ძირითადი მასალა

მრავალცვლადიანი კალკულუსი

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 5

გაკვეთილი 3: გრინის თეორემა (სტატიები)

გრინის თეორემის მაგალითები

Google–ის საკლასო ოთახი

გრინის თეორემა ლამაზია, მაგრამ აქ შეგიძლიათ, ისწავლოთ, როგორ გამოიყენება ის.

ფონი

გრინის თეორემა

ფორმულის დამახსოვრება

გრინის თეორემა ყველაზე ხშირად შემდეგნაირად წარმოდგება:

$\oint_{C} P d x + Q d y = \iint_{R} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d A$ ‍

ეს ასევე ძალიან ჰგავს იმას, ჩვეულებრივ როგორც გამოიყურება სავარჯიშო ამოცანები და ტესტის შეკითხვები, მაგრამ მე პირადად ვერასდროს ვერ ვიმახსოვრებ მისი

P

და

Q

ფორმით.

„ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ ‍ იყო თუ $\frac{\partial Q}{\partial y}$ ‍?"

„რომელ წევრს ვაკლებთ?“

მე ყოველთვის ამ ფორმაზე ფიქრით ვიწყებ:

$\oint_{C} F \cdot d r = \iint_{R} 2d-curl F d A$ ‍

მისი დამახსოვრება მიადვილდება, რადგან მას აქვს რაღაც ფიზიკური დატვირთვა (მეტი დეტალებისთვის ნახეთ ბოლო სტატია):

$F (x, y)$ ‍ ვექტორული ველის წირითი ინტეგრალი დახურული $C$ ‍ მრუდის ირგვლივ ზომავს სითხის ბრუნვას $C$ ‍-ის ამ ზღვრის ირგვლივ.
$F$ ‍-ის როტორის ორჯერადი ინტეგრალი აჯამებს $R$ ‍-ის შიგნით $C$ ‍-თი შემოსაზღვრულ სითხის მოძრაობის უმცირეს ნაწილებს.
ინტუიციურად ლოგიკურია, რომ ეს ორი დაკავშირებული უნდა იყოს. სინამდვილეში ისინი ტოლებია.

თეორემის

P Q

ვერსიამდე რომ მივიდეთ, დაწერეთ

F

-ის კომპონენტები

P (x, y)

და

Q (x, y)

სახით:

$\begin{array}{r} F (x, y) = [\begin{array}{c} P (x, y) \\ Q (x, y) \end{array}] \end{array}$ ‍

(რომ დავიმახსოვროთ, რომ

P

არის

x

კომპონენტი და

Q

y

კომპონენტი, იფიქრეთ იმ ფაქტზე, რომ ინგლისურ ანბანში

P

უფრო ადრეა, ვიდრე -

Q

აქედან განავრცეთ წირითი ინტეგრალის, როტორისა და ყველაფერი დანარჩენის თითოეული ნაწილი. რამდენჯერმე რომ გააკეთებთ, შეეჩვევით და ამას გონებითაც შეძლებთ.

$\begin{aligned} \oint_{C} F \cdot d r & = \iint_{R} ორგანზომილებიანი როტორი F d A \\ ⇓ \\ \oint_{C} [\begin{array}{c} P (x, y) \\ Q (x, y) \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} d x \\ d y \end{array}] & = \iint_{R} ორგანზომილებიანი როტორი ([\begin{array}{c} P (x, y) \\ Q (x, y) \end{array}]) d A \\ ⇓ \\ \oint_{C} P d x + Q d y & = \iint_{R} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x d y \end{aligned}$ ‍

რა თქმა უნდა, ამისთვის საჭიროა ორგანზომილებიანი როტორის გამოთვლა, მაგრამ ეს გრინის თეორემისგან განსხვავებული კონტექსტებისთვისაც უნდა დავიმახსოვროთ.

გაფრთხილება: გრინის თეორემა ეხება მხოლოდ იმ მრუდებს, რომლებიც მიმართულია საათის ისრის საწინააღდმეგოდ. თუ აინტეგრალებთ საათის ისრის მიმართულებით მრუდის ირგვლივ და გრინის თეორემის გამოყენება გინდათ, რაღაც ეტაპზე შედეგის ნიშანი საპირისპიროთი უნდა შეცვალოთ.

საიდან ხვდებით, თუ როდის უნდა გამოიყენოთ გრინის თეორემა?

„მათემატიკა არ არის გულშემატკივრების სპორტი“ - ჯორჯ პოია

საუკეთესო გზა, რომ მისი გამოსადეგობა შევიგრძნოთ, არის პირდაპირ მაგალითებზე გადასვლა. თითოეული მაგალითის შემდეგ გამოგკითხავთ, რომ დაგეხმაროთ თითოეულისთვის ინტუიციის აგებაში.

მაგალითი 1: წირითი ინტეგრალი $\to$ ‍ ფართობი

ამოცანა: დავუშვათ,

C

წარმოადგენს წრეს, რომლის რადიუსია

2

და ცენტრი -

(3, - 2)

თუ

C

-ს მიმართავთ საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, გამოთვალეთ შემდეგი წირითი ინტეგრალი:

$\oint_{C} 3 y d x + 4 x d y$ ‍

ამოხსნა

ნაბიჯი 1:საძიებელი შეკითხვა საათის ისრისკენაა მიმართული თუ საწინააღმდეგოდ?

აირჩიეთ 1 პასუხი:
(Choice A)
საათის ისრის მიმართულებით
(Choice B)
საათის ისრის მოძრაობის საწინააღმდეგოდ

ვიცი, შეიძლება, სულელური შეკითხვაა იმის გათვალისწინებით, რომ ეს ამოცანაში ცხადად იყო ნათქვამი, მაგრამ მნიშვნელოვანია იმის დამახსოვრება, რომ ეს ყოველთვის უნდა იკითხოთ გრინის თეორემის გამოყენებისას.

ნაბიჯი 2: როცა გრინის თეორემას ვიყენებთ ამ

\oint_{C} 3 y d x + 4 x d y

ინტეგრალზე, რა უნდა ჩავსვათ

P (x, y)

-ისა და

Q (x, y)

-ის ნაცვლად?

$P (x, y) =$ ‍
$Q (x, y) =$ ‍

[პასუხი]

ნაბიჯი 3: ახლა გამოთვალეთ

P (x, y)

-ისა და

Q (x, y)

-ის სათანადო კერძო წარმოებულები.

$\frac{\partial Q}{\partial x} =$ ‍
$\frac{\partial P}{\partial y} =$ ‍

[პასუხი]

ნაბიჯი 4: ბოლოს გამოთვალეთ ორჯერადი ინტეგრალი გრინის თეორემიდან. ამ შემთხვევაში,

R

წარმოადგენს რეგიონს, რომელიც შემოსაზღვრულია

2

-ის ტოლი რადიუსისა და ცენტრის

(3, - 2)

-ზე მქონი წრით (მინიშნება: ამაზე ძალიან ნუ დაიხარჯებით).

$\iint_{R} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d A =$ ‍

[პასუხი]

მაგალითი 1 გამოკითხვა

რატომ გამარტივდა ამ მაგალითში წირითი ინტეგრალი ორჯერად ინტეგრალამდე გრინის თეორემის გამოყენებისას? ამის მიზეზი ისაა, რომ შესაბამისი ფუნქცია მუდმივია:

$\begin{aligned} ორგანზომილებიანი როტორი ([\begin{array}{c} P (x, y) \\ Q (x, y) \end{array}]) & = ორგანზომილებიანი როტორი ([\begin{array}{c} 3 y \\ 4 x \end{array}]) \\ = \frac{\partial}{\partial x} (4 x) - \frac{\partial}{\partial y} (3 y) \\ = 4 - 3 \\ = 1 \end{aligned}$ ‍

უფრო ზოგადად, თუ ისე გამოიყურება, რომ

Q

-ს კერძო წარმოებული

x

-ის მიმართ მარტივია ან/და რომ

P

-ს კერძო წარმოებული

y

-ის მიმართ მარტივია, იფიქრეთ გრინის თეორემაზე.

$\begin{array}{r} \oint_{C} \overset{არის თუ არა \frac{\partial}{\partial y} მარტივი?}{\overset{⏞}{P (x, y)}} d x + \overset{\frac{\partial}{\partial x} მარტივია?}{\overset{⏞}{Q (x, y)}} d y \end{array}$ ‍

ასევე მნიშვნელოვანი იყო, რომ შეგვძვლებოდა ადვილად გამოგვეთვალა საძიებელი რეგიონის ფართობი. ეს ჭეშმარიტი რომ არ ყოფილიყო, ორჯერადი ინტეგრალი შეიძლება, სულაც არ ყოფილიყო უფრო მარტივი.

მაგალითი 2: ორფუნქციანი გრაფიკები

ამოცანა

განიხილეთ შემდეგი ორი ფუნქცია:

$f (x) = (x^{2} - 4) (x^{2} - 1)$ ‍

$T = f (L_{1}, L_{2})$ ‍

ახლა განიხილეთ რეგიონი ამ ფუნქციების გრაფიკებს შორის.

დავუშვათ,

D

არის ამ რეგიონის (

D

) საათის ისრის საწინააღმდეგოდ მიმართული ზღვარი. გამოთვალეთ შემდეგი წირითი ინტეგრალი:

$\oint_{D} x^{2} y d x - y^{2} d y$ ‍

ამოხსნა

აირჩიეთ 1 პასუხი:
(Choice A)
საათის ისრის მიმართულებით
(Choice B)
საათის ისრის მოძრაობის საწინააღმდეგოდ

რადგან გრინის თეორემა შეესაბამება საათის ისრის საწინააღმდეგო მრუდებს, ეს ნიშნავს, რომ საბოლოო პასუხი საპირისპიროთი უნდა შევცვალოთ.

ნაბიჯი 2: რა უნდა ჩავსვათ

P (x, y)

-ისა და

Q (x, y)

-ის ნაცვლად

\oint_{D} x^{2} y d x - y^{2} d y

ინტეგრალში?

$P (x, y) =$ ‍
$Q (x, y) =$ ‍

[პასუხი]

ნაბიჯი 3: ახლა გამოთვალეთ

P (x, y)

-ისა და

Q (x, y)

-ის სათანადო კერძო წარმოებულები.

$\frac{\partial Q}{\partial x} =$ ‍
$\frac{\partial P}{\partial y} =$ ‍

[პასუხი]

ნაბიჯი 4: გრინის თეორემა რომ გამოვიყენოთ, ორჯერად ინტეგრალს ვიყენებთ წვეთის ფორმის

D

რეგიონზე, რომელიც განისაზღვრა, როგორც - რეგიონი

y = (x^{2} - 4) (x^{2} - 1)

გრაფიკის ზევით და

y = 4 - x^{2}

გრაფიკის ქვევით. ეს ორჯერადი ინტეგრალი იქნება შემდეგი ფორმის რაღაც:

$\int_{x_{1}}^{x_{2}} \int_{y_{1} (x)}^{y_{2} (x)} \dots d y d x$ ‍

შეავსეთ ზღვრები:

$x_{1} =$ ‍
$x_{2} =$ ‍
$y_{1} (x) =$ ‍
$y_{2} (x) =$ ‍

[პასუხი]

ნაბიჯი 5: ბოლოს გრინის თეორემის გამოსაყენებლად ამ ინტეგრალში ვსვამთ სათანადო მნიშვნელობას. თავდაპირველი ინტეგრალი საათის ისრის საწინააღმდეგოდ რომ ყოფილიყო მიმართული, ჩავსვამდით შემდეგს:

$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ ‍

თუმცა, რადგან მრუდი საათის ისრის მიმართულებას ემთხვევა, მას საპირისპიროთი ვცვლით:

$- (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) = \frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x}$ ‍

წინა ორი შეკითხვის გამოყენებით თქვენ მიერ აგებულ ორჯერად ინტეგრალებში მნიშვნელობის ჩასმით, იპოვეთ პასუხი თავდაპირველი წირითი ინტეგრალის ამოცანაზე:

$\oint_{D} x^{2} y d x - y^{2} d y =$ ‍

[პასუხი]

მაგალითი 2 გამოკითხვა

როგორც 1-ელ მაგალითში, ერთ-ერთი მიზეზი იმისა, რომ ეს წირითი ინტეგრალი გამარტივდა, არის ის, რომ წევრები გამარტივდა, როცა სათანადო კერძო წარმოებულებს შევხედეთ.

$\begin{array}{r} \oint_{C} \overset{\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial y} მარტივია? \\ დიახ, ოდნავ. \end{array}}{\overset{⏞}{x^{2} y}} d x + \overset{\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} მარტივია? \\ დიახ, ნამდვილად ასეა. \end{array}}{\overset{⏞}{(- y^{2})}} d y \end{array}$ ‍

ასევე საძიებელი რეგიონი განისაზღვრა ორი განსხვავებული მრუდით. წირითი ინტეგრალის გამოთვლა პირდაპირ მოითხოვს თითოეული მრუდისთვის ორი განსხვავებული წირითი ინტეგრალის აგებას. მაგრამ ორჯერადმა ინტეგრალმა ძალიან ბუნებრივად, ერთი ხელის მოსმით მოიცვა მთლიანი რეგიონი.

ასევე უნდა შევნიშნოთ, რომ საბოლოო ოჯერადი ინტეგრალი სულაც არ იყო მარტივი. გამოთვლებისთვის მაინც ბევრი ფურცელი დაგჭირდებათ. მაგრამ ამას არა უშავს. კვლავ შეგვიძლია, თავდაჯერებულად ჩავთვალოთ, რომ გრინის თეორემამ რაღაცები გაამარტივა, რადგან თითოეული ცალკეული წევრი გამარტივდა, თავიდან ავირიდეთ მრუდების პარამეტრიზაციის აუცილებლობა და ორი განსხვავებული წირითი ინტეგრალის ნაცვლად მივიღეთ მხოლოდ ორჯერადი ინტეგრალი.

ფართობის მოქნილი გამოთვლები

წინა ორ მაგალითში ჩვენ გამოვიყენეთ გრინის თეორემა, რომ წირითი ინტეგრალი გვექცია ორჯერად ინტეგრალად. აქ იგივე უკუმიმართულებით გავაკეთოთ. შეხედეთ ორჯერად ინტეგრალს გრინის თეორემიდან:

$\iint_{R} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d A$ ‍

გაიხსენეთ, რომ

1

-ელ მაგალითში გაგვიმართლა და შემდეგი თვისება გვქონდა:

$(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) = 1$ ‍

ეს იმას ნიშნავს, რომ ჩვენი წირითი ინტეგრალი უბრალოდ ითვლიდა

R

-ის ფართობს:

$\iint_{R} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d A \to \iint_{R} d A = R$ ‍-ის ფართობი

ახლა წარმოიდგინეთ, რომ თავიდანვე არ ვიცოდით

R

-ის ფართობი, მაგრამ გვინდოდა, გამოგვეთვალა. ერთი გზაა

P (x, y)

და

Q (x, y)

ფუნქციების ისეთი წყვილის პოვნა, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას, რომ როტორი უდრის ერთს:

$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1$ ‍,

გრინის თეორემის თანახმად, ფუნქციების ნებისმიერი ასეთი წყვილი საშუალებას გაძლევთ, რეგიონის ფართობი გამოთვალოთ წირითი ინტეგრალის გამოყენებით:

$\begin{aligned} \oint_{C} P d x + Q d y & = \iint_{R} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d A \\ = \iint_{R} (1) d A \\ = ფართობი R \end{aligned}$ ‍

არ გეუცნაურებათ რეგიონის ფართობის გამოთვლა მისი ზღვრის ირგვლივ წირითი ინტეგრალის გამოყენებით? მოდით, ეს მოქმედებაში ვნახოთ.

მაგალითი 3: ნიჟარის ფართობი

ამოცანა

განიხილეთ შემდეგი პარამეტრული განტოლებებით

0 \leq t \leq 2 π

დიაპაზონში განსაზღვრული სპირალი.

$\begin{aligned} x (t) & = t \cos (t) \\ y (t) & = t \sin (t) \end{aligned}$ ‍

ახლა ამ სპირალს დაუმატეთ

(0, 0)

-დან

(2 π, 0)

-მდე ხაზი და განიხილეთ ნიჟარის ფორმის ის რეგიონი, რომელიც მას შემოსაზღვრავს.

რას უდრის ამ რეგიონის ფართობი?

ამოხსნა

ნაბიჯი 1: საითაა მიმართული ამ ნიჟარის ზღვარი?

აირჩიეთ 1 პასუხი:
(Choice A)
საათის ისრის მიმართულებით
(Choice B)
საათის ისრის მოძრაობის საწინააღმდეგოდ

ნაბიჯი 2: აირჩიეთ სათანადო

P (x, y)

და

Q (x, y)

გრინის თეორემა რომ გამოვიყენოთ, ჯერ უნდა ვიპოვოთ

P (x, y)

და

Q (x, y)

ფუნქციების ისეთი წყვილი, რომლებიც შემდეგ თვისებას აკმაყოფილებს:

$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1$ ‍

სინამდვილეში, ამას რამდენიმე წყვილი ფუნქცია აკმაყოფილებს.

კონცეფციის შემოწმება: ფუნქციათა შემდეგი წყვილებიდან რომელი აკმაყოფილებს ამ თვისებას?

მონიშნეთ ყველა შესაბამისი პასუხი:
(Choice A)
$\begin{aligned} P (x, y) & = x \\ Q (x, y) & = y \end{aligned}$ ‍
(Choice B)
$\begin{aligned} P (x, y) & = - y \\ Q (x, y) & = 0 \end{aligned}$ ‍
(Choice C)
$\begin{aligned} P (x, y) & = 0 \\ Q (x, y) & = x \end{aligned}$ ‍
(Choice D)
$\begin{aligned} P (x, y) & = - y / 2 \\ Q (x, y) & = x / 2 \end{aligned}$ ‍

[პასუხი]

შეიძლება, ფიქრობდეთ, რომ ზემოთ მოცემული მეორე ან მესამე ვარიანტი ყველაზე მეტად ამარტივებს ყველაფერს, თუმცა საინტერესოა, რომ ხშირად ბოლო ვარიანტით ხდება წირით ინტეგრალებზე გამოთვლები ყველაზე ადვილად. ეს ნიშნავს შემდეგი ინტეგრალის გამოთვლას:

$\oint_{C} \underset{P d x}{\underset{⏟}{- \frac{1}{2} y d x}} + \underset{Q d y}{\underset{⏟}{\frac{1}{2} x d y}}$ ‍

ან უფრო სუფთად რომ ჩავწეროთ,

$\oint_{C} \frac{1}{2} (x d y - y d x)$ ‍

რატომაა ეს უფრო მარტივი? ძალიან მალე ნახავთ, როგორ კარგად ბათილდება რაღაცები და ამას რა კავშირი აქვს გამოსახულებაში

x

-ისა და

y

-ის სიმეტრიასთან. სიმართლე რომ ვთქვა, არ ვიცი, ეს წინასწარ როგორ უნდა დაგენახათ; ეს ძალიან ჭკვიანურია.

ნაბიჯი 3: გამოთვალეთ წირითი ინტეგრალი.

ჩვენი რეგიონის ზღვარი ორი მრუდით განისაზღვრება. ერთი მათგანია სპირალი, რომელიც განსაზღვრულია

0 \leq t \leq 2 π

დიაპაზონში შემდეგი ორი განტოლებით:

$\begin{aligned} x (t) & = t \cos (t) \\ y (t) & = t \sin (t) \end{aligned}$ ‍

მეორე არის ხაზი

(0, 0)

-სა და

(2 π, 0)

-ს შორის. შენიშნეთ, რომ ეს ხაზი მთლიანად

x

ღერძზეა. შესაბამისად,

y

მასზე ყოველთვის

0

-ია და

d y

-იც ასევე

0

-ია, რადგან

y

არ იცვლება. ასე რომ, განიხილეთ ამ მონაკვეთზე წირითი ინტეგრალის მნიშვნელობა:

$\int \frac{1}{2} (x \underset{0}{\underset{⏟}{d y}} - \underset{0}{\underset{⏟}{y}} d x)$ ‍

ინტეგრალის ქვეშ თთოეული ნაწილი

0

-ია, ასე რომ, მას უგულვებელვყოფთ! შესაბამისად, ეს წირითი ინტეგრალი შეგვიძლია, გამოვიყენოთ სპირალზე და მივიღოთ პასუხი.

კონცეფციის შემოწმება: თუ მოცემული გვაქვს, რომ

x (t) = t \cos (t)

და

y (t) = t \sin (t)

, რა უნდა ჩავსვათ

x d y - y d x

-ის ნაცვლად წირით ინტეგრალში? სცადეთ ფურცელზე იმუშაოთ და გაამარტივეთ.

$x d y - y d x =$ ‍
$d t$ ‍

[პასუხი]

ამის სახლში წაღება: გამოიყენეთ საბოლოო პასუხი, რომ გამოთვალოთ სპირალზე შემდეგი წირითი ინტეგრალი, რომელიც მოგვცემს ნიჟარის სასურველი რეგიონის ფართობს:

$\int_{სპირალი} \frac{1}{2} (x d y - y d x) =$ ‍

[პასუხი]

შეჯამება

გრინის თეორემას შეუძლია, რთული წირითი ინტეგრალები გარდაქმნას პირდაპირ ამოსახსნელ ორჯერად ინტეგრებად.
იმისთვის, რომ მიხვდეთ, გრინის თეორემა გაამარტივებს თუ არა წირით ინტეგრალს, დასვით შემდეგი ორი შეკითხვა:

$\begin{array}{r} \oint_{C} \overset{არის თუ არა \frac{\partial}{\partial y} მარტივი?}{\overset{⏞}{P (x, y)}} d x + \overset{\frac{\partial}{\partial x} მარტივია?}{\overset{⏞}{Q (x, y)}} d y \end{array}$ ‍

ასევე განიხილეთ, $C$ ‍ მრუდით შემოსაზღვრული რეგიონი ადვილად აღიწერება თუ არა ორჯერადი ინტეგრალით და აქვს თუ არა ცნობილი ფართობი.
თქვენ შეგიძლიათ, რეგიონის ფართობი გამოთვალოთ შემდეგი წირითი ინტეგრალით მისი საათის ისრის საწინააღმდეგოდ მიმართული საზღვრის ირგვლივ:
$\oint_{C} \frac{1}{2} (x d y - y d x)$ ‍

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

მრავალცვლადიანი კალკულუსი

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 5

ფონი

ფორმულის დამახსოვრება

საიდან ხვდებით, თუ როდის უნდა გამოიყენოთ გრინის თეორემა?

მაგალითი 1: წირითი ინტეგრალი →‍ ფართობი

მაგალითი 1 გამოკითხვა

მაგალითი 2: ორფუნქციანი გრაფიკები

მაგალითი 2 გამოკითხვა

ფართობის მოქნილი გამოთვლები

მაგალითი 3: ნიჟარის ფართობი

შეჯამება

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

მაგალითი 1: წირითი ინტეგრალი $\to$ ‍ ფართობი