ძირითადი მასალა

მრავალცვლადიანი კალკულუსი

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 4

გაკვეთილი 11: ზედაპირული ინტეგრალები (სტატიები)

ზედაპირული ინტეგრალები

Google–ის საკლასო ოთახი

როგორ შეკრებთ ზედაპირზე მყოფ წერტილებთან დაკავშირებულ უსასრულოდ ბევრ უსასრულოდ მცირე რაოდენობას?

ფონი

აუცილებელი არ არის, მაგრამ გვადგება ინტუიციის შექმნასა და ანალოგიის დანახვაში:

წირითი ინტეგრალები

რის აგებას ვცდილობთ

პრინციპში, ზედაპირის ფართობის ცნებაც იგივეა, რაც ორმაგი ინტეგრალი, იმ გამონაკლისით, რომ ბრტყელი ორგანზომილებიანი რეგიონის წერტილების „შეკრების“ ნაცვლად, თქვენ კრებთ სივრცეში იმ ზედაპირის წერტილებს, რომლებიც პოტენციურად მრუდისებრია. ზედაპირის ინტეგრალების აბსტრაქტული ჩანაწერი ძალიან ჰგავს ორმაგი ინტეგრალისას:

$\begin{array}{r} \underset{S წარმოადგენს ფართობს}{\underset{⏟}{\iint_{S}}} f (x, y, z) \overset{ფართობის პატარა ნაწილი S -ში}{\overset{⏞}{d Σ}} \end{array}$ ‍ - ზედაპირის ინტეგრალის გამოთვლა თითქმის იდენტურია ზედაპირის ფართობის ორმაგი ინტეგრალის გამოყენებით გამოთვლისა, იმ განსხვავებით, რომ ფუნქციას ინტეგრალის შიგნით ათავსებთ:

$\begin{array}{r} \iint_{T} f (\vec{v} (t, s)) \underset{ფართობის მცირე ნაწილი}{\underset{⏟}{| \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} | d t d s}} \end{array}$ ‍

აქ

\vec{v} (t, s)

არის ფუნქცია, რომელიც ახდენს

t s

სიბრტყის

T

რეგიონიდან

S

ზედაპირის პარამეტრიზაციას.

(ეს იმის ანალოგიურია, რომ წირითი ინტეგრალების გამოთვლა, ფაქტიურად, იგივეა, რაც რკალის სიგრძის ინტეგრალის გამოთვლა, იმ განსხვავებით, რომ ფუნქციას თავად ინტეგრალში ათავსებთ).

მომდევნო სტატიაში შეგიძლიათ, იპოვოთ ერთ-ერთ ასეთ ინტეგრალზე მუშაობის მაგალითი.

ზედაპირის ინტეგრალის ცნება

თუ გესმით ორმაგი ინტეგრალები და პარამეტრული ზედაპირის ფართობის გამოთვლა, ფაქტიურად, უკვე გესმით ზედაპირის ინტეგრალები. საკითხი მხოლოდ ორი ინტუიციური წარმოდგენის შეერთებაა. მაგალითის გამოყენებით გიჩვენებთ ზედაპირის ინტეგრალის გამოთვლას, მაგრამ ვფიქრობ, მნიშვნელოვანია, რომ ჯერ წარმოდგენა შეგექმნათ, თუ რას აკეთებს ზედაპირის ინტეგრალი.

ორმაგი ინტეგრალების გახსენება

გაიხსენეთ, რას აკეთებს ორმაგი ინტეგრალი:

$\begin{array}{r} \iint_{R} f (x, y) d A \end{array}$ ‍

აქ

R

წარმოადგენს

x y

სიბრტყის რაიმე რეგიონს და

f (x, y)

არის

R

-ის თითეული წერტილის რიცხვთან დაკავშირების გზა.

შეიძლება, $R$ ‍ წარმოადგენს მეტალის ფირფიტას და $f (x, y)$ ‍
- სიმკვრივეს თითოეულ წერტილზე.
ან შეიძლება, $R$ ‍ წარმოადგენს გეოგრაფიულ რეგიონს და $f (x, y)$ ‍
- ტემპერატურას თითეულ წერტილზე.

ორმაგი ინტეგრალი გვაძლევს გზას, რომ შევკრიბოთ

f

-ის მნიშვნელობები ამ რეგიონზე, თუმცა უწყვეტ რეგიონზე წერტილების „შეკრება“ ბუნდოვნად ჟღერს, ასე რომ, აი, ასეთ პროცესს წარმოვიდგენ ხოლმე:

$R$ ‍ რეგიონი დაჩეხეთ ბევრ უმცირეს ნაწილად.
თითოეული ნაწილის ფართობი, წარმოდგენილი $d A$ ‍-ით, გაამრავლეთ ამ ნაწილის შიგნით $f$ ‍-ის ერთ-ერთ წერტილზე.
დააჯამეთ მიღებული მნიშვნელობები.

მაგალითად,

თუ $R$ ‍ წარმოადგენს მეტალის ფირფიტას და $f (x, y)$ ‍ სიმკვრივის ფუნქციაა, ორმაგი ინტეგრალი მოგცემთ ფირფიტის მასას. (რატომ?)
თუ $R$ ‍ წარმოადგენს გეოგრაფიულ რეგიონს და $f (x, y)$ ‍ გვაძლევს ტემპერატურას თითოეულ რეგიონზე, ორმაგი ინტეგრალის აღება და $R$ ‍-ის ფართობზე გაყოფა მოგცემთ ამ რეგიონში საშუალო ტემპერატურას. (რატომ?)

ორმაგი ინტეგრალი მრუდისებრ რეგიონებში

მაგრამ რატომ შევჩერდეთ ასეთ ბრტყელზე? უწყვეტ ორგანზომილებიან რეგიონში მნიშვნელობების შეკრება შეიძლება, მრუდისებრი ზედაპირების შემთხვევაშიც გამოგვადგეს.

რა მოხდება, თუ განიხილავთ თვითმფრინავის მრუდისებრი ფრთის ზედაპირს ცვლადი სიმკვრივით და გინდათ, იპოვოთ მისი ჯამური მასა?
რა მოხდება, თუ გაქვთ დედამიწის მრუდისებრი ზედაპირის ყველა წერტილის ტემპერატურა და გინდათ, გამოთვალოთ საშუალო ტემპერატურა?

ამ შემთხვევაში,

f

ფუნქციამ, რომელიც წარმოადგენს სიმკვრივეს, ტემპერატურას და ა.შ უნდა აიღოს წერტილი სამ განზომილებაში, რადგან ზედაპირის წერტილები სამ განზომილებაში არსებობენ. სამგანზომილებიანი

f (x, y, z)

ფუნქციის ინტეგრების აბსტრაქტული ჩანაწერი, ფაქტიურად, იგივეა, რაც ორმაგი ინტეგრალების აბსტრაქტული ჩანაწერი:

$\begin{array}{r} \underset{S წარმოადგენს რაღაც ზედაპირს}{\underset{⏟}{\iint_{S}}} f (x, y, z) \overset{ფართობის მცირე ნაწილი S -ზე}{\overset{⏞}{d Σ}} \end{array}$ ‍

(განსხვავებულმა ავტორებმა შეიძლება, განსხვავებული ჩანაწერი გამოიყენონ).

ამას ეწოდება ზედაპირის ინტეგრალი. ორმაგი ინტეგრალის ნიშნის ქვეშ პატარა

S

წარმოადგენს თავად ზედაპირს და ტერმინი

d Σ

წარმოადგენს ზედაპირის პატარა ნაწილის ფართობს. ზედაპირის ინტეგრალებზე ისევე შეგიძლიათ, იფიქროთ, როგორც - ორმაგ ინტეგრალებზე:

$S$ ‍ ზედაპირი დაჩეხეთ ბევრ პატარა ნაწილად.
თითოეული პატარა ნაწილის ფართობი გაამრავლეთ ამ ნაწილის ერთ-ერთ წერტილზე $f$ ‍ ფუნქციის მნიშვნელობაზე.
დააჯამეთ ეს მნიშვნელობები.

d Σ

-ს რატომ ვწერთ

d A

-ს ნაცვლად? ნამდვილი განსხვავება არ გვაქვს; თითოეული მათგანი გვაძლევს იმ ფართობის პატარა ნაწილს, რომელზეც ახდენთ ინტეგრებას, თუმცა როცა საქმე რაღაცების გამოთვლას ეხება, მრუდისებრი ზედაპირის პატარა ნაწილთან გამკვლავების გზა ფუნდამენტურად განსხვავდება იგივეს გაკეთებისგან ბრტყელ ზედაპირზე, ასე რომ, ამ განსხვავებას ხაზი უნდა გავუსვათ განსხვავებული ცვლადის გამოყენებით.

როგორ გამოვთვალოთ ზედაპირის ინტეგრალი

თვითმფრინავის ფრთების ნაწილებად დაშლის აბსტრაქტული ჩანაწერები და წარმოდგენები ძალიან კარგია, მაგრამ, სინამდვილეში, როგორ გამოვთვალოთ ერთ-ერთი ასეთი ზედაპირის ინტეგრალი? ოინი მდგომარეობს მის გარდაქმნაში ჩვეულებრივ, ბრტყელ, ორმაგ ინტეგრალში.

კონკრეტულად, გზა, რომლითაც ზედაპირს, ჩვეულებრივ, მათემატიკურად გამოსახავთ, არის პარამეტრული ფუნქცია. თქვენ გექნებათ რაიმე

\vec{v} (t, s)

ვექტორული ფუნქცია, რომელიც იღებს წერტილს ორგანზომილებიან

t s

სიბრტყეზე და იძლევა მნიშვნელობებს სამგანზომილებიან სივრცეში. ასევე უნდა დააკონკრეტოთ

T

რეგიონი

t s

სიბრტყეზე, რომელიც აისახება

S

ზედაპირზე.

მაშინ ოინი ზედაპირის ინტეგრალებისთვის არის

T

ბრტყელ რეგიონზე ინტეგრების გზის პოვნა, რომელიც იმავე ეფექტს გვაძლევს, რასაც - მრუდ

S

ზედაპირზე ინტეგრება. ეს მოითხოვს

S

-ის „უმცირესი ფართობის“ აღერას პარამეტრის შიგნით რაიმეს მიმართ.

თითქმის ყველა ეს სამუშაო გაკეთდა სტატიაში ზედაპირის ფართობი. იქ ვნახეთ,

T

-ის შიგნით პატარა მართკუთხედი

d t d s

როგორ გარდაიქმნება პარალელოგრამად

S

-ზე შემდეგი ფართობით:

\begin{array}{r} | \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} | d t d s \end{array}

ჩვენი ზედაპირის ინტეგრალისთვის ეს ნიშნავს, რომ

d Σ

-ს შლით შემდეგნაირად:

$d Σ = | \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} | d t d s$ ‍

კონკრეტულად, აი, როგორ ვწერთ ზედაპირის ინტეგრალს პარამეტრული სივრცის მიმართ:

$\iint_{S} f (x, y, z) d Σ = \iint_{T} f (\vec{v} (t, s)) | \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} | d t d s$ ‍

მოდით, ეს ცოტათი დავშალოთ:

$\begin{array}{r} \underset{ინტეგრალი ზედაპირზე}{\underset{⏟}{\iint_{S}}} f (x, y, z) \overset{მცირე S -ის ფართობი}{\overset{⏞}{d Σ}} = \underset{\begin{array}{c} ინტეგრალი \\ პარამეტრების სივრცეში \end{array}}{\underset{⏟}{\iint_{T}}} \overset{\begin{array}{c} ნახეთ თითოეული წერტილი სად \\ (t, s) ხვდება S -ზე, შემდეგ \\ გამოთვალეთ f \end{array}}{\overset{⏞}{f (\vec{v} (t, s))}} \underset{\begin{array}{c} რამდენად იცვლება \\ T -ის მცირე ნაწილი, მას შემდგ, რაც ის \\ ასახულია S -ში \vec{v} \end{array}}{\underset{⏟}{| \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} |}} \overset{\begin{array}{c} ფართობი \\ T -ის მცირე ნაწილის \end{array}}{\overset{⏞}{d t d s}} \end{array}$ ‍

აქ ყურადღების მთავარი ობიქტი და ის, რაც ხდის გამოთვლებს შრომატევადს, არის

d Σ

-ს გამოსახვის გზა.

მომდევნო სტატიაში შეგიძლიათ, ნახოთ ერთი ასეთი ზედაპირის ინტეგრალის სრული მაგალითი.

შეჯამება

ზედაპირის ინტეგრალები გამოიყენება ნებისმიერ დროს, როცა მოგინდებათ, ზედაპირის წერტილებზე დაკავშირებული რამდენიმე მნიშვნელობის დაჯმება. ეს წირითი ინტეგრალების ორგანზომილებიანი ანალოგია. ალტერნატიულად ეს შეგიძლიათ, ჩათვალოთ, როგორც ორმაგი ინტეგრალების განზოგადების გზა მრუდისებრ ზედაპირებზე.

$\begin{array}{r} \underset{S წარმოადგენს ზედაპირს}{\underset{⏟}{\iint_{S}}} f (x, y, z) \overset{ფართობის მცირე ნაწილი S -ში}{\overset{⏞}{d Σ}} \end{array}$ ‍

ზედაპირის ინტეგრალის გამოთვლა თითქმის ზედაპირის ფართობის ორმაგი ინტეგრალის გამოყენებით გამოთვლის იდენტურია, იმ გამონაკლისით, რომ ფუნქციას ინტეგრალში ათავსებთ:

$\begin{array}{r} \iint_{T} f (\vec{v} (t, s)) | \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} | d t d s \end{array}$ ‍

მრავალცვლადიან კალკულისში მრავალი რამის მსგავსად, მიუხედავად იმისა, რომ ზედაპირის ინტეგრალებზე თეორია მშვენიერია, ერთ-ერთი მათგანის გამოთვლა, სინამდვილეში, შეიძლება, საშინლად შრომატევადი იყოს.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.