If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

მრავალცვლადიანი კალკულუსი

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 4

გაკვეთილი 4: წრფივი ინტეგრალები ვექტორულ ველებში (სტატიები)
მათემატიკა
მრავალცვლადიანი კალკულუსი
მრავალცვლადიანი ფუნქციების ინტეგრება
წრფივი ინტეგრალები ვექტორულ ველებში (სტატიები)
© 2023 Khan Academyგამოყენების პირობებიკონფიდენციალურობის პოლიტიკაშენიშვნა ქუქი-ჩანაწერებზე

კონსერვატიული ვექტორული ველები

Google–ის საკლასო ოთახი
კონსერვატიული ვექტორულ ველებში, რომლებიც განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია ფიზიკისთვის, ინტეგრალის აღება ორი წერტილის შემაერთებელ სხვადასხვა გზაზე ერთნაირ პასუხს გვაძლევს.

ფონი

რის აგებას ვცდილობთ

ამ სტატიის ბოლოს ნახავთ, ეშერის ეს პარადოქსული ნახატი როგორ ხვდება პირდაპირ გულში კონსერვატიულ ვექტორულ ველებს.
ვექტორულ ველს start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis ეწოდება კონსერვატიული ვექტორული ველი, თუ იგი აკმაყოფილებს შემდეგი სამი თვისებიდან ნებისმიერს (ყველა მათგანი განსაზღვრულია სტატიაში):
  • start bold text, F, end bold text-ის წირითი ინტეგრალები ტრაექტორიისგან დამოუკიდებლებია.
  • start bold text, F, end bold text-ის წირითი ინტეგრალები ჩაკეტილ მრუდზე ყოველთვისაა 0.
  • start bold text, F, end bold text არის რაიმე სკალარული ფუნქციის გრადიენტი, ანუ, start bold text, F, end bold text, equals, del, g რაიმე g ფუნქციისთვის.
კიდევ არის ამ ყველაფრის ტოლფასი თვისება: start bold text, F, end bold text არის ირაციონალური, რაც იმას ნიშნავს, რომ მისი როტორი ყველგან ნულია (ცოტა გაფრთხილდით). თუმცა, ამას განვიხილავ სხვა სტატიაში, რომელიც როტორს განსაზღვრავს წირითი ინტეგრალების გამოყენებით.
აქ მთავარი მიგნება არის არა მხოლოდ კონსერვატიული ვექტორული ველის განსაზღვრება, არამედ ის მოულოდნელი ფაქტი, რომ ზემოთ დასახელებული, ერთი შეხედვით, განსხვავებული პირობები ერთმანეთის ტოლფასებია. სიგიჟეა!

ტრაექტორიის დამოუკიდებლობა

წარმოიდგინეთ, თქვენ გაქვთ მოცემული start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis ვექტორული ველი და განიხილავთ start bold text, F, end bold text-ის წირით ინტეგრალებს ორ განსხვავებულ ტრაექტორიაზე, C, start subscript, 1, end subscript-სა და C, start subscript, 2, end subscript-ზე, რომელთაგან თითოეული იწყება A წერტილზე და სრულდება B წერტილზე
თითქმის ყველა start bold text, F, end bold text ვექტორული ველისთვის და თითქმის ნებისმიერი არჩეული C, start subscript, 1, end subscript და C, start subscript, 2, end subscript ტრაექტორიებისთვის ეს ინტეგრალები განსხვავებული იქნება.
∫C1F⋅ds≠∫C2F⋅ds←თითქმის ყოველთვის ჭეშმარიტია\begin{aligned} \int_{C_1} \textbf{F} \cdot d\textbf{s} \ne \int_{C_2} \textbf{F} \cdot d\textbf{s} \quad \leftarrow \text{თითქმის ყოველთვის ჭეშმარიტია} \end{aligned}
ეს ლოგიკურია! თითოეული ინტეგრალი აჯამებს სივრცის სრულიად განსხვავებულ წერტილებზე სრულიად განსხვავეულ მნიშვნელობებს. მოულოდნელი ისაა, რომ არსებობს ზოგიერთი ვექტორული ველი, სადაც განსხვავებული ტრაექტორიები, რომლებიც ერთსა და იმავე ორ წერტილს აერთებს, ყოველთვის ტოლი იქნება, მიუხედავად იმისა, თუ რა ტრაექტორიას ავირჩევთ (ხოლო ასეთი ტრაექტორია უსასრულოდ ბევრია).
ამ ბოლო სტატიაში, რომელიც მოიცავს გრადიენტის თეორემას, ვნახეთ, რომ ვექტორული ველების განსაკუთრებულ შემთხვევაში, რომლებიც del, f სკალარული ფუნქციის რაიმე გრადიენტებია, ეს ჯადოსნური თვისება ჭეშმარიტია. წირითი ინტეგრალები განსხვავებულ ტრაექტორიებზე, რომლებიც აერთებენ ერთსა და იმავე A და B წერტილებს, გამოთვლით ყოველთვის ერთსა და იმავე რამეს გვაძლევს:
∫C1∇f⋅ds=f(B)−f(A)⏟შედეგიგრადიენტის თეორემისა=∫C2∇f⋅ds\begin{aligned} \int_{C_1} \nabla f \cdot d\textbf{s} = \underbrace{ f(B) - f(A) }_{\substack{ \text{შედეგი} \\\\ \text{გრადიენტის თეორემისა} }} = \int_{C_2} \nabla f \cdot d\textbf{s} \end{aligned}
განმარტება: ამ თვისებას ეწოდება ტრაექტორიისგან დამოუკიდებლობა. კონკრეტულად, წირითი ინტეგრალი, რომელიც გადის start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis ვექტორულ ველზე, ითვლება ტრაექტორიისგან დამოუკიდებლად, თუ ინტეგრალის მნიშვნელობა დამოკიდებულია მხოლოდ ტრაექტორიის დასაწყისსა და ბოლოზე და არა - მათ შორის არჩეულ კონკრეტულ ტრაექტორიაზე.
სინამდვილეში, როცა სათანადოდ გაიგებთ გრადიენტის თეორემას, ეს მტკიცება ჯადოსნურად აღარ მოგვეჩვენება. ამის მიზეზი ისაა, რომ f-ის გრადიენტში წირითი ინტეგრალები ზომავენ f-ის მნიშვნელობის ცვლილებას. f-ის ამ ტრაექტორიის გამოსახვით ეს ამბობს, რომ ნებისმიერი ორი ტრაექტორია, რომელსაც ერთი წერტილიდან მეორემდე მიჰყავხართ, თქვენს სიმაღლეს ერთნაირად ცვლის.
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა
ამ შედეგში დასამახსოვრებელი ისაა, რომ გრადიენტული ველები ძალიან განსაკუთრებული ვექტორული ველებია. რადგან ტრაექტორიისგან დამოუკიდებლობის თვისება ასე იშვიათია, აქედან თავისებურად გამომდინარეობს, რომ ვექტორული ველების „უმეტესობა“ ვერ იქნება გრადიენტული ველი.

ტრაექტორიისგან დამოუკიდებლობა გულისხმობს გრადიენტულ ველს

ასე რომ, გრადიენტული ველები განსაკუთრებულია ტრაექტორიისგან დამოუკიდებელი თვისების გამო. მაგრამ შეგიძლიათ, მოიფიქროთ რაიმე start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis ვექტორული ველი, რომელშიც წირითი ინტეგრალები დამოუკიდებელია ტრაექტორიისგან, მაგრამ არ არის რაიმე სკალარული ფუნქციის გრადიენტი?
ალბათ პასუხი დავასპოილერე სექციის სათაურითა და შესავლით: ყველა ვექტორული ველი, რომელშიც წირითი ინტეგრალები ტრაექტორიისგან დამოუკიდებლებია, უნდა იყოს რაიმე ფუნქციის გრადიენტი. მაგრამ რატომ?
რატომ უნდა იყოს ეს ჭეშმარიტი? განიხილეთ ზოგადი start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis ვექტორული ველი, რომელშიც წირითი ინტეგრალები ტრაექტორიისგან დამოუკიდებლებია, რაც იმას ნიშნავს, რომ:
∫C1F⋅ds=∫C2F⋅ds\begin{aligned} \int_{C_1} \textbf{F} \cdot d\textbf{s} = \int_{C_2} \textbf{F} \cdot d\textbf{s} \end{aligned}
ნებისმიერი ორი C, start subscript, 1, end subscript და C, start subscript, 2, end subscript ტრაექტორიისთვის, რომლებიც აერთებენ ერთსა და იმავე A დ B წერტილებს. ასეთი რა არის ამ თვისებაში, რომ გარანტირებულს ხდის ისეთი g ფუნქციის არსებობას, რომლისთვისაც del, g, equals, start bold text, F, end bold text?
რთული შეკითხვა: შეგიძლიათ, მოიფიქროთ ასეთი g ფუნქციის აგების გზა start bold text, F, end bold text-ის გამოყენებით იმ ფაქტზე დაყრდნობით, რომ start bold text, F, end bold text ტრაექტორიისგან დამოუკიდებელია?
ეს რთული შეკითხვაა, მაგრამ გრადიენტის თეორემის გადახედვამ შეიძლება, შთაგაგონოთ.

ჩაკეტილი მრუდები

განმარტება: ტრაექტორიას ეწოდება ჩაკეტილი, თუ იგი იწყება და სრულდება ერთ წერტილზე. ასეთ ტრაექტორიებს ჩვეულებრივ ჩაკეტილ მრუდებს (ან მარყუჟებს) უწოდებენ.
მაგალითად, ქვემოთ გამოსახული C ტრაექტორია იწყება და სრულდება A-ზე.
თუ ავიღებთ start bold text, F, end bold text ვექტორულ ველს, სადაც ყველა წირითი ინტეგრალი ტრაექტორიისგან დამოუკიდებელია, start bold text, F, end bold text-ის წირითი ინტეგრალი ნებისმიერ ჩაკეტილ მრუდზე იქნება 0. რატომ?
ამ ფაქტის შებრუნებულიც ჭეშმარიტია: თუ start bold text, F, end bold text-ის წირითი ინტეგრალები ჩაკეტილ მრუდებზე არის 0, მაშინ ყველა წირითი ინტეგრალი უნდა იყოს ტრაექტორიისგან დამოუკიდებელი. რატომ?

ჩაკეტილი მრუდების ინტეგრალების ნოტაცია

ზოგჯერ ნახავთ შემდეგნაირად ჩაწერილ წირით ინტეგრალს C ჩაკეტილ მრუდზე:
∮CF⋅dr\begin{aligned} \oint_C \textbf{F} \cdot d\textbf{r} \end{aligned}
ნუ იდარდებთ, ეს არ არის ახალი მოქმედება, რომელიც უნდა ისწავლოთ. ეს მხოლოდ წირითი ინტეგრალია, რომელიც ძველებურად ითვლება, მაგრამ მკითხველისთვის ხაზს უსვამს იმას, რომ C ჩაკეტილი მრუდია.

პოტენციური ენერგია

ამ სტატიაში, რომელიც გვაცნობს​ ვექტორულ ველებში წირით ინტეგრალებს, მოკლედ ვახსენე, რომ ფიზიკაში ობიექტზე ძალის შესრულებული მუშაობა გამოითვლება ამ ძალის ვექტორული ველის წირითი ინტეგრალის აღებით მოძრაობის ტრაექტორიაზე.
W=∫CF⋅ds\begin{aligned} W = \int_C \textbf{F} \cdot d\textbf{s} \end{aligned}
ძალას ეწოდება კონსერვატიული, თუ მის მიერ შესრულებული მუშაობა A წერტილიდან B წერტილამდე მოძრავ ობიექტზე მუდმივია, მიუხედავად იმისა, თუ რა ტრაექტორია ირჩევა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ ინტეგრალი ყოველთვის დამოუკიდებელია ტრაექტორიისგან. ფუნდამენტური ძალები, როგორიცაა გრავიტაცია და ელექტრული ძალა, ყოველთვის კონსერვატიულია და არაკონსერვატიული ძალის კლასიკური მაგალითია ხახუნის ძალა.
ამას ზემოთ მოცემულ მსჯელობაზე დაყრდნობით საინტერესო შედეგი აქვს: თუ ძალა კონსერვატიულია, იგი უნდა იყოს რაიმე ფუნქციის გრადიენტი.
start bold text, F, end bold text, equals, del, U
გარდა ამისა, გრადიენტის თეორემის თანახმად, ამ ძალის მიერ ობიექტზე შესრულებული მუშაობა, როცა იგი მოძრაობს A წერტილიდან B წერტილამდე, შეიძლება უბრალოდ ამ U ფუნქციის გამოთვლით თითოეულ წერტილზე:
W=∫CF⋅ds=∫C∇U⋅ds=U(B)−U(A)\begin{aligned} W &= \int_C \textbf{F} \cdot d\textbf{s} \\\\ &= \int_C \nabla U \cdot d\textbf{s} \\\\ &= U(B) - U(A) \end{aligned}
თუ ფიზიკა იცით, მიხვდებოდით, რომ ეს U ფუნქცია არის პოტენციური ენერგია. მაგალითად, თუ თქვენ აიღებთ გრავიტაციული ან ელექტროული პოტენციალის გრადიენტს, თქვენ მიიღებთ, შესაბამისად, გრავიტაციულ ან ელექტრულ ძალას. ამის გამო კონსერვატიული ძალის მიერ შესრულებული მუშაობა შეიძლება, გამარტივდეს პოტენციური ენერგიების შედარებამდე.
ეს ასევე ნიშნავს, რომ ვერ გექნებათ „ხახუნის პოტენციური ენერგია“, რადგან ხახუნის ძალა არაკონსერვატიულია.

ეშერი

გადავდივართ ფიზიკიდან ხელოვნებაში. მ.კ. ეშერის კლასიკური ნახატი „ასვლა და ჩამოსვლა“ გვიჩვენებს, როგორი იქნებოდა სამყარო, გრავიტაცია, რომ იყოს არაკონსერვატიული ძალა.
ჩაკეტილი მრუდის პერსპექტივა:
  • წარმოიდგინეთ ამ კიბეებზე მოძრაობა საათის ისრის მიმართულებით. თითოეულ ნაბიჯზე გრავიტაცია თქვენზე უარყოფით მუშაობას შეასრულებდა. ასე რომ, იმ მუშაობის ინტეგრება, რომელსაც გრავიტაცია ჯამურად ახდენს სრული წრის დარტმისას, იქნებოდა საკმაოდ უარყოფითი. მაგრამ, ეს არის ინტეგრალი ჩაკეტილ მრუდზე, ასე რომ, ის ფაქტი, რომ იგი ნულისგან განსხვავებულია, იმას უნდა ნიშნავდეს, რომ თქვენზე მოქმედი ძალა ვერ იქნება კონსერვატიული.
ტრაექტორიისგან დამოკიდებლობის პერსპექტივა
  • წარმოიდგინეთ მოძრაობა მარჯვენა კუთხეში მყოფი კოშკიდან მარცხენა კუთხისგენ. თუ ამ გზას გაივლით საათის ისრის მიმართულებით, გრავიტაცია თქვენზე უარყოფით მუშაობას ასრულებს. თუ იქ მიხვალთ საათის ისრის საწიინააღმდეგო გზით, გრავიტაცია თქვენზე დადებით მუშაობას ასრულებს. რადგან ორივე გზა იწყება და მთავრდება ერთ წერტილზე, ტრაექტორიების დამოუკიდებლობა არ სრულდება, ასე რომ, გრავიტაციული ველი ვერ იქნება კონსერვარტიული.
გრადიენტული პერსპექტივა:
  • რეალურ სამყაროში გრავიტაციული პოტენციალი შეეასაბამება სიმაღლეს, რადგან გრავიტაციის შესრულებული მუშაობა სიმაღლის ცვლილების პროპორციულია. ეშერის ნახატში განსაცვიფრებელი ისაა, რომ სიმაღლის ცნებას აზრი დაკარგული აქვს. ბევრმა „ზევით“ გადადგმულმა ნაბიჯმა შეიძლება, საწყის წერტილამდე მიგიყვანოთ. ეს შეესაბამება იმ ფაქტს, რომ არ არსებობს ისეთი U პოტენციური ფუნქცია, რომლისთვისაც del, U იძლევა გრავიტაციულ ველს.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა
პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.