ძირითადი მასალა
მრავალცვლადიანი კალკულუსი
კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 4
გაკვეთილი 8: სამჯერადი ინტეგრალები (სტატიები)სამმაგი ინტეგრალები
სამჯერადი ინტეგრალები არის ორჯერადი ინტეგრალების სამგანზომილებიანი ანალოგი. ეს არის სამგანზომილებიან არეში წერტილებთან დაკავშირებული უსასრულოდ ბევრი უსასრულოდ მცირე რაოდენობის შეკრების იარაღი.
ფონი
სანამ ამის წაკითხვას დაიწყებდეთ დარწმუნდით, რომ ორმაგი ინტეგრალების შესახებ საკმარისი იცით. მრავალი ინტეგრალების გაგების მთავარი სირთულეა ერთი ინტეგრების ცნებიდან ორმაგი ინტეგრების ცნებამდე გადასვლა. ამის შემდეგ, მათ შორის სამმაგ ინტეგრალებში, მთავარი მუშაობა მიდის იმავე პრინციპის გამოყენებაში იმ სიტუაციებში, რომლებიც ვიზუალურად შედარებით რთული წარმოსადგენია.
რის აგებას ვცდილობთ
- სამმაგი ინტეგრალები ზუსტად ჰგავს ორმაგ ინტეგრალებს, მაგრამ სამ განზომილებაში. ესენი აბსტრაქტულად შემდგნაირად იწერებასადაც
- start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 არის რაიმე რეგიონი სამგანზომილებიან სივრცეში.
- f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis არის რაიმე სკალარული ფუნქცია, რომელიც წერტილებს იღებს სამგანზომილებიან სივრცეში, როგორც - არგუმენტებს.
- start color #bc2612, d, V, end color #bc2612 არის მოცულობის უმცირესი ერთეული. დეკარტულ კოორდინატებში ეს იშლება start color #bc2612, d, V, end color #bc2612, equals, d, x, d, y, d, z სახით.
- კონკრეტულად, ესენი გამოითვლება სამი მიმბული ინტეგრალის სახით:როგორც ორმაგი ინტეგრალების შემთხვევაში, შიდა ინტეგრალების საზღვრები შეიძლება, იყოს გარე ცვლადების ფუნქციები. სწორედ საზღვრების ფუნქციები ახდენს start color #0c7f99, R, end color #0c7f99-ის ფორმის კოდირებას.
- სამგანზომილებიანი ინტეგრალი გამოიყენეთ ყოველთვის, როცა გრძნობა გექნებათ, რომ სამგანზომილებიანი რეგიონის უსასრულოდ პატარა ნაჭრებად დაშლაა საჭირო, თითეული ნაჭერი შეუსაბამეთ მნიშვნელობას და დააჯამეთ. ერთ-ერთი შემთხვევა, როცა ეს ძალიან გვადგება, არის შემთხვევა, როცა სამგანზომილებიანი რეგიონის მოცულობის პოვნა გვინდა უმცირესი d, V მოცულობების შეკრებით.
- როგორც ორმაგი ინტეგრალების შემთხვევაში, რთული ნაწილია იმ საზღვრების სწორად პოვნა, რომლებიც რეგიონის კოდირებას ახდენს. ამისთვის საჭიროა ვარჯიში და სურვილი, ძალა მოიკრიბოთ და სრულად ჩაეფლოთ ამოცანაში.
მაგალითი 1: მართკუთხა პრიზმა ცვლადი სიმკვრივით
დავუშვათ, რომ გაქვთ მეტალის ლოდი, რომელსაც აქვს მართკუთხა პრიზმის ფორმა 3, times, 2, times, 5 განზომილებებით. მაგრამ, ვთქვათ, მისი სიმკვრივე არ არის ყველგან ერთნაირი. იმისთვის, რომ შევძლოთ მისი სიმკვრივის სამგანზომილებიანი ფუნქციით აღწერა, დავიწყოთ ამ ლოდის წარმოდგენით დეკარტეს სამგანზომილებიან სივრცეში.
კონკრეტულად, ლოდი ისეა მოთავსებული, რომ
- ერთი წვერო დგას სათავეზე.
- ერთ-ერთი ისეთი წიბო, რომლის სიგრძეა 3, მდებარობს დადებით x ღერძზე.
- ერთ-ერთი ისეთი წიბო, რომლის სიგრძეა 2, მდებარეობს დადებით y ღერძზე.
- ერთ-ერთი ისეთი წიბო, რომლის სიგრძეა 5, მედაბერეობს დადებით z ღერძზე.
დავუშვათ, მისი სიმკვრივე ნებისმიერ წერტილზე გადმოიცემა შემდეგი ფუნქციით:
(ბერძნული სიმბოლო rho რომელიც იკითხება, როგორც - „რო,“ არის გავრცელებული სიმბოლო, რომელიც სამგანზომილებიანი სიმკვრივის გამოსახვისთვის გამოიყენება.)
საკვანძო შეკითხვა: რას უდრის მთლიანი ლოდის მასა?
როგორც სხვა ინტეგრების ამოცანებში, ვიწყებთ ამ რეგიონის დაშლით ბევრ პატარა ნაჭრად. ჩვეულებრივი ინტეგრალებისგან განსხვავებით, სადაც წირს შლით, რომ მიიღოთ პატარა ნაჭრები d, x სიგრძით, ან ორმაგი ინტეგრალებისგან განსხვავებით, სადაც ორგანზომილებიან ფართობს შლით, რომ მიიღოთ პატარა ნაჭრები d, A ფართობით, ამჯერად, თითოეულ პატარა ნაჭერს აქვს რაიმე d, V მოცულობა. ამ შემთხვევაში ეს პატარა მოცულობა დაიშლება, როგორც სამი უმცირესი სიგრძის ნამრავლი, მაგრამ ამოცანის შედგენისას უფრო გვადგება მასზე, როგორც - მოცულობაზე, ფიქრი.
კონკრეტულად, ლოდის დაშლა შეგიძლიათ, წარმოიდგინოთ, როგორც მისი დაჭრა სამი მიმართულებით:
- დაჭერით სიბრტყეებით, რომლებიც წარმოადგენენ start color #0c7f99, x, end color #0c7f99-ის მუდმივ მნიშვნელობებს.
- დაჭერით სიბრტყეებით, რომლებიც წარმოადგენენ start color #bc2612, y, end color #bc2612-ის მუდმივ მნიშვნელობებს.
- დაჭერით სიბრტყეებით, რომლებიც წარმოადგენენ start color #0d923f, z, end color #0d923f-ის მუდმივ მნიშვნელობებს.
რადგან rho, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis უწყვეტი ფუნქციაა, როცა ეს პატარა ნაჭერი საკმარისად პატარაა, სიმკვრივე თითოეულ მათგანში, ფაქტიურად, მუდმივია. მაგალითად, როცა კონკრეტული ნაჭერი ვიწროვდება left parenthesis, 2, comma, 1, comma, 3, right parenthesis წერტილის ირგვლივ, სიმკვრივე უახლოვდება rho, left parenthesis, 2, comma, 1, comma, 3, right parenthesis, equals, left parenthesis, 2, squared, right parenthesis, left parenthesis, 1, right parenthesis, left parenthesis, cosine, left parenthesis, pi, 3, right parenthesis, plus, 2, right parenthesis, equals, left parenthesis, 4, right parenthesis, left parenthesis, 1, right parenthesis, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, 4-ს. შესაბამისად, ერთ-ერთი ასეთი პატარა ნაჭრის მასა შეიძლება, შემდეგნაირად ჩაიწეროს
სადაც left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis არის ნებისმიერი წერტილი ნაჭრის შიგნით და d, V არის ნაჭრის მოცულობა (რომლის პარამეტრები განისაზღვრება ინტეგრალით).
თითოეული ნაწილი იქნება უმცირესი მართკუთხა პრიზმა, რომლის გვერდების სიგრძეებია d, x, d, y და d, z, უმცირესი ცვლილებები x, y და z მიმართულებებში. შესაბამისად, უმცირესი მოცულობაა
მე ვფიქრობ, რომ მნიშვნელოვანია, ყოველთვის ვიფიქროთ იმაზე, თუ რატომ შეიძლება d, V-ს ასე გაშლა. ფიქრისას ვკონცენტრირდებით უმცირეს მართკუთხა პრიზმასა და მისი წიბოების სიგრძეებზე. ამას იმიტომ ვამბობ, რომ ამის გაშლა სხვა საკოორდინატო სისტემებში, როგორიცაა ცილინდრული და სფერული საკოორდინატო სისტემები, ასე პირდაპირ არ ხდება.
ამ ყველაფრისთვის თავის მოყრით ჩვენი პატარა ნაწილის მასა არის
ამ პატარა მასების დაჯამებისთვის ვაგებთ სამ მიბმულ ინტეგრალს, რომელთაგან თითოეული ინტეგრებას ახდენს განსხვავებული საკოორდინატო ღერძის მიმართულებით.
შენიშნეთ, რომ შიდა ინტეგრალი გამოხატავს start color #0c7f99, x, end color #0c7f99 მნიშვნელობებს, რადგან start color #0c7f99, d, x, end color #0c7f99 იწერება start color #bc2612, d, y, end color #bc2612-მდე და start color #0d923f, d, z, end color #0d923f-მდე. ამის მსგავსად, შუა ინტეგრალი შემოისაზღვრება start color #bc2612, y, end color #bc2612 მნიშვნელობებით, რადგან start color #bc2612, d, y, end color #bc2612 არის მეორე დიფერენციალური წევრი და გარე ინტეგრალი წარმოადგენს ბოლო წევრს, start color #0d923f, d, z, end color #0d923f-ს.
კონცეფციის შემოწმება: იმუშავეთ ამ სამმაგ ინტეგრალზე. პატარა რჩევა: ყველაფერი შედარებით სუფთად შეგიძლიათ, შეინარჩუნოთ შიდა ინტეგრალის წევრების მამრავლებად დაშლით, რამდენადაც ეს შესაძლებელია.
როცა ერთ-ერთ ასეთ გამოთვლას უყურებთ, ადვილია, დაგავიწყდეთ, თუ რას წარმოადგენს იგი.
- შიდა ინტეგრალზე შეგიძლიათ, იფიქროთ, როგორც x ღერძის პარალელურ წრფეებზე უმცირესი მასების შეკრებაზე. იგი გვაძლევს y-ისა და z-ის რაიმე გამოსახულებას, რაც შემდეგს ამბობს:„თქვენი წრფის, რომელიც x ღერძის პარალელურია, y და z კოორდინატების არჩევაზე დაყრდნობით, ეს იქნება უსასრულოდ პატარა მასების ჯამი.“
- შემდეგი ინტეგრალი y-ის მიმართ კრებს y მიმართულებით ამ წრფეების უსასრულოდ მცირე მასებს, რაც გვაძლევს x, y სიბრტყის პარალელური ფირფიტების უსასრულოდ მცირე მასებს. ეს მოგვცემს გამოსახულებას z-ის მიმართ, რომელიც ამბობს:„x, y სიბრტყეს ზევით თქვენი ფირფიტის სიმაღლეზე დაყრდნობით, ეს იქნება მისი უსასრულოდ მცირე მასა.“
- გარე ინტეგრალი კრებს ამ ფირფიტების მასებს, როცა z მოძრაობს 0-დან 5-მდე. ეს გვაძლევს მუდმივას, რომელიც არის მეტალის ლოდის მთლიანი (უკვე არა უსასრულოდ მცირე) მასა.
მაგალითი 2: მოცულობის გამოსათვლელად სამმაგი ინტეგრალის გამოყენება.
თქვენ ნახეთ, როგორ შეიძლება ორმაგი ინტეგრალების გამოყენებით ორცვლადიანი ფუნქციის გრაფიკის ქვეშ მოცულობის გამოთვლა. მართლაც, რეგიონების უმეტესობისთვის შეიძლება, შეძლოთ, მოიფიქროთ, საკმარისად ჭკვიანური გზა მოცულობის გამოსათვლელად რაიმე ორმაგი ინტეგრალის გამოყენებით.
გახსოვდეთ, ორმაგი ინტეგრალების გამოყენებით მოცულობის გამოთვლა იმიტომაა შესაძლებელი, რომ ისინი იღებენ უმცირეს ნაწილებს x, y სიბრტყეზე d, A ფართობით და თითოეულს ამრავლებენ ფუნქციის სიმაღლეზე, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis წერტილს ზევით, რამაც მოგვცა უსასრულოდ მცირე მოცულობა d, A ფართობის მქონე სვეტისა გრაფიკის ქვევით.
სამმაგი ინტეგრალების სახით ჩვენ გვაქვს უფრო ძლიერი ინსტრუმენტი, რომელსაც შეუძლია მთლიანი რეგიონის სკანირება და მოცულობის უმცირესი ერთეულების დროდადრო შეკრება. თუ სხვა მიზეზი არ არსებობს, ამის გაკეთება შეიძლება, ძალიან გამოგადგეთ სამმაგ ინტეგრალზე ზღვრების დაწესებაში და შიდა ფუნქცია ხელს არ შეგიშლით.
მაგალითად, განიხილეთ R რეგიონი, რომელიც შემოსაზღვრულია შემდეგი ორი ზედაპირით:
- პარაბეოლიდი z, equals, x, squared, plus, y, squared
- სიბრტყე z, equals, 2, left parenthesis, x, plus, y, plus, 1, right parenthesis
აი, ასე გამოიყურება ორი ზედაპირი:
აი, როგორ გამოიყურება მათ შორის შემოსაზღვრული სამგანზომილებიანი R რეგიონი:
მისი მოცულობა რომ ვიპოვოთ, ვიწყებთ ერთი შეხედვით მარტივი ინტეგრალის აგებით, რომელიც შეკრებს ყველა პატარა ნაჭრის მოცულობას, რომლადაც შეგიძლიათ დაშალოთ რეგიონი.
მთელი სირთულე მდგომარეობს ამ სამი ინტეგრალის ზღვრების აგებაში, რომ სწორად მოვახდინოთ R რეგიონის კოდირება.
R-ის განსაზღვრებიდან z-ის ზღვრებს გამოთვლის გარეშე ვიღებთ:
რადგან z-ის ზღვრები მოცემულია x-ისა და y-ის ფუნქციების სახით, ეს გვეუბნება, რომ ჩვენი სამმაგი ინტეგრალის შიდა ინტეგრალი უნდა იყოს z-ის მიმართ. სამმაგი ინტეგრალის დაწერა შემდეგნაირად შეგვიძლია, დავიწყოთ:
მაგრამ რა ზღვრები უნდა დავუყენოთ ორ გარე ინტეგრალს? რამდენად გარეთ შეიძლება, იყოს x და y? ამისათვის უნდა გავაანალიზოთ, თუ სად იკვეთება R-ის განმსაზღვრელი ორი ზედაპირი. ეს კვეთა არის ჩაკეტილი წირი სამგანზომილებიან სივრცეში, როგორც ეს ქვემოთაა მოცემული წითელი წირით.
ახლა წარმოიდგინეთ მთელი R რეგიონის პროექტირება x, y სიბრტყეზე, რაც გზაა x-ისა და y-ის იმ მნიშვნელობებზე ყურადღების გამახვილებისა, რომლებსაც მნიშვნელობა აქვს.
წითელი ჩაკეტილი წირი, რომელიც გამოხატავს z, equals, x, squared, plus, y, squared-ისა და z, equals, 2, left parenthesis, x, plus, y, plus, 1, right parenthesis-ს კვეთას, ხდება x, y სიბრტყეში იმ რეგიონის ზღვარი, რომელიც გვაინტერესებს.
ეს ყველაფერი ვიზუალურადაა, მაგრამ რომ ვიპოვოთ ამ მრუდის ანალიტიკური აღწერა, ააგეთ განტოლებები, რომლებიც ჩვენს ორივე ზედაპირს ერთმანეთს უტოლებს:
x-ისა და y-ისთვის სრულ კვადრატამდე შევსებით ვიღებთ გამოსახულებას, რომლის გეომეტრიულად ინტერპრეტირება უფრო ადვილია.
კონცეფციის შემოწმება: რას აღწერს ეს განტოლება?
იმისთვის, რომ აღვწეროთ, როგორ მოძრაობს x და y ამ რეგიონში, იგი შეგიძლიათ, დაშალოთ ვერტიკალურ ან ჰორიზონტალურ ზოლებად. რაიმე კონკრეტული მიზეზის გარეშე ვირჩევ ჰორიზონტალურ ზოლებს.
ჩვენ ვახდენთ იმ ფაქტის კოდირებას, რომ ზოლების ვერტიკალური მდებარეობა მოძრაობს minus, 1-დან 3-მდე y-ისთვის ამ ზღვრების დაწესებით.
ზღვრები x-ისთვის, რომლებიც აღწერს ჩვენს წრეში თითოეული ჰორიზონტალური ზოლის მარცხენა და მარჯვენა ბოლოებს, არის წრის განმსაზღვრელი განტოლების ორი ამონახსნი x-ისთვის:
ეს იმას ნიშნავს, რომ საბოლოო ინტეგრალი ასე გამოიყურება:
სიგიჟე არ არის? კეთილი იყოს თქვენი მობრძანება სამმაგ ინტეგრალებში.
შეგახსნებთ, რომ უმნიშვნელოვანესია, რომ წევრები სწორი რიგით ჩავწეროთ, ამ შემთხვევაში - d, z, d, x, d, y რიგით. შიდა ინტეგრალების ზღვრები აღწერს z მნიშვნელობებს, ასე რომ, d, z პირველია, შემდეგ ინტეგრალი გადადის x მნიშვნელობებზე, ასე რომ, d, x მეორე სახელდება და ა.შ.
აქ მთავარი გამოსამუშავებელი უნარია ინტეგრალის ისე აგება, როგორც ახლა გავაკეთეთ. ამის შემდეგ კომპიუტერი მიხედავს. მაგრამ თუ გინდათ ერთ-ერთი ასეთი სამმაგი ინტეგრალის გამოთვლა, მიდით. ეს კონკრეტული ინტეგრალი მალე შემოგეცლებათ.
მაგალითი 3: კონუსური რეგიონის მოცულობა
ამოცანა: ააგეთ სამმაგი ინტეგრალი, რომელიც R რეგიონის მოცულობას იპოვის მისი განსაზღვრით შემდეგი თვისებებით:
აი, ასე გამოიყურება ეს რეგიონი:
„მაგრამ მოიცადეთ“
გავიგონე, როგორ თქვით:
„უკვე ვიცი კონუსის მოცულობის გამოთვლა!“
ეს შესანიშნავია, მაგრამ იმის ნახვა, თუ როგორ იპოვება ეს მოცულობა სამმაგი ინტეგრალით, კარგი გზაა, რომ გავავარჯიშოთ უნარები სამმაგ ინტეგრალებში.
კონცეფციის შემოწმება: R რეგიონი განისაზღვრება y-ის ზღვრების გამოყენებით, ასე რომ, ჩამოთვლილთაგან რომელია მართებული გზა ინტეგრალის აგების დასაწყებად?
კონცეფციის შემოწმება: იმ ორი y, is greater than or equal to, 0 და y, is less than or equal to, 2, minus, square root of, x, squared, plus, z, squared, end square root ზღვრის მიხედვით, რომლებიც განსზღვრავს ჩვენს რეგიონს, როგორ განვსაზღვროთ x-ისა და z-ის მნიშვნელობები R-ის შიგნით?
კონცეფციის შემოწმება: წინა შეკითხვის პასუხის მიხედვით, ჩამოთვლილთაგან რომელი აღწერს რეგიონს x, z სიბრტყეზე, რომელიც მოიცავს x-ისა და z-ის ყველა მნიშვნელობას, რომელიც უნდა დაფაროს ჩვენმა სამმაგმა ინტეგრალმა.
კონცეფციის შემოწმება: ჩამოთვლილთაგან რომელი გვიჩვენებს სწორ გზას მოცულობის ინტეგრალის ასაგებად?
შეჯამება
- სამმაგი ინტეგრალები აბსტრაქტულად შემდეგნაირად იწერებასადაც
- start color #0c7f99, R, end color #0c7f99 არის რაიმე რეგიონი სამგანზომილებიან სივრცეში.
- f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis არის რაიმე სკალარული ფუნქცია, რომელიც წერტილებს იღებს სამგანზომილებიან სივრცეში, როგორც - არგუმენტებს.
- start color #bc2612, d, V, end color #bc2612 არის მოცულობის უმცირესი ერთეული. დეკარტულ კოორდინატებში ეს იშლება start color #bc2612, d, V, end color #bc2612, equals, d, x, d, y, d, z სახით.
- კონკრეტულად, ესენი გამოითვლება სამი მიმბული ინტეგრალის სახით:როგორც ორმაგი ინტეგრალების შემთხვევაში, შიდა ინტეგრალების ზღვრები შეიძლება, იყოს გარე ცვლადების ფუნქციები.
- სამგანზომილებიანი ინტეგრალი გამოიყენეთ ყოველთვის, როცა გრძნობა გექნებათ, რომ სამგანზომილებიანი რეგიონის უსასრულოდ პატარა ნაჭრებად დაშლაა საჭირო, თითეული ნაჭერი შეუსაბამეთ მნიშვნელობას და დააჯამეთ. ერთ-ერთი შემთხვევა, როცა ეს ძალიან გვადგება, არის შემთხვევა, როცა სამგანზომილებიანი რეგიონის მოცულობის პოვნა გვინდა უმცირესი d, V მოცულობების შეკრებით.
- როგორც ორმაგი ინტეგრალების შემთხვევაში, რთული ნაწილია იმ საზღვრების სწორად პოვნა, რომლებიც რეგიონის კოდირებას ახდენს. ამისთვის საჭიროა ვარჯიში და სურვილი, ძალა მოიკრიბოთ და სრულად ჩაეფლოთ ამოცანაში.
გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?
პოსტები ჯერ არ არის.