ძირითადი მასალა

მრავალცვლადიანი კალკულუსი

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 2

გაკვეთილი 8: ვექტორული ფუნქციების გაწარმოება (სტატიები)

მრავალცვლადიანი ჯაჭვის წესი, მარტივი ვარიანტი

ჯაჭვური წესი წარმოებულებისთვის შეიძლება, განვაზოგადოთ უფრო მაღალი განზომილებებისთვის. აქ ვხედავთ, როგორ გამოიყურება ის შედარებით მარტივი შემთხვევისთვის, სადაც კომპოზიცია არის ერთცვლადიანი ფუნქცია.

ფონი

რის აგებას ვცდილობთ

მოცემულია f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis მრავალცვლადიანი ფუნქცია და ორი ერთცვლადიანი ფუნქცია, x, left parenthesis, t, right parenthesis და y, left parenthesis, t, right parenthesis, მრავალცვლადიანი ჯაჭვური წესი გვეუბნება:

\underbrace{ \dfrac{d}{dt} f(\blueD{x}(t), \redE{y}(t)) }_{\text{კომპოზიციის ფუნქციის წარმოებული}} \!\!\!\!\!\! = \dfrac{\partial f}{\partial \blueD{x}} \dfrac{d\blueD{x}}{dt} + \dfrac{\partial f}{\partial \redE{y}} \dfrac{d\redE{y}}{dt}

start underbrace, start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, f, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, left parenthesis, t, right parenthesis, comma, start color #bc2612, y, end color #bc2612, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, კ, ო, მ, პ, ო, ზ, ი, ც, ი, ი, ს, space, ფ, უ, ნ, ქ, ც, ი, ი, ს, space, წ, ა, რ, მ, ო, ე, ბ, უ, ლ, ი, end text, end subscript, equals, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, start color #11accd, x, end color #11accd, end fraction, start fraction, d, start color #11accd, x, end color #11accd, divided by, d, t, end fraction, plus, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end fraction, start fraction, d, start color #bc2612, y, end color #bc2612, divided by, d, t, end fraction

ვექტორულ აღნიშვნებში ჩაწერილ ამ წესს, სადაც $\vec{\textbf{v}}(t) = \left[\begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right]$ , ძალიან ელეგანტური ფორმა აქვს f-ის გრადიენტის და start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis-ის ვექტორული წარმოებულის ენაზე.

\underbrace{ \dfrac{d}{dt} f(\vec{\textbf{v}}(t)) }_{\text{რთული ფუნქციის წარმოებული}} \!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\! = \overbrace{ \nabla f \cdot \vec{\textbf{v}}'(t) }^{\text{ვექტორების სკალარული ნამრავლი}}

start underbrace, start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, f, left parenthesis, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, რ, თ, უ, ლ, ი, space, ფ, უ, ნ, ქ, ც, ი, ი, ს, space, წ, ა, რ, მ, ო, ე, ბ, უ, ლ, ი, end text, end subscript, equals, start overbrace, del, f, dot, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, end overbrace, start superscript, start text, ვ, ე, ქ, ტ, ო, რ, ე, ბ, ი, ს, space, ს, კ, ა, ლ, ა, რ, უ, ლ, ი, space, ნ, ა, მ, რ, ა, ვ, ლ, ი, end text, end superscript

უფრო ზოგადი ჯაჭვური წესი

როგორც ხვდებით, მრავალცვლადიანი ჯაჭვური წესი არის ერთცვლადიანი ჯაჭვური წესის განზოგადება. ერთცვლადიანი ჯაჭვური წესი გეუბნებათ, თუ როგორ უნდა გააწარმოოთ ორი ფუნქციის კომპოზიცია.

start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, f, left parenthesis, g, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, equals, start fraction, d, f, divided by, d, g, end fraction, start fraction, d, g, divided by, d, t, end fraction, equals, f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, t, right parenthesis

რა მოხდება, თუ ერთცვლადიანი t არგუმენტის ნაცვლად ფუნქცია f იღებს ორცვლადიან left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis არგუმენტს?

f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, dots, start text, გ, ა, რ, კ, ვ, ე, უ, ლ, ი, space, გ, ა, მ, ო, ს, ა, ხ, უ, ლ, ე, ბ, ა, space, ც, ვ, ლ, ა, დ, ე, ბ, ი, ს, ა, space, end text, x, start text, space, დ, ა, space, end text, y, dots

კარგი, ამ შემთხვევაში რთული ფუნქციის შედგენა სკალარული g, left parenthesis, t, right parenthesis ფუნქციით არ იქნებოდა ლოგიკური. ამის ნაცვლად, მოდით, ვთქვათ, რომ გვაქვს ორი სხვადასხვა სკალარული ფუნქცია x, left parenthesis, t, right parenthesis და y, left parenthesis, t, right parenthesis, რომელთაც ვიღებთ f ფუნქციის კოორდინატებად. ჯამური კომპოზიცია გამოვა ერთცვლადიანი ფუნქცია f, left parenthesis, x, left parenthesis, t, right parenthesis, comma, y, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis ერთცვლადიანი არგუმენტითა და ერთცვლადიანი მნიშვნელობით f, left parenthesis, x, left parenthesis, t, right parenthesis, comma, y, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, როგორც დიაგრამაზეა ნაჩვენები:

\begin{array}{rrcl} \scriptsize\text{ერთი საბოლოო მნიშვნელობა}&&\scriptsize f(x(t),y(t)) \\\\ &\nearrow&&\nwarrow \\\\ \scriptsize\text{ორი საშუალედო მნიშვნელობა}&x(t)&&y(t) \\\\ &\nwarrow&&\nearrow \\\\ \scriptsize\text{ერთი არგუმენტი}&&t \end{array}

აქ ისევ გვაქვს ჯაჭვური წესი, რომელიც ამ ახალი ერთვცლადიანი ფუნქციის, f, left parenthesis, x, left parenthesis, t, right parenthesis, comma, y, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, წარმოებულის გამოთვლის საშუალებას გვაძლევს, ის შეიცავს f ფუნქციის კერძო წარმოებულებს.

\begin{array}{ccccc} &\scriptsize\blueD{\text{როგორ }\text{ იცვლება}}f&&\scriptsize\purpleC{\text{როგორ }\text{ იცვლება}}x \\ &\scriptsize\blueD{\text{მცირე}}&&\scriptsize\purpleC{\text{მცირე}} \\ &\scriptsize\blueD{\text{ცვლილებით }x-ში}&&\scriptsize\purpleC{\text{ცვლილებით }t-ში} \\ &&\blueD{\huge\searrow}\quad\purpleC{\huge\swarrow} \\\\ \maroonD{\underbrace{\dfrac{d}{dt}}_{\Huge\uparrow}}f(x(t),y(t))&=&\underbrace{\blueD{\overbrace{\dfrac{\partial f}{\partial x}}}\purpleC{\overbrace{\dfrac{dx}{dt}}}}_{\Huge\uparrow}&+&\underbrace{\dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{dy}{dt}}_{\Huge\uparrow} \\ \scriptsize\maroonD{\text{ეს არის ჩვეულებრივი წარმოებული,}}&&\scriptsize\text{ჯამური ცვლილება }f-ში&&\scriptsize\text{ჯამური ცვლილება }f-ში \\ \scriptsize\maroonD{\text{და არა კერძო წარმოებული }\dfrac{\partial}{\partial t}}&&\scriptsize\text{გავლენით, რომელიც}&&\scriptsize\text{გავლენით, რომელიც} \\ \scriptsize\maroonD{\text{რადგანაც მთლიან კომპოზიციას აქვს ერთი არგუმენტი და ერთი მნიშვნელობა}}&&\scriptsize t-ს\text{ აქვს }x-ზე&&\scriptsize t-ს\text{ აქვს }y-ზე \\ \scriptsize\maroonD{\text{}} \end{array}

გაითვალისწინეთ, გამოსახულება start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction, start fraction, d, x, divided by, d, t, end fraction არის შემოკლებული ვერსია გამოსახულებისა

start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction, left parenthesis, x, left parenthesis, t, right parenthesis, comma, y, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, start fraction, d, x, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, t, right parenthesis

ეს ნიშნავს, რომ ორივე არის t ცვლადის ფუნქცია, თუმცა start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction გამოითვლება x, left parenthesis, t, right parenthesis და y, left parenthesis, t, right parenthesis შუალედური ფუნქციებით.

ჩაწერილი ვექტორულ აღნიშვნებში

იმის მაგივრად, რომ x, left parenthesis, t, right parenthesis-სა და y, left parenthesis, t, right parenthesis-ზე ვიფიქროთ, როგორც განცალკევებულ ფუნქციებზე, ძალიან ხშირად მათ აერთიანებენ ერთ ვექტორულ ფუნქციაში.

\vec{\textbf{v}}(t) = \left[\begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right]

ამის შემდეგ f, left parenthesis, x, left parenthesis, t, right parenthesis, comma, y, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis კომპოზიციის ჩაწერის ნაცვლად, შეგიძლიათ, ჩაწეროთ f, left parenthesis, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis.

ამ აღნიშვნებში მრავალცვლადიანი ჯაჭვური წესი შეიძლება უფრო კომპაქტურად ჩაიწეროს, როგორც f-ის გრადიენტისა და start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis-ის ვექტორული წარმოებულის სკალარული ნამრავლი.

\begin{aligned} \dfrac{d}{dt} f(\vec{\textbf{v}}(t)) &= \underbrace{ \dfrac{\partial f}{\partial x}(\vec{\textbf{v}}(t)) \dfrac{dx}{dt}+ \dfrac{\partial f}{\partial y}(\vec{\textbf{v}}(t)) \dfrac{dy}{dt} }_{\text{ეს ჯამი ჩაწერეთ სკალარული ნამრავლის სახით}} \\\\ &= \underbrace{ \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial f}{\partial x}(\vec{\textbf{v}}(t)) \\ \\ \dfrac{\partial f}{\partial y}(\vec{\textbf{v}}(t)) \end{array} \right] }_{\nabla f(\vec{\textbf{v}}(t))} \cdot \underbrace{ \left[ \begin{array}{c} \dfrac{dx}{dt} \\\\ \dfrac{dy}{dt} \end{array} \right] }_{\vec{\textbf{v}}'(t)}\\\\ &= \nabla f(\vec{\textbf{v}}(t)) \cdot \vec{\textbf{v}}'(t) \end{aligned}

ასეთ ჩანაწერში ანალოგია ერთცვლადიან წარმოებულთან უფრო ცხადი ხდება.

\begin{aligned} \dfrac{d}{dt} f(g(t)) = f'(g(t)) g'(t) = \dfrac{df}{dg} \cdot \dfrac{dg}{dt} \end{aligned}

del, f გრადიენტი თამაშობს f-ის წარმოებულის როლს, ხოლო start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, right parenthesis ვექტორული წარმოებული თამაშობს g-ის ჩვეულებრივი წარმოებულის როლს.

ინტუიცია, თუ რატომ მუშაობს ჯაჭვური წესი

გახურებისთვის განვიხილოთ ერთცვლადიანი ჯაჭვური წესი f, left parenthesis, g, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis კომპოზიციისთვის. აი, როგორ მესმის მე ეს კომპოზიცია:

თავდაპირველად g გარდაქმნის რიცხვთა ღერძზე არსებულ t წერტილს სხვა g, left parenthesis, t, right parenthesis წერტილში.
შემდეგ შემოდის f და გარდაქმნის g, left parenthesis, t, right parenthesis წერტილს რიცხვთა ღერძზე არსებულ სხვა f, left parenthesis, g, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis წერტილში.

f, left parenthesis, g, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis-ის წარმოებულის გაგება მოითხოვს იმის გაგებას, თუ როგორ ცვლის t-ის მცირე ცვლილება საბოლოო მნიშვნელობას.

მოდით, გავარკვიოთ, რას გვეუბნება რეალურად ჯაჭვური წესი.

start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, f, left parenthesis, g, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, equals, start color #11accd, start fraction, d, f, divided by, d, g, end fraction, end color #11accd, dot, start color #1fab54, start fraction, d, g, divided by, d, t, end fraction, end color #1fab54

start color #1fab54, start fraction, d, g, divided by, d, t, end fraction, end color #1fab54 გამოსახავს, თუ რა გავლენას ახდენს t-ის მცირე ცვლილება g, left parenthesis, t, right parenthesis შუალედური ფუნქციის მნიშვნელობაზე.
[უფრო ტექნიკურად, თუ შეიძლება!]

start color #11accd, start fraction, d, f, divided by, d, g, end fraction, end color #11accd გამოსახავს, თუ რა გავლენას ახდენს g-ის მცირე ცვლილება f, left parenthesis, g, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis საბოლოო მნიშვნელობაზე.
[უფრო ტექნიკურად, თუ შეიძლება!]

f-ის ჯამური ცვლილება კი ორივე t-ის მცირედი ცვლილებისას ორივე ამ გავლენის ნამრავლი იქნება.
[უფრო ტექნიკურად, თუ შეიძლება!]

ამ ინტუიციის განვრცობა მეტ განზომილებაზე

მრავალცვლადიანი ჯაჭვური წესი ინტუიციურად იგივეა. შეგიძლიათ, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top–ზე იფიქროთ, როგორც რიცხვით ღერძზე წერტილის ასახვაზე x, y სიბრტყეზე და f, left parenthesis, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis–ზე, როგორც ამ წერტილის ასახვაზე ისევ რიცხვითი ღერძის რომელიმე ადგილზე. კითხვა მდგომარეობს შემდეგში: თავდაპირველ t არგუმენტში მცირედი ცვლილება როგორ ცვლის მთლიან f, left parenthesis, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis მნიშვნელობას?

მოდით გავარკვიოთ, რას გვეუბნება მრავალცვლადიანი ჯაჭვური წესი, ჩავწეროთ ის x, left parenthesis, t, right parenthesis და y, left parenthesis, t, right parenthesis საკომპონენტო ფუნქციების ენაზე:

start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, f, left parenthesis, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, equals, start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, f, left parenthesis, x, left parenthesis, t, right parenthesis, comma, y, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis, equals, start color #11accd, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction, end color #11accd, start color #1fab54, start fraction, d, x, divided by, d, t, end fraction, end color #1fab54, plus, start color #11accd, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction, end color #11accd, start color #e84d39, start fraction, d, y, divided by, d, t, end fraction, end color #e84d39

start color #1fab54, start fraction, d, x, divided by, d, t, end fraction, end color #1fab54 გამოსახავს, თუ რა გავლენას ახდენს t-ის მცირე ცვლილება x, left parenthesis, t, right parenthesis შუალედური ფუნქციის მნიშვნელობაზე.
[კონკრეტულად...]

ანალოგიურად, წევრი start color #e84d39, start fraction, d, y, divided by, d, t, end fraction, end color #e84d39 გამოსახავს, თუ რა გავლენას ახდენს t–ის მცირე ცვლილება y, left parenthesis, t, right parenthesis მეორე შუალედური ფუნქციის მნიშვნელობაზე.
[კონკრეტულად...]

start color #11accd, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction, end color #11accd წევრი გვიჩვენებს. თუ რა გავლენას ახდენს f-ის x-კომპონენტის მცირე ცვლილება მის მნიშვნელობაზე. ამის მსგავსად, start color #11accd, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction, end color #11accd წევრი გვიჩვენებს, თუ რა გავლენას ახდენს f-ის y-კომპონენტის მცირე ცვლილება მის მნიშვნელობაზე.
[კონკრეტულად...]

f, left parenthesis, x, left parenthesis, t, right parenthesis-ის შეცვლის ერთი გზა t-ის მცირე ცვლილებით არის ის, რომ ის ჯერ ცვლის x, left parenthesis, t, right parenthesis-ს, ხოლო ეს თავის მხრივ ცვლის f-ს. ეფექტი გამოსახულია start color #11accd, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction, end color #11accd, start color #1fab54, start fraction, d, x, divided by, d, t, end fraction, end color #1fab54 ნამრავლით.
[უფრო ტექნიკურად, თუ შეიძლება!]

სხვა გზა, რომლითაც t-ის ცვლილება იწვევს f, left parenthesis, x, left parenthesis, t, right parenthesis, comma, y, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis არგუმენტის ცვლილებას არის ჯერ შუალედური y, left parenthesis, t, right parenthesis მნიშნელობის შეცვლა, რაც თავის მხრივ ცვლის f არგუმენტს. ეს ეფექტი გამოსახულია start color #11accd, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction, end color #11accd, start color #e84d39, start fraction, d, y, divided by, d, t, end fraction, end color #e84d39 ნამრავლში.
ამ ორი ნამრავლის დამატება იძლევა f–ში მთლიან ცვლილებას.

კავშირი მიმართულებით წარმოებულთან

თქვენ შეიძლებაა შეამჩნიეთ, რომ მრავალცვლადიანი ჯაჭვური წესის სკალარული ნამრავლის ჩანაწერი ძალიან ჰგავს მიმართულებით წარმოებულს:

\begin{aligned} \nabla f(\vec{\textbf{v}}(t)) \cdot \vec{\textbf{v}}'(t) \end{aligned}

ეს სწორედ ისაა! start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, prime, left parenthesis, t, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis წარმოებული კონკრეტულ t, start subscript, 0, end subscript მნიშვნელობაში იძლევა ვექტორს f–ის განსაზღვრის არეში:

\begin{aligned} \vec{\textbf{v}}'(t_0) = \left[ \begin{array}{c} x'(t_0) \\\\ y'(t_0) \end{array} \right] \end{aligned}

თუ start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis განიხილება, როგორც პარამეტრული წირი ამ სივრცეში, დავუშვათ, ნაწილაკის ტრაექტორია, წარმოებული გარკვეულ t, start subscript, 0, end subscript მომენტში გვაძლევს ამ ნაწილაკის სიჩქარის ვექტორს.

ამ ინტერპრეტაციით, ჯაჭვური წესი გვეუბნება, რომ f, left parenthesis, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis კომპოზიციის წარმოებული არის f-ის მიმართულებითი წარმოებული start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis წარმოებულის გასწვრივ.

ეს საკმაოდ ინტუიციურია, რადგან t-ის მცირე ცვლილება d, t-თი, წარმოებულის არსის თანახმად, უნდა იწვევდეს მცირე d, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top ცვლილებას start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis მნიშვნელობაში. მიმართულებითი წარმოებულის აზრი კი ისაა, რომ f მნიშვნელობის მცირედი d, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top ცვლილება იწვევს d, f ცვლილებას, რომლიც განისაზღვრება start fraction, \partial, f, divided by, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end fraction, equals, del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f ტოლობით.

მაგალითი 1: ახალი ჯაჭვური წესით და მის გარეშე

განვსაზღვროთ f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis შემდეგნაირად:

\begin{aligned} f(x, y) = x^2y \end{aligned}

და განვსაზღვროთ start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis შემდეგნაირად:

\begin{aligned} \vec{\textbf{v}}(t) = \left[ \begin{array}{c} \cos(t) \\\\ \sin(t) \end{array} \right] \end{aligned}

იპოვეთ start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, f, left parenthesis, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis წარმოებული.

ამონახსნი ჯაჭვური წესის გარეშე:

სანამ ჩენს ახალ იარაღს გამოვიყენებდეთ, უნდა აღვნიშნოთ, რომ ამ ამოცანის გადასაჭრელად კომპოზიციის t ერთცვლადიან ფუნქციად ჩაწერაც შეგვიძლია.

\begin{aligned} f(\vec{\textbf{v}}(t)) &= f(\cos(t), \sin(t)) \\\\ &= \cos(t)^2\sin(t) \end{aligned}

ახლა თქვენ ჩვეულებრივი გაწარმოების ჩატარება შეგიძლიათ:

\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{d}{dt} \cos(t)^2\sin(t) \\\\ &= \cos(t)^2(\cos(t)) + 2\cos(t)(-\sin(t))\sin(t) \\\\ &=\boxed{ \cos^3(t) - 2\cos(t)\sin^2(t)} \end{aligned}

მაგრამ, რა თქმა უნდა, ამ მაგალითის მიზანი არის, ინტუიციურ დონეზე გაგააზრებინოთ ჯაჭვური წესი

ამონახსნი ჯაჭვური წესის გამოყენებით:

პირველ რიგში ჩამოვაყალიბოთ start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis–ის კომპონენტური ფუნქციები:

\begin{aligned} x(t) &= \cos(t) \\\\ y(t) &= \sin(t) \end{aligned}

ჯაჭვური წესის მიხედვით,

\begin{aligned} \dfrac{d}{dt} f(\vec{\textbf{v}}(t)) &= \dfrac{\partial f}{\partial x} \dfrac{dx}{dt} + \dfrac{\partial f}{\partial y} \dfrac{dy}{dt} \end{aligned}

f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, y კერძო და x, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, t, right parenthesis, y, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, t, right parenthesis ჩვეულებრივი გაწარმოებების ჩატარებით მივიღებთ

\begin{aligned} &\quad \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}(\blueE{x}^2 y) \dfrac{d}{dt}(\cos(t)) + \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}(x^2 \redE{y}) \dfrac{d}{dt}(\sin(t)) \\\\ &= (2\blueE{x}y)(-\sin(t)) + (x^2)(\cos(t)) \end{aligned}

ჩენ ყველაფერი გვინდა t ცვლადის ენაზე, ამიტომ შევიტანოთ x, equals, cosine, left parenthesis, t, right parenthesis და y, equals, sine, left parenthesis, t, right parenthesis.

\begin{aligned} &(2\blueE{x}y)(-\sin(t)) + (x^2)(\cos(t)) \\\\ &(2\cos(t)\sin(t))(-\sin(t)) + (\cos(t)^2)\cos(t) \\\\ = &\boxed{-2\cos(t)\sin^2(t) + \cos^3(t)} \end{aligned}

ვრწმუნდებით, რომ ეს ზუსტად იგივე პასუხია, რაც ჯაჭვური წესის გარეშე მივიღეთ. თქვენ შესაძლოა ფიქრობთ, რომ ეს ახალი ჯაჭვური წესი ყველაფერს არასაჭიროდ ართულებს, თუმცა საიდუმლო ისაა, რომ ასეთ შემთხვევებში ჯაჭვური წესი მართლაც არ გვჭირდება.

თუმცა, ეს გამოსადეგია უცნობი ფუნქციის მიმართ განტოლებების დაწერისთვის, როგორც ამას შემდეგი მაგალითი გვაჩვენებს.

მაგალითი 2: უცნობი ფუნქცია

დავუშვათ, რომ გარკვეულ ორგანზომილებიან რეგიონში ტემპერატურა იცვლება T, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis უცნობი კანონით. თქვენ ამ რეგიონში ზომავთ ტემპერატურებს და თქვენი x და y კოორდინატები იცვლება კანონით

\begin{aligned} x(t) &= 30\cos(2t) \\\\ y(t) &= 40\sin(3t) \end{aligned}

ტემპერატურების გაზომვისას ამჩნევთ, რომ თქვენს გზაზე ის არასდროს არ იცვლება. რისი თქმა შეგიძლიათ T-ის კერძო წარმოებულებზე?

[ამოხსნა]

შეჯამება

მოცემულია f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis მრავალცვლადიანი ფუნქცია და ორი ერთცვლადიანი ფუნქცია, x, left parenthesis, t, right parenthesis და y, left parenthesis, t, right parenthesis, მრავალცვლადიანი ჯაჭვური წესი გვეუბნება:

\underbrace{ \dfrac{d}{dt} f(\blueD{x}(t), \redE{y}(t)) }_{\text{კომპოზიციის ფუნქციის წარმოებული}} \!\!\!\!\!\! = \dfrac{\partial f}{\partial \blueD{x}} \dfrac{d\blueD{x}}{dt} + \dfrac{\partial f}{\partial \redE{y}} \dfrac{d\redE{y}}{dt}

ვექტორულ აღნიშვნებში ჩაწერილ ამ წესს, სადაც $\vec{\textbf{v}}(t) = \left[\begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right]$ , ძალიან ელეგანტური ფორმა აქვს f-ის გრადიენტის და start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis-ის ვექტორული წარმოებულის ენაზე.

\underbrace{ \dfrac{d}{dt} f(\vec{\textbf{v}}(t)) }_{\text{რთული ფუნქციის წარმოებული}} \!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\!\! = \overbrace{ \nabla f \cdot \vec{\textbf{v}}'(t) }^{\text{ვექტორების სკალარული ნამრავლი}}

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.