ზედაპირული ინტეგრალები

$\begin{aligned} \iint_T f(\vec{\textbf{v}}(\blueE{t}, \redE{s})) \underbrace{ \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}} \right| \,\blueE{dt}\,\redE{ds} }_{\text{ფართობის მცირე ნაწილი}} \end{aligned}$

(ეს იმის ანალოგიურია, რომ წირითი ინტეგრალების გამოთვლა, ფაქტიურად, იგივეა, რაც რკალის სიგრძის ინტეგრალის გამოთვლა, იმ განსხვავებით, რომ ფუნქციას თავად ინტეგრალში ათავსებთ).

$\begin{aligned} \iint_R f(x, y)\,dA \end{aligned}$

$\begin{aligned} \underbrace{ \iint_S }_{\text{$S$ წარმოადგენს რაღაც ზედაპირს}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(x, y, z)\, \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \overbrace{d\Sigma}^{\text{ფართობის მცირე ნაწილი $S$-ზე}} \end{aligned}$

$d\Sigma = \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}} \right| \,\blueE{dt}\,\redE{ds}$d, \Sigma, equals, open vertical bar, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, end fraction, times, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, start color #bc2612, s, end color #bc2612, end fraction, close vertical bar, start color #0c7f99, d, t, end color #0c7f99, start color #bc2612, d, s, end color #bc2612

$\displaystyle \iint_S f(x, y, z)\, d\Sigma = \iint_T f(\vec{\textbf{v}}(t, s)) \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}} \right| \,\blueE{dt}\,\redE{ds}$\iint, start subscript, S, end subscript, f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, d, \Sigma, equals, \iint, start subscript, T, end subscript, f, left parenthesis, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, comma, s, right parenthesis, right parenthesis, open vertical bar, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, start color #0c7f99, t, end color #0c7f99, end fraction, times, start fraction, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, divided by, \partial, start color #bc2612, s, end color #bc2612, end fraction, close vertical bar, start color #0c7f99, d, t, end color #0c7f99, start color #bc2612, d, s, end color #bc2612

$\begin{aligned} \underbrace{ \iint_S }_{\text{ინტეგრალი ზედაპირზე}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(x, y, z)\, \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \overbrace{ d\Sigma }^{\text{მცირე $S$-ის ფართობი}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! = \underbrace{ \iint_T }_{\substack{ \text{ინტეგრალი}\\ \text{პარამეტრების სივრცეში} }} \!\!\!\! \overbrace{ f(\vec{\textbf{v}}(t, s)) }^{\substack{ \text{ნახეთ თითოეული წერტილი სად}\\ \text{$(t, s)$ ხვდება $S$-ზე, შემდეგ}\\ \text{გამოთვალეთ $f$} }} \!\!\!\!\!\!\!\! \underbrace{ \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}} \right| }_{\substack{ \text{რამდენად იცვლება}\\ \text{$T$-ის მცირე ნაწილი, მას შემდგ, რაც ის} \\ \text{ასახულია $S$-ში $\vec{\textbf{v}}$} }} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \overbrace{ \blueE{dt}\,\redE{ds} }^{\substack{ \text{ფართობი}\\ \text{$T$-ის მცირე ნაწილის} }} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \underbrace{ \iint_S }_{\text{$S$ წარმოადგენს ზედაპირს}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! f(x, y, z)\, \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \overbrace{ d\Sigma }^{\text{ფართობის მცირე ნაწილი $S$-ში}} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \iint_T f(\vec{\textbf{v}}(\blueE{t}, \redE{s})) \left| \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}} \times \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}} \right| \,\blueE{dt}\,\redE{ds} \end{aligned}$