სამმაგი ინტეგრალები

ფონი

• ორმაგი ინტეგრალები მოცულობის მიღმა

რის აგებას ვცდილობთ

• სამმაგი ინტეგრალები ზუსტად ჰგავს ორმაგ ინტეგრალებს, მაგრამ სამ განზომილებაში. ესენი აბსტრაქტულად შემდგნაირად იწერება

  $\begin{aligned} \iiint_\blueE{R} f \, \redE{dV} \end{aligned}$

  სადაც
  • $\blueE{R}$start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 არის რაიმე რეგიონი სამგანზომილებიან სივრცეში.
  • $f(x, y, z)$f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis არის რაიმე სკალარული ფუნქცია, რომელიც წერტილებს იღებს სამგანზომილებიან სივრცეში, როგორც - არგუმენტებს.
  • $\redE{dV}$start color #bc2612, d, V, end color #bc2612 არის მოცულობის უმცირესი ერთეული. დეკარტულ კოორდინატებში ეს იშლება $\redE{dV} = dx\,dy\,dz$start color #bc2612, d, V, end color #bc2612, equals, d, x, d, y, d, z სახით.
• კონკრეტულად, ესენი გამოითვლება სამი მიმბული ინტეგრალის სახით:

  $\begin{aligned} \int_{z_1}^{z_2} \underbrace{ \int_{y_1(z)}^{y_2(z)} \overbrace{ \int_{x_1(y, z)}^{x_2(y, z)} f(x, y, z) \,dx }^{\text{ეს არის მხოლოდ $y$-ისა და $z$-ის ფუნქცია}}\,dy }_{\text{ეს არის მხოლოდ $z$-ის ფუნქცია}}\;dz \end{aligned}$

  როგორც ორმაგი ინტეგრალების შემთხვევაში, შიდა ინტეგრალების საზღვრები შეიძლება, იყოს გარე ცვლადების ფუნქციები. სწორედ საზღვრების ფუნქციები ახდენს $\blueE{R}$start color #0c7f99, R, end color #0c7f99-ის ფორმის კოდირებას.
• სამგანზომილებიანი ინტეგრალი გამოიყენეთ ყოველთვის, როცა გრძნობა გექნებათ, რომ სამგანზომილებიანი რეგიონის უსასრულოდ პატარა ნაჭრებად დაშლაა საჭირო, თითეული ნაჭერი შეუსაბამეთ მნიშვნელობას და დააჯამეთ. ერთ-ერთი შემთხვევა, როცა ეს ძალიან გვადგება, არის შემთხვევა, როცა სამგანზომილებიანი რეგიონის მოცულობის პოვნა გვინდა უმცირესი $dV$d, V მოცულობების შეკრებით.
• როგორც ორმაგი ინტეგრალების შემთხვევაში, რთული ნაწილია იმ საზღვრების სწორად პოვნა, რომლებიც რეგიონის კოდირებას ახდენს. ამისთვის საჭიროა ვარჯიში და სურვილი, ძალა მოიკრიბოთ და სრულად ჩაეფლოთ ამოცანაში.

მაგალითი 1: მართკუთხა პრიზმა ცვლადი სიმკვრივით

• ერთი წვერო დგას სათავეზე.
• ერთ-ერთი ისეთი წიბო, რომლის სიგრძეა $3$3, მდებარობს დადებით $x$x ღერძზე.
• ერთ-ერთი ისეთი წიბო, რომლის სიგრძეა $2$2, მდებარეობს დადებით $y$y ღერძზე.
• ერთ-ერთი ისეთი წიბო, რომლის სიგრძეა $5$5, მედაბერეობს დადებით $z$z ღერძზე.

საკვანძო შეკითხვა: რას უდრის მთლიანი ლოდის მასა?

• დაჭერით სიბრტყეებით, რომლებიც წარმოადგენენ $\blueE{x}$start color #0c7f99, x, end color #0c7f99-ის მუდმივ მნიშვნელობებს.
• დაჭერით სიბრტყეებით, რომლებიც წარმოადგენენ $\redE{y}$start color #bc2612, y, end color #bc2612-ის მუდმივ მნიშვნელობებს.
• დაჭერით სიბრტყეებით, რომლებიც წარმოადგენენ $\greenE{z}$start color #0d923f, z, end color #0d923f-ის მუდმივ მნიშვნელობებს.

• შიდა ინტეგრალზე შეგიძლიათ, იფიქროთ, როგორც $x$x ღერძის პარალელურ წრფეებზე უმცირესი მასების შეკრებაზე. იგი გვაძლევს $y$y-ისა და $z$z-ის რაიმე გამოსახულებას, რაც შემდეგს ამბობს:

  „თქვენი წრფის, რომელიც $x$x ღერძის პარალელურია, $y$y და $z$z კოორდინატების არჩევაზე დაყრდნობით, ეს იქნება უსასრულოდ პატარა მასების ჯამი.“

• შემდეგი ინტეგრალი $y$y-ის მიმართ კრებს $y$y მიმართულებით ამ წრფეების უსასრულოდ მცირე მასებს, რაც გვაძლევს $xy$x, y სიბრტყის პარალელური ფირფიტების უსასრულოდ მცირე მასებს. ეს მოგვცემს გამოსახულებას $z$z-ის მიმართ, რომელიც ამბობს:

  „$xy$x, y სიბრტყეს ზევით თქვენი ფირფიტის სიმაღლეზე დაყრდნობით, ეს იქნება მისი უსასრულოდ მცირე მასა.“

• გარე ინტეგრალი კრებს ამ ფირფიტების მასებს, როცა $z$z მოძრაობს $0$0-დან $5$5-მდე. ეს გვაძლევს მუდმივას, რომელიც არის მეტალის ლოდის მთლიანი (უკვე არა უსასრულოდ მცირე) მასა.

მაგალითი 2: მოცულობის გამოსათვლელად სამმაგი ინტეგრალის გამოყენება.

• პარაბეოლიდი $z = x^2 + y^2$z, equals, x, squared, plus, y, squared
• სიბრტყე $z = 2(x + y + 1)$z, equals, 2, left parenthesis, x, plus, y, plus, 1, right parenthesis

აირჩიეთ 1 პასუხი:

აირჩიეთ 1 პასუხი:

• (Choice A)  

  წრე $(1, 1)$left parenthesis, 1, comma, 1, right parenthesis ცენტრითა და $2$2 რადიუსით

  A

  წრე $(1, 1)$left parenthesis, 1, comma, 1, right parenthesis ცენტრითა და $2$2 რადიუსით
• (Choice B)  

  წრე $(-1, -1)$left parenthesis, minus, 1, comma, minus, 1, right parenthesis ცენტრითა და $4$4 რადიუსით

  B

  წრე $(-1, -1)$left parenthesis, minus, 1, comma, minus, 1, right parenthesis ცენტრითა და $4$4 რადიუსით

შემოწმება

[პასუხი]

მაგალითი 3: კონუსური რეგიონის მოცულობა

„მაგრამ მოიცადეთ“

„უკვე ვიცი კონუსის მოცულობის გამოთვლა!“

აირჩიეთ 1 პასუხი:

აირჩიეთ 1 პასუხი:

• (Choice A)  

  $\begin{aligned} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \int_{?}^{?} \int_{?}^{?} \,dx \,dz \,dy \end{aligned}$

  A

  $\begin{aligned} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \int_{?}^{?} \int_{?}^{?} \,dx \,dz \,dy \end{aligned}$
• (Choice B)  

  $\begin{aligned} \int_{?}^{?} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \int_{?}^{?} \,dx \,dy \,dz \end{aligned}$

  B

  $\begin{aligned} \int_{?}^{?} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \int_{?}^{?} \,dx \,dy \,dz \end{aligned}$
• (Choice C)  

  $\begin{aligned} \int_{?}^{?} \int_{?}^{?} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \,dy \,dx \,dz \end{aligned}$

  C

  $\begin{aligned} \int_{?}^{?} \int_{?}^{?} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \,dy \,dx \,dz \end{aligned}$

შემოწმება

[პასუხი]

აირჩიეთ 1 პასუხი:

აირჩიეთ 1 პასუხი:

• (Choice A)  

  $R$R-ის მოცემული $(x, y, z)$left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis წერტილისთვის, $x$x და $z$z კოორდინატებმა უნდა დააკმაყოფილოს $0 = 2 - \sqrt{x^2 + z^2}$0, equals, 2, minus, square root of, x, squared, plus, z, squared, end square root განტოლება

  A

  $R$R-ის მოცემული $(x, y, z)$left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis წერტილისთვის, $x$x და $z$z კოორდინატებმა უნდა დააკმაყოფილოს $0 = 2 - \sqrt{x^2 + z^2}$0, equals, 2, minus, square root of, x, squared, plus, z, squared, end square root განტოლება
• (Choice B)  

  დავუშვათ, $R_{xz}$R, start subscript, x, z, end subscript არის ყველა ისეთი $(x, z)$left parenthesis, x, comma, z, right parenthesis წერტილის ერთობლიობა, რომელთათვისაც $(x, y, z)$left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis არის წერტილი $R$R-ში $y$y-ის რაიმე მნიშვნელობისთვის. $R_{xz}$R, start subscript, x, z, end subscript შემოსაზღვრულია მრუდით, რომელსაც აღწერს $0 = 2-\sqrt{x^2 + z^2}$0, equals, 2, minus, square root of, x, squared, plus, z, squared, end square root განტოლება

  B

  დავუშვათ, $R_{xz}$R, start subscript, x, z, end subscript არის ყველა ისეთი $(x, z)$left parenthesis, x, comma, z, right parenthesis წერტილის ერთობლიობა, რომელთათვისაც $(x, y, z)$left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis არის წერტილი $R$R-ში $y$y-ის რაიმე მნიშვნელობისთვის. $R_{xz}$R, start subscript, x, z, end subscript შემოსაზღვრულია მრუდით, რომელსაც აღწერს $0 = 2-\sqrt{x^2 + z^2}$0, equals, 2, minus, square root of, x, squared, plus, z, squared, end square root განტოლება

შემოწმება

[პასუხი]

აირჩიეთ 1 პასუხი:

აირჩიეთ 1 პასუხი:

• (Choice A)  

  $2$2-ის ტოლი რადიუსის მქონე წრე.

  A

  $2$2-ის ტოლი რადიუსის მქონე წრე.
• (Choice B)  

  $\sqrt{2}$square root of, 2, end square root-ის ტოლი რადიუსის მქონე წრე.

  B

  $\sqrt{2}$square root of, 2, end square root-ის ტოლი რადიუსის მქონე წრე.
• (Choice C)  

  რეგიონი $2$2-ის ტოლი რადიუსის მქონე წრის შიგნით.

  C

  რეგიონი $2$2-ის ტოლი რადიუსის მქონე წრის შიგნით.
• (Choice D)  

  რეგიონი $\sqrt{2}$square root of, 2, end square root-ის ტოლი რადიუსის მქონე წრის შიგნით

  D

  რეგიონი $\sqrt{2}$square root of, 2, end square root-ის ტოლი რადიუსის მქონე წრის შიგნით

შემოწმება

[პასუხი]

აირჩიეთ 1 პასუხი:

აირჩიეთ 1 პასუხი:

• (Choice A)  

  $\begin{aligned} \int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4 - z^2}}^{\sqrt{4 - z^2}} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \,dy \,dx \,dz \end{aligned}$

  A

  $\begin{aligned} \int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4 - z^2}}^{\sqrt{4 - z^2}} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \,dy \,dx \,dz \end{aligned}$
• (Choice B)  

  $\begin{aligned} \int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{2 - z^2}}^{\sqrt{2 - z^2}} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \,dy \,dx \,dz \end{aligned}$

  B

  $\begin{aligned} \int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{2 - z^2}}^{\sqrt{2 - z^2}} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \,dy \,dx \,dz \end{aligned}$
• (Choice C)  

  $\begin{aligned} \int_{-\sqrt{4 - z^2}}^{\sqrt{4 - z^2}} \int_{-2}^{2} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \,dy \,dz \,dx \end{aligned}$

  C

  $\begin{aligned} \int_{-\sqrt{4 - z^2}}^{\sqrt{4 - z^2}} \int_{-2}^{2} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \,dy \,dz \,dx \end{aligned}$
• (Choice D)  

  $\begin{aligned} \int_{-\sqrt{2 - z^2}}^{\sqrt{2 - z^2}} \int_{-2}^{2} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \,dy \,dz \,dx \end{aligned}$

  D

  $\begin{aligned} \int_{-\sqrt{2 - z^2}}^{\sqrt{2 - z^2}} \int_{-2}^{2} \int_{0}^{2-\sqrt{x^2+z^2}} \,dy \,dz \,dx \end{aligned}$

შემოწმება

[პასუხი]

შეჯამება

• სამმაგი ინტეგრალები აბსტრაქტულად შემდეგნაირად იწერება

  $\begin{aligned} \iiint_\blueE{R} f \, \redE{dV} \end{aligned}$

  სადაც
  • $\blueE{R}$start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 არის რაიმე რეგიონი სამგანზომილებიან სივრცეში.
  • $f(x, y, z)$f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis არის რაიმე სკალარული ფუნქცია, რომელიც წერტილებს იღებს სამგანზომილებიან სივრცეში, როგორც - არგუმენტებს.
  • $\redE{dV}$start color #bc2612, d, V, end color #bc2612 არის მოცულობის უმცირესი ერთეული. დეკარტულ კოორდინატებში ეს იშლება $\redE{dV} = dx\,dy\,dz$start color #bc2612, d, V, end color #bc2612, equals, d, x, d, y, d, z სახით.
• კონკრეტულად, ესენი გამოითვლება სამი მიმბული ინტეგრალის სახით:

  $\begin{aligned} \int_{z_1}^{z_2} \underbrace{ \int_{y_1(z)}^{y_2(z)} \overbrace{ \int_{x_1(y, z)}^{x_2(y, z)} f(x, y, z) \,dx }^{\text{ეს არის მხოლოდ $y$-ისა და $z$-ის ფუნქცია}}\,dy }_{\text{ეს არის მხოლოდ $z$-ის ფუნქცია}}\;dz \end{aligned}$

  როგორც ორმაგი ინტეგრალების შემთხვევაში, შიდა ინტეგრალების ზღვრები შეიძლება, იყოს გარე ცვლადების ფუნქციები.
• სამგანზომილებიანი ინტეგრალი გამოიყენეთ ყოველთვის, როცა გრძნობა გექნებათ, რომ სამგანზომილებიანი რეგიონის უსასრულოდ პატარა ნაჭრებად დაშლაა საჭირო, თითეული ნაჭერი შეუსაბამეთ მნიშვნელობას და დააჯამეთ. ერთ-ერთი შემთხვევა, როცა ეს ძალიან გვადგება, არის შემთხვევა, როცა სამგანზომილებიანი რეგიონის მოცულობის პოვნა გვინდა უმცირესი $dV$d, V მოცულობების შეკრებით.
• როგორც ორმაგი ინტეგრალების შემთხვევაში, რთული ნაწილია იმ საზღვრების სწორად პოვნა, რომლებიც რეგიონის კოდირებას ახდენს. ამისთვის საჭიროა ვარჯიში და სურვილი, ძალა მოიკრიბოთ და სრულად ჩაეფლოთ ამოცანაში.