If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

მრავალცვლადიანი ჯაჭვის წესი, მარტივი ვარიანტი

ჯაჭვური წესი წარმოებულებისთვის შეიძლება, განვაზოგადოთ უფრო მაღალი განზომილებებისთვის. აქ ვხედავთ, როგორ გამოიყურება ის შედარებით მარტივი შემთხვევისთვის, სადაც კომპოზიცია არის ერთცვლადიანი ფუნქცია.

რის აგებას ვცდილობთ

  • მოცემულია f(x,y) მრავალცვლადიანი ფუნქცია და ორი ერთცვლადიანი ფუნქცია, x(t) და y(t), მრავალცვლადიანი ჯაჭვური წესი გვეუბნება:
ddtf(x(t),y(t))კომპოზიციის ფუნქციის წარმოებული=fxdxdt+fydydt
ddtf(v(t))რთული ფუნქციის წარმოებული=fv(t)ვექტორების სკალარული ნამრავლი

უფრო ზოგადი ჯაჭვური წესი

როგორც ხვდებით, მრავალცვლადიანი ჯაჭვური წესი არის ერთცვლადიანი ჯაჭვური წესის განზოგადება. ერთცვლადიანი ჯაჭვური წესი გეუბნებათ, თუ როგორ უნდა გააწარმოოთ ორი ფუნქციის კომპოზიცია.
ddtf(g(t))=dfdgdgdt=f(g(t))g(t)
რა მოხდება, თუ ერთცვლადიანი t არგუმენტის ნაცვლად ფუნქცია f იღებს ორცვლადიან (x,y) არგუმენტს?
f(x,y)=გარკვეული გამოსახულება ცვლადებისა x და y
კარგი, ამ შემთხვევაში რთული ფუნქციის შედგენა სკალარული g(t) ფუნქციით არ იქნებოდა ლოგიკური. ამის ნაცვლად, მოდით, ვთქვათ, რომ გვაქვს ორი სხვადასხვა სკალარული ფუნქცია x(t) და y(t), რომელთაც ვიღებთ f ფუნქციის კოორდინატებად. ჯამური კომპოზიცია გამოვა ერთცვლადიანი ფუნქცია f(x(t),y(t)) ერთცვლადიანი არგუმენტითა და ერთცვლადიანი მნიშვნელობით f(x(t),y(t)), როგორც დიაგრამაზეა ნაჩვენები:
ერთი საბოლოო მნიშვნელობაf(x(t),y(t))ორი საშუალედო მნიშვნელობაx(t)y(t)ერთი არგუმენტიt
აქ ისევ გვაქვს ჯაჭვური წესი, რომელიც ამ ახალი ერთვცლადიანი ფუნქციის, f(x(t),y(t)), წარმოებულის გამოთვლის საშუალებას გვაძლევს, ის შეიცავს f ფუნქციის კერძო წარმოებულებს.
როგორ  იცვლებაfროგორ  იცვლებაxმცირემცირეცვლილებით xცვლილებით tddtf(x(t),y(t))=fxdxdt+fydydtეს არის ჩვეულებრივი წარმოებული,ჯამური ცვლილება fჯამური ცვლილება fდა არა კერძო წარმოებული tგავლენით, რომელიცგავლენით, რომელიცრადგანაც მთლიან კომპოზიციას აქვს ერთი არგუმენტი და ერთი მნიშვნელობაt აქვს xt აქვს y
გაითვალისწინეთ, გამოსახულება fxdxdt არის შემოკლებული ვერსია გამოსახულებისა
fx(x(t),y(t))dxdt(t)
ეს ნიშნავს, რომ ორივე არის t ცვლადის ფუნქცია, თუმცა fx გამოითვლება x(t) და y(t) შუალედური ფუნქციებით.

ჩაწერილი ვექტორულ აღნიშვნებში

იმის მაგივრად, რომ x(t)-სა და y(t)-ზე ვიფიქროთ, როგორც განცალკევებულ ფუნქციებზე, ძალიან ხშირად მათ აერთიანებენ ერთ ვექტორულ ფუნქციაში.
v(t)=[x(t)y(t)]
ამის შემდეგ f(x(t),y(t)) კომპოზიციის ჩაწერის ნაცვლად, შეგიძლიათ, ჩაწეროთ f(v(t)).
ამ აღნიშვნებში მრავალცვლადიანი ჯაჭვური წესი შეიძლება უფრო კომპაქტურად ჩაიწეროს, როგორც f-ის გრადიენტისა და v(t)-ის ვექტორული წარმოებულის სკალარული ნამრავლი.
ddtf(v(t))=fx(v(t))dxdt+fy(v(t))dydtეს ჯამი ჩაწერეთ სკალარული ნამრავლის სახით=[fx(v(t))fy(v(t))]f(v(t))[dxdtdydt]v(t)=f(v(t))v(t)
ასეთ ჩანაწერში ანალოგია ერთცვლადიან წარმოებულთან უფრო ცხადი ხდება.
ddtf(g(t))=f(g(t))g(t)=dfdgdgdt
f გრადიენტი თამაშობს f-ის წარმოებულის როლს, ხოლო v(t) ვექტორული წარმოებული თამაშობს g-ის ჩვეულებრივი წარმოებულის როლს.

ინტუიცია, თუ რატომ მუშაობს ჯაჭვური წესი

გახურებისთვის განვიხილოთ ერთცვლადიანი ჯაჭვური წესი f(g(t)) კომპოზიციისთვის. აი, როგორ მესმის მე ეს კომპოზიცია:
  • თავდაპირველად g გარდაქმნის რიცხვთა ღერძზე არსებულ t წერტილს სხვა g(t) წერტილში.
  • შემდეგ შემოდის f და გარდაქმნის g(t) წერტილს რიცხვთა ღერძზე არსებულ სხვა f(g(t)) წერტილში.
f(g(t))-ის წარმოებულის გაგება მოითხოვს იმის გაგებას, თუ როგორ ცვლის t-ის მცირე ცვლილება საბოლოო მნიშვნელობას.
f-ისა და g-ის კომპოზიცია
მოდით, გავარკვიოთ, რას გვეუბნება რეალურად ჯაჭვური წესი.
ddxf(g(t))=dfdgdgdt

ამ ინტუიციის განვრცობა მეტ განზომილებაზე

მრავალცვლადიანი ჯაჭვური წესი ინტუიციურად იგივეა. შეგიძლიათ, v–ზე იფიქროთ, როგორც რიცხვით ღერძზე წერტილის ასახვაზე xy სიბრტყეზე და f(v(t))–ზე, როგორც ამ წერტილის ასახვაზე ისევ რიცხვითი ღერძის რომელიმე ადგილზე. კითხვა მდგომარეობს შემდეგში: თავდაპირველ t არგუმენტში მცირედი ცვლილება როგორ ცვლის მთლიან f(v(t)) მნიშვნელობას?
f-ისა და textbfv-ის კომპოზიცია
მოდით გავარკვიოთ, რას გვეუბნება მრავალცვლადიანი ჯაჭვური წესი, ჩავწეროთ ის x(t) და y(t) საკომპონენტო ფუნქციების ენაზე:
ddtf(v(t))=ddtf(x(t),y(t))=fxdxdt+fydydt
  • dxdt გამოსახავს, თუ რა გავლენას ახდენს t-ის მცირე ცვლილება x(t) შუალედური ფუნქციის მნიშვნელობაზე.
  • ანალოგიურად, წევრი dydt გამოსახავს, თუ რა გავლენას ახდენს t–ის მცირე ცვლილება y(t) მეორე შუალედური ფუნქციის მნიშვნელობაზე.
  • fx წევრი გვიჩვენებს. თუ რა გავლენას ახდენს f-ის x-კომპონენტის მცირე ცვლილება მის მნიშვნელობაზე. ამის მსგავსად, fy წევრი გვიჩვენებს, თუ რა გავლენას ახდენს f-ის y-კომპონენტის მცირე ცვლილება მის მნიშვნელობაზე.
  • f(x(t)-ის შეცვლის ერთი გზა t-ის მცირე ცვლილებით არის ის, რომ ის ჯერ ცვლის x(t)-ს, ხოლო ეს თავის მხრივ ცვლის f-ს. ეფექტი გამოსახულია fxdxdt ნამრავლით.
  • სხვა გზა, რომლითაც t-ის ცვლილება იწვევს f(x(t),y(t)) არგუმენტის ცვლილებას არის ჯერ შუალედური y(t) მნიშნელობის შეცვლა, რაც თავის მხრივ ცვლის f არგუმენტს. ეს ეფექტი გამოსახულია fydydt ნამრავლში.
  • ამ ორი ნამრავლის დამატება იძლევა f–ში მთლიან ცვლილებას.

კავშირი მიმართულებით წარმოებულთან

თქვენ შეიძლებაა შეამჩნიეთ, რომ მრავალცვლადიანი ჯაჭვური წესის სკალარული ნამრავლის ჩანაწერი ძალიან ჰგავს მიმართულებით წარმოებულს:
f(v(t))v(t)
წარმოებული არის ტრაექტორიის მხები სიჩქარის ვექტორი.
ეს სწორედ ისაა! v(t0) წარმოებული კონკრეტულ t0 მნიშვნელობაში იძლევა ვექტორს f–ის განსაზღვრის არეში:
v(t0)=[x(t0)y(t0)]
თუ v(t) განიხილება, როგორც პარამეტრული წირი ამ სივრცეში, დავუშვათ, ნაწილაკის ტრაექტორია, წარმოებული გარკვეულ t0 მომენტში გვაძლევს ამ ნაწილაკის სიჩქარის ვექტორს.
ამ ინტერპრეტაციით, ჯაჭვური წესი გვეუბნება, რომ f(v(t)) კომპოზიციის წარმოებული არის f-ის მიმართულებითი წარმოებული v(t) წარმოებულის გასწვრივ.
ეს საკმაოდ ინტუიციურია, რადგან t-ის მცირე ცვლილება dt-თი, წარმოებულის არსის თანახმად, უნდა იწვევდეს მცირე dv ცვლილებას v(t) მნიშვნელობაში. მიმართულებითი წარმოებულის აზრი კი ისაა, რომ f მნიშვნელობის მცირედი dv ცვლილება იწვევს df ცვლილებას, რომლიც განისაზღვრება fv=vf ტოლობით.

მაგალითი 1: ახალი ჯაჭვური წესით და მის გარეშე

განვსაზღვროთ f(x,y) შემდეგნაირად:
f(x,y)=x2y
და განვსაზღვროთ v(t) შემდეგნაირად:
v(t)=[cos(t)sin(t)]
იპოვეთ ddtf(v(t)) წარმოებული.
ამონახსნი ჯაჭვური წესის გარეშე:
სანამ ჩენს ახალ იარაღს გამოვიყენებდეთ, უნდა აღვნიშნოთ, რომ ამ ამოცანის გადასაჭრელად კომპოზიციის t ერთცვლადიან ფუნქციად ჩაწერაც შეგვიძლია.
f(v(t))=f(cos(t),sin(t))=cos(t)2sin(t)
ახლა თქვენ ჩვეულებრივი გაწარმოების ჩატარება შეგიძლიათ:
=ddtcos(t)2sin(t)=cos(t)2(cos(t))+2cos(t)(sin(t))sin(t)=cos3(t)2cos(t)sin2(t)
მაგრამ, რა თქმა უნდა, ამ მაგალითის მიზანი არის, ინტუიციურ დონეზე გაგააზრებინოთ ჯაჭვური წესი
ამონახსნი ჯაჭვური წესის გამოყენებით:
პირველ რიგში ჩამოვაყალიბოთ v(t)–ის კომპონენტური ფუნქციები:
x(t)=cos(t)y(t)=sin(t)
ჯაჭვური წესის მიხედვით,
ddtf(v(t))=fxdxdt+fydydt
f(x,y)=x2y კერძო და x(t)=cos(t), y(t)=sin(t) ჩვეულებრივი გაწარმოებების ჩატარებით მივიღებთ
x(x2y)ddt(cos(t))+y(x2y)ddt(sin(t))=(2xy)(sin(t))+(x2)(cos(t))
ჩენ ყველაფერი გვინდა t ცვლადის ენაზე, ამიტომ შევიტანოთ x=cos(t) და y=sin(t).
(2xy)(sin(t))+(x2)(cos(t))(2cos(t)sin(t))(sin(t))+(cos(t)2)cos(t)=2cos(t)sin2(t)+cos3(t)
ვრწმუნდებით, რომ ეს ზუსტად იგივე პასუხია, რაც ჯაჭვური წესის გარეშე მივიღეთ. თქვენ შესაძლოა ფიქრობთ, რომ ეს ახალი ჯაჭვური წესი ყველაფერს არასაჭიროდ ართულებს, თუმცა საიდუმლო ისაა, რომ ასეთ შემთხვევებში ჯაჭვური წესი მართლაც არ გვჭირდება.
თუმცა, ეს გამოსადეგია უცნობი ფუნქციის მიმართ განტოლებების დაწერისთვის, როგორც ამას შემდეგი მაგალითი გვაჩვენებს.

მაგალითი 2: უცნობი ფუნქცია

დავუშვათ, რომ გარკვეულ ორგანზომილებიან რეგიონში ტემპერატურა იცვლება T(x,y) უცნობი კანონით. თქვენ ამ რეგიონში ზომავთ ტემპერატურებს და თქვენი x და y კოორდინატები იცვლება კანონით
x(t)=30cos(2t)y(t)=40sin(3t)
ტემპერატურების გაზომვისას ამჩნევთ, რომ თქვენს გზაზე ის არასდროს არ იცვლება. რისი თქმა შეგიძლიათ T-ის კერძო წარმოებულებზე?

შეჯამება

  • მოცემულია f(x,y) მრავალცვლადიანი ფუნქცია და ორი ერთცვლადიანი ფუნქცია, x(t) და y(t), მრავალცვლადიანი ჯაჭვური წესი გვეუბნება:
ddtf(x(t),y(t))კომპოზიციის ფუნქციის წარმოებული=fxdxdt+fydydt
ddtf(v(t))რთული ფუნქციის წარმოებული=fv(t)ვექტორების სკალარული ნამრავლი

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.