If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

ზედაპირული ინტეგრალის მაგალითი

ივარჯიშეთ, სფეროზე ზედაპირული ინტეგრალების გამოთვლაში

მოცემული დავალება: ზედაპირის ინტეგრალი სფეროზე.

ამ სტატიაში ვისაუბრე, თუ რას აკეთებს ზედაპირის ინტეგრალები და როგორ შეგიძლიათ მათი ინტერპრეტირება. აქ შეგიძლიათ, მაგალითის ყველა დეტალი ნახოთ. თუ ვიდეო გირჩევნიათ, შეგიძლიათ, უყუროთ, როგორ ხსნის სალი სხვა მაგალითს.
განიხილეთ სათავეზე ცენტრის მქონე 2-ის ტოლი რადიუსის სფერო.
თქვენი დავალება იქნება შემდეგი ფუნქციის ინტეგრება ამ სფეროს ზედაპირზე:
f(x,y,z)=(x1)2+y2+z2

ნაბიჯი 1: გამოიყენეთ სფეროების სიმეტრია

2-ის ტოლი რადიუსის მქონე სფერო, განმარტების თანახმად, არის სამგანზომილებიან სივრცეში ყველა წერტილი, რომელიც შემდეგ პირობას აკმაყოფილებს:
x2+y2+z2=22
ეს გამოსახულება ძალიან გავს შემდეგ ფუნქციას:
f(x,y,z)=(x1)2+y2+z2
სინამდვილეში, ეს ჩვენთვის სასიკეთოდ შეგვიძლია, გამოვიყენოთ...
კონცეფციის შემოწმება: როცა f(x,y,z)=(x1)2+y2+z2-ს გამოთვლით წერტილებზე, რომლებიც მდებარეობს 2-ის ტოლი რადიუსის მქონე სფეროზე, რომელ უფრო მარტივ გამოსახულებას მიიღებთ?

გაითვალისწინეთ, რომ f(x,y,z) არ უდრის ამ მსგავს გამოსახულებას ყველგან, არამედ მხოლოდ იმ წერტილებზე, სადაც x2+y2+z2=4. რადგან ინტეგრება მხოლოდ ამ სფეროს წერტილებზე შეგვიძლია, ინტეგრალში f ფუნქცია შევცვალოთ ამ მნიშვნელობით.
სფერო((x1)2+y2+z2)dΣ=სფერო(2x+5)dΣ
რა თქმა უნდა, ამის გაკეთება ყველა ზედაპირის ინტეგრალისთვის არ შეგიძლიათ, მაგრამ ეს სიმეტრიის გამოყენების კარგი გაკვეთილია, რაც ამ ინტეგრალებს აადვილებს.

ნაბიჯი 2: სფეროს პარამეტრიზაცია

ამ ზედაპირის ინტეგრალის დასაკავშირებლად სიბრტყეზე ორმაგ ინტეგრალთან, ჯერ უნდა ვიპოვოთ ფუნქცია, რომელიც სფეროს პარამეტრიზაციას ახდენს.
კონცეფციის შემოწმება: შემდეგი ფუნქციებიდან რომელი ახდენს 2-ის ტოლი რადიუსის მქონე სფეროების პარამეტრიზაციას?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

დიდებულია! ახლა გვაქვს ფორმულა სფეროს v(t,s) პარამეტრიზაციისთვის ts სიბრტყის შესაბამის რეგიონზე. ჩვენი ზედაპირის ინტეგრალის გაშლა შემდეგნაირად შეგვიძლია:
სფერო(2x+5)dΣ=0π02π(2(2cos(t)sin(s))პარამეტრიზაციის x-მნიშვნელობა+5)|vt×vs|საჭიროა ეს გამოვთვალოთdtds

ნაბიჯი 3: გამოთვალეთ ორივე კერძო წარმოებული

მთავარი მხეცი, რომელიც ნებისმიერი ზედაპირის ინტეგრალში უნდა მოათვინიეროთ, ეს არის:
|vt×vs|
კონცეფციის შემოწმება: დასაწყისისთვის გამოთვალეთ ჩვენი პარამეტრული ფუნქციის ორივე კერძო წარმოებული:
v(t,s)=[2cos(t)sin(s)2sin(t)sin(s)2cos(s)]
vt(t,s)=
i^+
j^+
k^

vs(t,s)=
i^+
j^+
k^

ნაბიჯი 4: გამოთვალეთ ვექტორული ნამრავლი

გამოთვალეთ ახლახანს ნაპოვნი ორი კერძო წარმოებული ვექტორის ვექტორული ნამრავლი.
vt×vs=
i^+
j^+
k^

ნაბიჯი 5: იპოვეთ ვექტორული ნამრავლის აბსოლუტური სიდიდე.

იპოვეთ ახლა ნაპოვნი ვექტორული ნამრავლის აბსოლუტური სიდიდე.
|vt×vs|=

შენიშნეთ, რომ წესით, პასუხს მოდულის ნიშანი უნდა ჰქონდეს. მაგრამ, რადგან ჩვენი პარამეტრიზაცია მხოლოდ იმ რეგიონს შეესაბამება, სადაც 0sπ, sin(s)-ის მნიშვნელობა მაინც ყოველთვის დადებითი იქნება, შეგვიძლია, ეს ნიშანი არ გამოვიყენოთ.

ნაბიჯი 6: გამოთვალეთ ინტეგრალი

იმ ყველაფრის გათვალისწინებით, რაც აქამდე გავაკეთეთ, ზედაპირის ინტეგრალი ასეთი გახდა:
სფეროf(x,y,z)dΣ=სფერო(2x+5)dΣნაბიჯი1=0π02π(2(2cos(t)sin(s))+5)|vt×vs|dtdsნაბიჯი 2=0π02π(2(2cos(t)sin(s))+5)(4sin(s))dtdsნაბიჯები 3, 4, 5=0π02π(16cos(t)sin2(s)+20sin(s))dtds
საბოლოო ნაბიჯში გამოთვალეთ ეს ორმაგი ინტეგრალი.
0π02π(16cos(t)sin2(s)+20sin(s))dtds=

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.