ზედაპირის ფართობის ინტეგრალები

ფონი

• პარამეტრული ზედაპირების კერძო წარმოებულები
  • დარწმუნდით, რომ ინტუიციურად კარგად გესმით იმ ფუნქციების კერძო წარმოებულები, რომლებიც ზედაპირს აღწერენ და ისიც, თუ რასაც წარმოადგენენ.
• ორმაგი ინტერგრალები
• ვექტორული ნამრავლი (ვიდეო)

რის აგებას ვცდილობთ

• პირობა:
  • $S$‍ არის რაღაც ზედაპირი სამგანზომილებიან სივრცეში.
    • $\overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}(t,s)$‍ არის ვექტორული ფუნქცია, რომელიც $S$‍-ს პარამეტრიზაციას ახდენს.
      [რას ნიშნავს?]
    • $T$‍ არის $ts$‍ სიბრტყის (რომელსაც პარამეტრულ სივრცესაც უწოდებენ) რეგიონი, რომელიც $S$‍-ს შეესაბამება.
• $S$‍-ის ზედაპირის ფართობი შეგვიძლია, გამოვთვალოთ ორმაგი ინტეგრალის გამოყენებით:

  $\begin{array}{r}{\iint }_T|{\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}\times {\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}|dtds\end{array}$‍

• ამ ინტეგრალების გამოთვლა შეიძლება, ძალიან შრომატევადი იყოს.

ზედაპირის ფართობი

მაგალითი: ზედაპირის ფართობის დაშლა

• ნაბიჯი 1: ზედაპირი დავჩეხოთ პატარა ნაჭრებად.
• ნაბიჯი 2: ვიპოვოთ თითოეული ნაჭრის ფართობი.
• ნაბიჯი 3: შევკრიბოთ ეს ფართობები.

ნაბიჯი 1: ზედაპირის დაჩეხვა

ნაბიჯი 2: პარალელოგრამი ნაჭრის ფართობის ძებნა

აირჩიეთ 1 პასუხი:

აირჩიეთ 1 პასუხი:

• (Choice A)  

  $\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(t_A,s_A)\end{array}$‍

  A

  $\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(t_A,s_A)\end{array}$‍
• (Choice B)  

  $\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(t_A,s_A)\end{array}$‍

  B

  $\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(t_A,s_A)\end{array}$‍
• (Choice C)  

  $\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(t_A,s_A)dt\end{array}$‍

  C

  $\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(t_A,s_A)dt\end{array}$‍
• (Choice D)  

  $\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(t_A,s_A)dt\end{array}$‍

  D

  $\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(t_A,s_A)dt\end{array}$‍

შემოწმება

[პასუხი]

აირჩიეთ 1 პასუხი:

აირჩიეთ 1 პასუხი:

• (Choice A)  

  $\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(t_A,s_A)\end{array}$‍

  A

  $\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(t_A,s_A)\end{array}$‍
• (Choice B)  

  $\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(t_A,s_A)\end{array}$‍

  B

  $\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(t_A,s_A)\end{array}$‍
• (Choice C)  

  $\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(t_A,s_A)ds\end{array}$‍

  C

  $\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(t_A,s_A)ds\end{array}$‍
• (Choice D)  

  $\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(t_A,s_A)ds\end{array}$‍

  D

  $\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(t_A,s_A)ds\end{array}$‍

შემოწმება

[პასუხი]

• ქვედა მარცხენა კუთხე: $(t_A,s_A)$‍
• სიგანე: $dt$‍
• სიმაღლე: $ds$‍

აირჩიეთ 1 პასუხი:

აირჩიეთ 1 პასუხი:

• (Choice A)  

  $\begin{array}{r}\overrightarrow{\mathbf{\text{a}}}\times \overrightarrow{\mathbf{\text{b}}}\end{array}$‍

  A

  $\begin{array}{r}\overrightarrow{\mathbf{\text{a}}}\times \overrightarrow{\mathbf{\text{b}}}\end{array}$‍
• (Choice B)  

  $\begin{array}{r}|\overrightarrow{\mathbf{\text{a}}}\times \overrightarrow{\mathbf{\text{b}}}|\end{array}$‍

  B

  $\begin{array}{r}|\overrightarrow{\mathbf{\text{a}}}\times \overrightarrow{\mathbf{\text{b}}}|\end{array}$‍
• (Choice C)  

  $\begin{array}{r}|\overrightarrow{\mathbf{\text{a}}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{\text{b}}}|\end{array}$‍

  C

  $\begin{array}{r}|\overrightarrow{\mathbf{\text{a}}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{\text{b}}}|\end{array}$‍

შემოწმება

[პასუხი]

აირჩიეთ 1 პასუხი:

აირჩიეთ 1 პასუხი:

• (Choice A)  

  $\begin{array}{r}|({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(t_A,s_A))\times ({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(t_A,s_A))|\end{array}$‍

  A

  $\begin{array}{r}|({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(t_A,s_A))\times ({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(t_A,s_A))|\end{array}$‍
• (Choice B)  

  $\begin{array}{r}|({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(t_A,s_A))\cdot ({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(t_A,s_A))|\end{array}$‍

  B

  $\begin{array}{r}|({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(t_A,s_A))\cdot ({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(t_A,s_A))|\end{array}$‍
• (Choice C)  

  $\begin{array}{r}|({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(t_A,s_A)dt)\times ({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(t_A,s_A)ds)|\end{array}$‍

  C

  $\begin{array}{r}|({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(t_A,s_A)dt)\times ({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(t_A,s_A)ds)|\end{array}$‍
• (Choice D)  

  $\begin{array}{r}|({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(t_A,s_A)dt)\cdot ({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(t_A,s_A)ds)|\end{array}$‍

  D

  $\begin{array}{r}|({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial t}}(t_A,s_A)dt)\cdot ({\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}}{\partial s}}(t_A,s_A)ds)|\end{array}$‍

შემოწმება

[პასუხი]

როდის ხდება ეს შრომატევადი

პარალელოგრამის ფართობი:

$dtds$‍

შემოწმება

[პასუხი]

ნაბიჯი 3: ყველაფრის ერთდროულად ინტეგრება

• $(t,s)$‍ აღწერს თავდაპირველი პატარა მართკუთხედის მდებარეობას.
• $dt$‍ არის სიგანე.
• $ds$‍ სიმაღლე.

შეჯამება: ეს ადვილი არ არის

• პირველად უნდა აიღოთ ვექტორული ფუნქციების ორი კერძო წარმოებული, რომელიც, თუ თითოეულ კომპონენტს დაითვლით, ჯამში $6$‍ კერძო წარმოებულს მოიცავს.
• შემდეგ უნდა აიღოთ ამ ორი კერძო წარმოებული ვექტორის ვექტორული ნამრავლი, რაც, თავის მხრივ, საჭიროებს ისეთი დეტერმინანტის აღებას, რომლის კომპონენტები ვექტორები და ფუნქციებია.
• შემდეგ უნდა გამოთვალოთ ამ ვექტორული ნამრავლის აბსოლუტური სიდიდე.
• ამ ყველაფრის შემდეგ წინ ორმაგი ინტეგრალი გელით. გახსოვდეთ, ორმაგი ინტეგრალის მხოლოდ აგებაც არ არის ყოველთვის ადვილი, განსაკუთრებით, თუ რეგიონი, რომლის ინტეგრებასაც ახდენთ, არ არის მართკუთხა.
• ეს ყველაფერი იმ დაშვებით, რომ უკვე იცით $\overrightarrow{\mathbf{\text{v}}}(t,s)$‍ ფუნქცია $T$‍ რეგიონი. ზოგჯერ მოცემული გაქვთ ზედაპირი, რომელიც არაცხადადაა განსაზღვრული. მაგალითად $x^2+y^2+z^2=1$‍-ით განსაზღვრული სფერო. ამ შემთხვევაში უნდა იპოვოთ ფუნქცია, რომელიც ამ ზედაპირის პარამეტრიზაციას ახდენს ისევე, როგორც - პარამეტრული სივრცის კონკრეტული რეგიონი, რომელიც ზედაპირს შეესაბამება.