ძირითადი მასალა

მრავალცვლადიანი კალკულუსი

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 4

გაკვეთილი 11: ზედაპირული ინტეგრალები (სტატიები)

ზედაპირული ინტეგრალის მაგალითი

Google–ის საკლასო ოთახი

ივარჯიშეთ, სფეროზე ზედაპირული ინტეგრალების გამოთვლაში

ფონი

ზედაპირის ინტეგრალები

მოცემული დავალება: ზედაპირის ინტეგრალი სფეროზე.

ამ სტატიაში ვისაუბრე, თუ რას აკეთებს ზედაპირის ინტეგრალები და როგორ შეგიძლიათ მათი ინტერპრეტირება. აქ შეგიძლიათ, მაგალითის ყველა დეტალი ნახოთ. თუ ვიდეო გირჩევნიათ, შეგიძლიათ, უყუროთ, როგორ ხსნის სალი სხვა მაგალითს.

განიხილეთ სათავეზე ცენტრის მქონე

2

-ის ტოლი რადიუსის სფერო.

თქვენი დავალება იქნება შემდეგი ფუნქციის ინტეგრება ამ სფეროს ზედაპირზე:

$f (x, y, z) = (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2}$ ‍

ნაბიჯი 1: გამოიყენეთ სფეროების სიმეტრია

2

-ის ტოლი რადიუსის მქონე სფერო, განმარტების თანახმად, არის სამგანზომილებიან სივრცეში ყველა წერტილი, რომელიც შემდეგ პირობას აკმაყოფილებს:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2^{2}$ ‍

ეს გამოსახულება ძალიან გავს შემდეგ ფუნქციას:

$f (x, y, z) = (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2}$ ‍

სინამდვილეში, ეს ჩვენთვის სასიკეთოდ შეგვიძლია, გამოვიყენოთ...

კონცეფციის შემოწმება: როცა

f (x, y, z) = (x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2}

-ს გამოთვლით წერტილებზე, რომლებიც მდებარეობს

2

-ის ტოლი რადიუსის მქონე სფეროზე, რომელ უფრო მარტივ გამოსახულებას მიიღებთ?

[პასუხი]

გაითვალისწინეთ, რომ

f (x, y, z)

არ უდრის ამ მსგავს გამოსახულებას ყველგან, არამედ მხოლოდ იმ წერტილებზე, სადაც

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4

. რადგან ინტეგრება მხოლოდ ამ სფეროს წერტილებზე შეგვიძლია, ინტეგრალში

f

ფუნქცია შევცვალოთ ამ მნიშვნელობით.

$\begin{array}{r} \iint_{სფერო} ((x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2}) d Σ = \iint_{სფერო} (- 2 x + 5) d Σ \end{array}$ ‍

რა თქმა უნდა, ამის გაკეთება ყველა ზედაპირის ინტეგრალისთვის არ შეგიძლიათ, მაგრამ ეს სიმეტრიის გამოყენების კარგი გაკვეთილია, რაც ამ ინტეგრალებს აადვილებს.

ნაბიჯი 2: სფეროს პარამეტრიზაცია

ამ ზედაპირის ინტეგრალის დასაკავშირებლად სიბრტყეზე ორმაგ ინტეგრალთან, ჯერ უნდა ვიპოვოთ ფუნქცია, რომელიც სფეროს პარამეტრიზაციას ახდენს.

კონცეფციის შემოწმება: შემდეგი ფუნქციებიდან რომელი ახდენს

2

-ის ტოლი რადიუსის მქონე სფეროების პარამეტრიზაციას?

აირჩიეთ 1 პასუხი:
(Choice A)
$\begin{array}{r} \vec{v} (t, s) = [\begin{array}{c} 2 \cos (t) \sin (s) \\ 2 \sin (t) \sin (s) \\ 2 \cos (s) \end{array}] \end{array}$ ‍
რეგიონში, სადაც $0 \leq t \leq 2 π$ ‍ და $0 \leq s \leq π$ ‍.
(Choice B)
$\begin{array}{r} \vec{v} (t, s) = [\begin{array}{c} 2 \cos (t) \cos (s) \\ 2 \sin (t) \sin (s) \\ 2 \sin (t) \cos (s) \end{array}] \end{array}$ ‍
რეგიონში, სადაც $0 \leq t \leq 2 π$ ‍ და $0 \leq s \leq 2 π$ ‍.

[პასუხი]

დიდებულია! ახლა გვაქვს ფორმულა სფეროს

\vec{v} (t, s)

პარამეტრიზაციისთვის

t s

სიბრტყის შესაბამის რეგიონზე. ჩვენი ზედაპირის ინტეგრალის გაშლა შემდეგნაირად შეგვიძლია:

$\begin{aligned} \iint_{სფერო} (- 2 x + 5) d Σ \\ = \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} (- 2 \underset{პარამეტრიზაციის x -მნიშვნელობა}{\underset{⏟}{(2 \cos (t) \sin (s))}} + 5) \underset{საჭიროა ეს გამოვთვალოთ}{\underset{⏟}{| \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} |}} d t d s \end{aligned}$ ‍

ნაბიჯი 3: გამოთვალეთ ორივე კერძო წარმოებული

მთავარი მხეცი, რომელიც ნებისმიერი ზედაპირის ინტეგრალში უნდა მოათვინიეროთ, ეს არის:

$\begin{array}{r} | \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} | \end{array}$ ‍

კონცეფციის შემოწმება: დასაწყისისთვის გამოთვალეთ ჩვენი პარამეტრული ფუნქციის ორივე კერძო წარმოებული:

$\begin{array}{r} \vec{v} (t, s) = [\begin{array}{c} 2 \cos (t) \sin (s) \\ 2 \sin (t) \sin (s) \\ 2 \cos (s) \end{array}] \end{array}$ ‍

$\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} (t, s) =$ ‍
$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

[პასუხი]

$\frac{\partial \vec{v}}{\partial s} (t, s) =$ ‍
$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

[პასუხი]

ნაბიჯი 4: გამოთვალეთ ვექტორული ნამრავლი

გამოთვალეთ ახლახანს ნაპოვნი ორი კერძო წარმოებული ვექტორის ვექტორული ნამრავლი.

$\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} =$ ‍
$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

[პასუხი]

ნაბიჯი 5: იპოვეთ ვექტორული ნამრავლის აბსოლუტური სიდიდე.

იპოვეთ ახლა ნაპოვნი ვექტორული ნამრავლის აბსოლუტური სიდიდე.

$| \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} | =$ ‍

[პასუხი]

შენიშნეთ, რომ წესით, პასუხს მოდულის ნიშანი უნდა ჰქონდეს. მაგრამ, რადგან ჩვენი პარამეტრიზაცია მხოლოდ იმ რეგიონს შეესაბამება, სადაც

0 \leq s \leq π

\sin (s)

-ის მნიშვნელობა მაინც ყოველთვის დადებითი იქნება, შეგვიძლია, ეს ნიშანი არ გამოვიყენოთ.

ნაბიჯი 6: გამოთვალეთ ინტეგრალი

იმ ყველაფრის გათვალისწინებით, რაც აქამდე გავაკეთეთ, ზედაპირის ინტეგრალი ასეთი გახდა:

$\begin{aligned} \iint_{სფერო} f (x, y, z) d Σ \\ = \iint_{სფერო} (- 2 x + 5) d Σ \leftarrow ნაბიჯი1 \\ = \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} (- 2 (2 \cos (t) \sin (s)) + 5) | \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} | d t d s \leftarrow ნაბიჯი 2 \\ = \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} (- 2 (2 \cos (t) \sin (s)) + 5) (4 \sin (s)) d t d s \leftarrow ნაბიჯები 3, 4, 5 \\ = \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} (- 16 \cos (t) \sin^{2} (s) + 20 \sin (s)) d t d s \end{aligned}$ ‍

საბოლოო ნაბიჯში გამოთვალეთ ეს ორმაგი ინტეგრალი.

$\begin{array}{r} \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} (- 16 \cos (t) \sin^{2} (s) + 20 \sin (s)) d t d s = \end{array}$ ‍

[პასუხი]

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.