ძირითადი მასალა

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 2

გაკვეთილი 8: ვექტორული ფუნქციების გაწარმოება (სტატიები)

ვექტორული ფუნქციების წარმოებულები

Google–ის საკლასო ოთახი

როგორ გამოვთვალოთ და როგორ წარმოვადგინოთ ვექტორული მნიშვნელობის მქონე ფუნქციის წარმოებული.

ფონი

რის აგებას ვცდილობთ

ვექტორული ფუნქციის წარმოებულის მისაღებად აიღეთ თითეული კომპონენტის წარმოებული:
$\begin{array}{r} \frac{d}{d t} [\begin{array}{c} x (t) \\ y (t) \end{array}] = [\begin{array}{c} x^{'} (t) \\ y^{'} (t) \end{array}] \end{array}$ ‍
თუ თავდაპირველ ფუნქციას ისე წარმოადგენთ, რომ ნაწილაკის მდებარობა დროის ფუნქცია იყოს, წარმოებული გვაძლევს ამ ნაწილაკის სიჩქარის ვექტორის, როგორც - დროის ფუნქციას.

ვექტორული ფუნქციის წარმოებული

კარგი ამბავია! ვექტორული ფუნქციის გამოთვლაში ახალი არაფერი არ არის. შესაბამისად, ეს სტატია მოკლე იქნება. აქ ახალი საკვანძო საკითხია ვექტორის წარმოებულის ინტერპრეტირება.

ჩავეფლოთ მაგალითის გამოყენებით

მოდით, დავიწყოთ შედარებით მარტივი ვექტორული ფუნქციით,

\vec{s} (t)

-თი, სადაც მხოლოდ ორი კომპონენტია,

$\begin{array}{r} \vec{s} (t) = [\begin{array}{c} 2 \sin (t) \\ 2 \cos (t / 3) t \end{array}] \end{array}$ ‍

\vec{s}

-ის წარმოებულის მისაღებად აიღეთ თითეული კომპონენტის წარმოებული:

$\begin{aligned} \frac{d \vec{s}}{d t} (t) & = [\begin{array}{c} \frac{d}{d t} (2 \sin (t)) \\ \frac{d}{d t} (2 \cos (t / 3)) t \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} 2 \cos (t) \\ 2 \cos (t / 3) - \frac{2}{3} \sin (t / 3) t \end{array}] \end{aligned}$ ‍

ეს ასევე შეგიძლიათ, ჩაწეროთ

{\vec{s}}^{'} (t)

-ის წარმოებულის სახით. ეს წარმოებული არის ახალი ვექტორული ფუნქცია, რომელსაც იგივე

t

არგუმენტი აქვს, რაც -

\vec{s}

-ს და რომლის მნიშვნელობასაც იგივე რაოდენობის განზომილება აქვს.

უფრო ზოგადად, თუ

\vec{s}

-ის კომპონნენტებს ჩავწერთ

x (t)

და

y (t)

სახით, მის წარმოებულს შემდეგნაირად ჩავწერთ:

$\begin{array}{r} {\vec{s}}^{'} (t) = [\begin{array}{c} x^{'} (t) \\ y^{'} (t) \end{array}] \end{array}$ ‍

წარმოებული გვაძლევს სიჩქარის ვექტორს.

ზემოთ მოცემული მაგალითიდან როგორ შეგვიძლია, გამოვსახოთ, რას ნიშნავს წარმოებული? პირველ რიგში, რომ გამოვსახოთ

$\begin{array}{r} \vec{s} (t) = [\begin{array}{c} 2 \sin (t) \\ 2 \cos (t / 3) t \end{array}] \end{array}$ ‍

ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ მნიშვნელობას არგუმენტზე მეტი განზომილება აქვს, ასე რომ, მისი გამოსახვა მართებული იქნება პარამეტრული ფუნქციის სახით.

მრუდზე თითოეული წერტილი წარმოადგენს

[\begin{matrix} 2 \sin (t_{0}) \\ 2 \cos (t_{0} / 3) t_{0} \end{matrix}]

ვექტორის წვეროს რაიმე კონკრეტული

t_{0}

-ისთვის. მაგალითად, როცა

t_{0} = 2

, ვექტორს შემდეგ წერტილზე ვავლებთ

\begin{array}{r} \vec{s} (2) = [\begin{array}{c} 2 \sin (2) \\ 2 \cos (2 / 3) \cdot 2 \end{array}] \approx [\begin{array}{c} 1,819 \\ 3,144 \end{array}] \end{array}

როცა ამას გავაკეთებთ

t

-ს ყველა შესაძლო მნიშვნელობისთვის,

\vec{s} (t)

ვექტორების წვეროები კონკრეტულ მრუდს შემოწერენ:

რას მივიღებთ, თუ ჩავსვამთ

t

-ს რაიმე მნიშვნელობას, თუნდაც ისევ

2

-ს, წარმოებულში?

\begin{aligned} \frac{d \vec{s}}{d t} (2) & = [\begin{array}{c} 2 \cos (2) \\ 2 \cos (2 / 3) - \frac{2}{3} \sin (2 / 3) \cdot 2 \end{array}] \\ \approx [\begin{array}{c} - 0,832 \\ 0,747 \end{array}] \end{aligned}

ესეც რაღაც ორგანზომილებიანი ვექტორია.

ძნელია იმის დანახვა, თუ რას წარმოადგენს ეს წარმოებული ვექტორი, როცა იგი სათავეზე დგას, მაგრამ თუ მას ისე გადავაადგილებთ, რომ ბოლო მოხვდება

\vec{s} (2)

ვექტორის წვეროზე, შესანიშნავ ინტერპრეტაციას მივიღებთ:

თუ $\vec{s} (t)$ ‍ წარმოადგენს მოძრავი ნაწილაკის მდებარეობას, როგორც - დროის ფუნქციას, $\frac{d \vec{s}}{d t} (t_{0})$ ‍ არის ამ ნაწილაკის სიჩქრის ვექტორი $t_{0}$ ‍ დროისთვის.
წარმოებული არის მრუდის მხები სიჩქარის ვექტორი.

კონკრეტულად ეს იმას ნიშნავს, რომ ვექტორის მიმართულება მრუდის მხებია და მისი აბსოლუტური სიდიდე გვიჩვენებს სიჩქარეს, რომლითაც ნაწილაკი მოძრაობს ამ მრუდზე, როცა

t

იზრდება მუდმივი ტემპით (დრო სწორედ ასე იქცევა).

კონცეფციის შემოწმება: დავუშვათ, ნაწილაკის მდებარეობა ორგანზომილებიან სივრცეში, როგორც ფუნქციის დრო, მოცემულია შემდეგი ფუნქციით

\begin{array}{r} \vec{s} (t) = [\begin{array}{c} t^{2} \\ t^{3} \end{array}] \end{array}

რა არის

\frac{d \vec{s}}{d t}

რას უდრის ნაწილაკის სიჩქარე

t = 3

-ზე?

შეჯამება

ვექტორული ფუნქციის წარმოებულის მისაღებად აიღეთ თითეული კომპონენტის წარმოებული.
თუ თავდაპირველ ფუნქციას ისე წარმოადგენთ, რომ ნაწილაკის მდებარობა დროის ფუნქცია იყოს, წარმოებული გვაძლევს ამ ნაწილაკის სიჩქარის ვექტორის, როგორც - დროის ფუნქციას.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.