3sin(t)sin(t)cos(s)3cos(t)+cos(t)cos(s)0]
ასე რომ...რას ნიშნავს ეს ახალი ვექტორული ფუნქცია?
ამ კერძო წარმოებულის გამოთვლისთვის საჭიროა, s ცვლადი მუდმივად ჩავთვალოთ. ეს გეომეტრიულად რას ნიშნავს?
ამ ts სიბრტყეზე s-ის მუდმივი მნიშვნელობა შეესაბამება ჰორიზონტალურ წრფეს. აქ არის მოცემული წითლად დახაზული ერთი ასეთი წრფე, რომელიც s=π/2-ს წარმოადგენს:
არგუმენტის სივრცეში s უცვლელი დატოვეთ.
მას შემდეგ, რაც ეს კვადრატი ტოროიდის ფორმას მიიღებს, წითელი წრფე ემგვანება რაღაც წრეწირს, რომელიც ტოროიდს ურტყამს წრეს:
მნიშვნელობის სივრცეში s უცვლელი დატოვეთ.
vt კერძო წარმოებული გვეუბნება, როგორ იცვლება მნიშვნელობა ოდნავ, როცა არგუმენტს t მიმართულებით ვუბიძგებთ. ამ შემთხვევაში, ვექტორი, რომელიც ამ ბიძგს (ქვემოთ დახატულია ყვითლად) წარმოადგენს, გარდაიქმნება წითელი წრეწირის მხებ ვექტორად, რომელიც წარმოადგენს ზედაპირზე s-ის მუდმივ მნიშვნელობას:
t-ს უბიძგეთ არგუმენტის სივრცეში
t-ს უბიძგეთ მნიშვნელობის სივრცეში
კონკრეტულად, ზემოთ მოცემული სურათებისთვის გამოყენებული არგუმენტია (t0,s0)=(π4,π2). ეს იმას ნიშნავს, რომ ტოროიდზე ეს წერტილია
v(π4,π2)=[3cos(π/4)+cos(π/4)cos(π/2)3sin(π/4)+sin(π/4)cos(π/2)sin(π/2)]=[322+22(0)322+22(0)1]=[3223221]
და მხები ვექტორია
vt(π4,π2)=[3sin(π/4)sin(π/4)cos(π/2)3cos(π/4)+cos(π/4)cos(π/2)0]=[32222(0)322+22(0)0]=[3223220]
კონცეფციის შემოწმება: რატომაა ლოგიკური, რომ ამ მხები ვექტორის z კომპონენტი 0-ია?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გააწარმოეთ s-ის მიმართ

s-ის მიმართ კერძო წარმოებული მსგავსია. ამას ითვლით v-ს განმარტებაში თითეული კომპონენტის კერძო წარმოებულის აღებით:
vs(t,s)=s[3cos(t)+cos(t)cos(s)3sin(t)+sin(t)cos(s)sin(s)]=[cos(t)sin(s)sin(t)sin(s)cos(s)]
ამჯერად შეგვიძლია, წარმოვიდგინოთ t-ს მუდმივად გაჩერება, რომ მივიღოთ რაიმე ვერტიკალური წრფე პარამეტრულ სივრცეში.
s-ს უბიძგეთ არგუმენტის სივრცეში
ყვითელი ისარი წარმოადგენს სიჩქარის რაიმე ვექტორს, როცა ნაწილაკი მოძრაობს ამ წრფეზე. რაც იგივეა, ვთქვათ, რომ s-ის ვარირებასთან ერთად t-ს მუდმივად ვტოვებთ. მას შემდეგ, რაც კვადრატი ტოროიდი ხდება v ფუნქციით, წითელი წრფე და სიჩქარის ყვითელი ვექტორი დაახლოებით ასეთი ხდება:
s-ს უბიძგეთ მნიშვნელობის სივრცეში
vs-ის კერძო წარმოებული შეიძლება, წარმოვადგინოთ, როგორც ტოროიდზე სიჩქარის ეს მიღებული ვექტორი.

შეჯამება

  • პირობაში მოცემული გვაქვს ვექტორული ფუნქცია ორგანზომილებიანი არგუმენტით და სამგანზომილებიანი მნიშვნელობით:
    v(s,t)=[x(s,t)y(s,t)z(s,t)]
    მისი კერძო წარმოებულები გამოითვლება თითოეული კომპონენტის კერძო წარმოებულის აღებით:
    vt(s,t)=[xt(s,t)yt(s,t)zt(s,t)]
    vs(s,t)=[xs(s,t)ys(s,t)zs(s,t)]
  • ამ კერძო წარმოებულების ინტერპრეტირება შეგიძლიათ, როგორც პარამეტრული ზედაპირის მხები ვექტორების v ფორმით წარმოდგენით.
  • მაგალითად, წარმოიდგინეთ წერტილის გადაჩოჩება შემავალ მონაცემში t მიმართულებით, დავუშვათ, კოორდინატებიდან (s,t) კოორდინატებამდე (s,t+h) მცირე h-ით. შედეგად გამავალ მონაცემში ზედაპირის გასწვრივ დაფიქსირდება მცირე გადაჩოჩება, წარმოდგენილი ვექტორით hvt(s,t).

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.