If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

გრინის თეორემა

გრინის თეორემა ერთმანეთთან აკავშირებს როტორის ორმაგ ინტეგრალსა და გარკვეულ ხაზობრივ ინტეგრალს. ეს მართლაც ძალიან ლამაზია.

სხვა წყაროები

მომდევნო სტატიაში შეგიძლიათ, იპოვოთ იმის მაგალითები, თუ როგორ გამოიყენება გრინის თეორემა ამოცანების ამოსახსნელად. აქ მე გაჩვენებთ მის ჭეშმარიტობაზე მსჯელობისთვის ძალიან კარგ გზას. განსხვავებული პერსპექტივა შეგიძლიათ, ნახოთ სალის ვიდეოში ამ თემის შესახებ.

ერთი გაკვეთილის სწავლით ოთხმაგად ჯილდოვდებით

გრინის თეორემა მრავალცვლადიანი კალკულუსის ოთხი კულმინაციური თეორემიდან ერთ-ერთია:
  • გრინის თეორემა
  • 2D გაუს–ოსტროგრადსკის თეორემა
  • სტოქსის თეორემა
  • 3D გაუს–ოსტროგრადსკის თეორემა
აი, კარგი ამბავი: ოთხივე მათგანს ძალიან მსგავსი ინტუიცია აქვს. ასე რომ, თუ ისეთ დონეზე მიხვალთ, რომ გრინის თეორემას სრულყოფილად დაეუფლებით, დანარჩენი სამის გაგებისთვის უმეტესი ნაწილი უკვე გავლილი გაქვთ!

რის აგებას ვცდილობთ

  • პირობა:
    • F არის ორგანზომილებიანი ვექტორული ველი.
      • R არის რაიმე რეგიონი xy სიბრტყეში.
      • C არის ამ რეგიონის ზღვარი, რომელიც საათის ისრის საწინააღმდეგოდაა მიმართული.
  • გრინის თეორემა ამბობს, რომ F-ის წირითი ინტეგრალი R ზღვრის ირგვლივ იგივეა, რაც F-ის როტორის ორჯერადი ინტეგრალი R-ში:
    R2d-როტორიFdA=CFdr
  • მარცხენა მხარეზე შეგიძლიათ, იფიქროთ, როგორც - თითოეულ წერტილზე მობრუნების თითოეულ ნაბიჯზე R რეგიონში და მარჯვენა მხარეზე, როგორც - სითხის ჯამურ ბრუნვაზე R-ის C ზღვრის ირგვლივ.
  • ხშირად F კომპონენტებით იწერება შემდეგნაირად:
    F(x,y)=P(x,y)i^+Q(x,y)j^
    P-სა და Q-ს გამოყენებით, აი, როგორ გამოიყურება გრინის თეორემა:
    CPdx+Qdy=R(QxPy)dA

სითხის ბრუნვა ზღვრის ირგვლივ

სურათი, რომელიც გონებაში უნდა გქონდეთ კითხვასას, არის ლაქა ვექტორულ ველში.
  • F(x,y) არის ვექტორული ველის ფუნქცია. თუ ვექტორულ ველებთან დაკავშირებულ სხვა სტატიებსაც კითხულობთ, ალბათ, უკვე ეჩვევით იმას, რომ F-ს წარმოიდგენთ, როგორც - სითხის დინებას.
  • R არის რაიმე რეგიონი xy სიბრტყეში. ვარჯიშისას და ამოცანებში ეს იქნება კარგად აღწერილი ფორმა, როგორიცაა - წრე ან ზღვარი ორ გრაფიკს შორის, მაგრამ აბსტრაქტულად ფიქრისას მირჩევნია, ლაქა დავხატო.
  • C არის R-ის საათის ისრის საწინააღმდეგოდ მიმართული ზღვარი. გახსოვდეთ ეს მიმართულება, რადგან ამოცანების ამოხსნისას ამას მნიშვნელობა აქვს. საათის ისრის საწინააღმდეგოდ მიმართული. იმახსოვრებთ? საათის ისრის საწინააღმდეგოდ მიმართული.
კონცეფციის შემოწმება: როგორ შეგიძლიათ შემდეგი წირითი ინტეგრალის ინტერპრეტირება სითხის დინებით?
CFdr
(გახსოვდეთ, ვექტორული ველის წირით ინტეგრალში dr წევრი წარმოადგენს უმცირეს ნაბიჯს მრუდზე, როგორც - ვექტორს, რომელიც ამ შემთხვევაში ყოველთვის საათის ისრის საწინააღმდეგოდ იქნება მიმართული.)
აირჩიეთ 1 პასუხი:

აქ არის CFdr წირით ინტეგრალზე ფიქრის ერთი გზა: სურათი, რომელშიც ნავი C ხაზს უვლის საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით.
თქვენი მოგზაურობის თითოეულ წერტილზე dr ვექტორი იძლევა გადაადგილების მიმართულებას. Fdr სკალარული ნამრავლი დადებითი იქნება იმ წერტილებზე, სადაც სითხის დინება თქვენი მოძრაობის თანხვედრია და უარყოფითი - წერტილებზე, სადაც საპირისპიროა.
მთლიანობაში, CFdr წირითი ინტეგრალი აჯამებს ყველა სკალარულ ნამრავლს, რომ გითხრათ, დინება ხელს გიწყობდათ თუ გიშლიდათ.
ასე რომ, წირით ინტეგრალი დადებითია, როცა სითხის დინებას ზოგადი საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულების ტენდენცია აქვს C ზღვრის ირგვლივ (იმას ნიშნავს, რომ იგი გეხმარებოდათ) და ეს უარყოფითი იქნება, თუ მას ექნება საათის ისრის მიმართულების ტენდენცია (ზოგადად ხელს გიშლით).

შიდა ზღვრის შემოტანა

გრინის თეორემა იღებს R-ის რეგიონის ირგვლივ სითხის ბრუნვის იდეას და უკავშირებს იმას, რაც ხდება R-ის შიგნით. კონცეპტუალურად, ეს მოიცავს R-ის დაშლას ბევრ პატარა ნაწილად. ფორმულებში საბოლოო შედეგი აიღებს 2d-როტორისF ორჯერად ინტეგრალს.

დაჭერით რეგიონი

წარმოიდგინეთ R რეგიონის გაჭრა შუაში ხაზით, რაც მოგცემთ ორ ქვერეგიონს, R1-სა და R2-ს:
ამ რეგიონების ზღვრებს დაარქვით C1 და C2. რა მოხდება, თუ ავიღებთ წირით ინტეგრალს F ამ ორი ზღვრის ირგვლივ და შევკრებთ?
C1Fdr+C2Fdr
შენიშნეთ, რომ რომ ეს წირითი ინტეგრალები გაბათილდებიან ჭრის ვერტიკალურ ხაზზე, რომელიც თქვენ გააკეთეთ. კონკრეტულად, C1-ის ირგვლივ ინტეგრალი „ზევით“ მიჰყვება ამ ხაზს, როცა ინტეგრალი C2-ის ირგვლივ ინტეგრირდება „ქვევით“ ამ ხაზის გასწვრივ (გახსოვდეთ, როცა წირით ინტეგრალს ასრულებთ ვექტორულ ველში, მიმართულების ცვლილება მრუდზე თქვენს შედეგს ამრავლებს 1-ზე).
ეს იმას ნიშნავს, რომ ჩვენი ორი ინტეგრალის ჯამი იგივეა, რაც - C-ის სრული ზღვრის ირგვლივ შემოვლა.
C1Fdr+C2Fdr=CFdr

ისევ გაჭერით

ეს კიდევ ერთხელ შეგიძლიათ, გააკეთოთ, ამჯერად შეიძლება ჰორიზონტალური კვეთით:
თუ გააინტეგრალებთ მიღებული ოთხი ქვერეგიონის ზღვრების ირგვლივ, ინტეგრალები გაბათილდება იმ ჭრის ირგვლივ, რომელიც R-ის ინტერიერში გააკეთეთ:
ამ ფორმულაში ეს ნიშნავს, რომ ოთხივე ქვერეგიონის ირგვლივ წირითი ინტეგრალების ჯამი საბოლოოდ უტოლდება სრული რეგიონის ირგვლივ ხაზის ინტეგრალს:
C1Fdr+C2Fdr+C3Fdr+C4Fdr=CFdr
ხაზი უნდა გავუსვათ იმას, რომ ეს მხოლოდ მაშინ გამოდის, თუ დავრწმუნდებით, რომ ყველა ზღვარი, C1,,C4 ერთნაირადაა მიმართული. სხვა შემთხვევაში, მათ შეიძლება, არ გააბათილონ ერთმანეთი ჭრების გასწვრივ. გავრცელებული აზრია საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულების დადებითად განხილვა, ასე რომ, ყველაფერი ჩათვალეთ საათის ისრის საწინააღმდეგოდ მიმართულად.

იგი ძალიან ბევრჯერ გაჭერით

შეიძლება, მიხვდეთ, რისკენ მივდივარ. წარმოიდგინეთ R რეგიონის დაჭრა ბევრ პატარა R1,,Rn ნაწილად. ყველა ზღვარი, C1,,Cn მიმართეთ საათის საწინააღმდეგო მიმართულებით და F ფუნქცია გააინტეგრალეთ თითოეულზე.
ინტეგრალები გაბათილდება თავად R-ის შიგნით ყველა ჭრის გასწვრივ. ამის მიზეზი ისაა, რომ ნებისმიერი ჭრისთვის ერთ-ერთი ინტეგრალი იქნება ერთი მიმართულების გასწვრივ, ხოლო მეორე მასზე წავა მეორე მიმართულებაში. საბოლოოდ, ერთადერთი ნაწილი, სადაც ეს ინტეგრალები არ ბათილდებიან, არის C-ის ზღვრის ნაწილები.
ეს ნიშნავს, რომ წირითი ინტეგრალების დაჯამება პატარა ნაწილების პატარა ზღვრების გასწვრივ, იგივე შედეგს მოგვცემს, რასაც - მთელი რეგიონის გასწვრივ ინტეგრება:
k=1n(CkFdr)=CFdr

როტორის ინტეგრება

ასე რომ... ამას რატომ ვაკეთებ? ამის მიზეზი ისაა, რომ თითოეული პატარა ნაწილის ირგვლივ წირითი ინტეგრალის ინტერპრეტირების სხვა გზა არსებობს ორგანზომილებიანი როტორის გამოყენებით. აარჩიეთ ერთ-ერთი ნაწილი და მიუახლოვდით.
  • დავუშვათ, Rk იყოს არჩეული ნაწილი Ck ზღვრით.
  • დავუშვათ, |Rk| წარმოადგენდეს Rk-ის ფართობს, რომელსაც ძალიან პატარა რიცხვად წარმოვიდგენთ.
  • დავუშვათ, (xk,yk) იყოს რაიმე წერტილი, ნებისმიერი ისეთი წერტილი, რომელიც დგას ამ ნაწილის შიგნით.
F-ით გამოწვეული სითხის ბრუნვა ნაწილის ირგვლივ შეიძლება, გაიზომოს CkFdr წირითი ინტეგრალით. წარმოიდგინეთ პატარა ნავი, მაგრამ, რადგან ეს მართლა პატარა ნაწილია, გვაქვს მრავალცვლადიანი კალკულუსის კიდევ ერთი ცნება, რომელიც ზომავს სითხის ბრუნვას: როტორი.
წირითი ინტეგრალის მიახლოებით შეფასება შეიძლება F-ის 2d-როტორის აღებით Rk-ს შიგნით ნებსმიერ წერტილზე და მისი გამრავლებით უმცირეს |Rk| ფართობზე:
CkFdrინტეგრალი a-ს გარშემომცირე ნაწილი Rk(2d-როტორიF(xk,yk)Point in Rk)|Rk|Rk-ის ფართობი
ასევე მნიშვნლოვანია ის, რომ, რაც უფრო პატარაა Rk, მით უფრო უკეთესია შეფასება.
ამ შეფასებების შეკრებით ყველა პატარა Rk ნაწილის ირგვლივ ამას იღებთ:
k=1n(CkFdr)k=1n(2d-როტორიF(xk,yk)წერტილი Rk-ში|Rk|)
წინა სექციიდან დასკვნის აღებით ზემოთ მოცემულის მარცხენა მხარე იგივეა, რაც - ერთი წირითი ინტეგრალი R-ის სრული ზღვრის ირგვლივ, ასე რომ, ამ შეფასებას შემდეგნაირად ვწერთ:
CFdrk=1n(2d-როტორიF(xk,yk)წერტილი Rk-ში|Rk|)
ახლა ახლოდან შეხედეთ მარჯვენა ნაწილში ჯამს.
  • იგი შეიცავს სკალარულ ფუნქციას, 2d-როტორF-ს
  • ჯამი აღებულია ორგანზომილებიანი R რეგიონის ბევრ პატარა Rk ნაწილზე.
  • ჯამში თითოეული ნაწილისთვის ფუნქცია გამოითვლება ამ ნაწილის შიგნით წერტილზე და შემდეგ მრავლდება მის ფართობზე.
გეცნობათ? ეს ყველაფერი ორჯერადი ინტეგრალის შემადგენელია! (თუ ეს არ გეცნობათ, განიხილეთ სტატია ორჯერად ინტეგრალებზე).
კონკრეტულად, თუ წარმოიდგინეთ R რეგიონის დაშლას უფრო და უფრო ვიწროდ, ზემოთ მოცემული ჯამი შეგიძლიათ, ჩაანაცვლოთ 2d-როტორისF ორჯერადი ინტეგრალით R-ზე:
k=1n(2d-როტორიF(xk,yk)წერტილი Rk-ში|Rk|)R2d-როტორიFdA
ყველაფრის შეჯამებით შემდეგს ვიღებთ:
CFdr=k=1n(CkFdr)k=1n(2d-როტორიF(xk,yk)წერტილი Rk-ში|Rk|)R2d-როტორიFdA
ეს მიახლოებით შეფასებაზე მეტია, ზღვრის ირგვლივ წირითი ინტეგრალი უდრის ორგანზომილებიანი როტორის ორჯერად ინტეგრალს:
CFdr=R2d-როტორიFdA
ამ შესანიშნავ ფაქტს ეწოდებაგრინის თეორემა. როცა მას შეხედავთ, შეგიძლიათ, ის ასე გაიგოთ: რეგიონის სრული ზღვრის ირგვლივ სითხის ბრუნვა (მარცხენა მხარე) იგივეა, რაც - რეგიონის შიგნით „მობრუნების მცირე ნაწილებზე“ შეხედვა და მათი დაჯამება (მარჯვენა მხარე).

ალტერნატიული ჩანაწერი

გრინის თეორემა ხშირად შემდეგნაირი ჩანაწერით გვხვდება:
CPdx+Qdy=R(QxPy)dA
ეს უბრალოდ არის მარცხენა მხარის წირით ინტეგრალში სკალარული ნამრავლისა და მარჯვენა მხარის ორჯერად ინტეგრალში როტორის დამარცვლით თქმა. რაღაც მიზეზის გამო, გავრცელებულია P და Q სიმბოლოების გამოყენება F(x,y) ვექტორული ფუნქციის კომპონენტების ჩასაწერად:
F(x,y)=P(x,y)i^+Q(x,y)j^=[P(x,y)Q(x,y)]
მომდევნო სტატიაში თქვენ იპოვით მაგალითებს, რომლებშიც ეს ფორმულა გამოიყენება წირითი ინტეგრალების ან ორჯერადი ინტეგრალების გასამარტივებლად.

შეჯამება

  • CFdr წირით ინტეგრალზე შეგიძლიათ, იფიქროთ, როგორც C მრუდის ირგვლივ F(x,y) ვექტორით წარმოდგენილი სითხის ბრუნვის გაზომვაზე. მიღებულია, რომ საათის ისრის საწინააღმდეგოდ ბრუნვა ითვლება დადებითად, რა შემთხვევაშიც C უნდა იყოს მიმართული საათის ისრის საწინააღმდეგოდ.
  • წარმოიდგინეთ C-თი შემოსაზღვრული ორგანზომილებიანი R რეგიონის ბევრ პატარა ნაწილად დაშლა. სახელები დაარქვით ამ ნაწილების საზღვრებს C1,,Cn და ყველა მათგანი მიმართეთ საათის ისრის საწინააღმდეგოდ. შემდეგ თითოეული ნაწილის Ck საზღვრის ირგვლივ F-ის წირითი ინტეგრალების შეკრება იგივე რამეს იძლევა, რასაც - C-ს ირგვლივ სრული საზღვრის წირითი ინტეგრალი.
    k=1n(CkFdr)=CFdr
    ეს იგივე იმის თქმაა, რომ პატარა წირითი ინტეგრალები ერთმანეთს აბათილებს R-ის შიგნით თითოეული ჭრის გასწვრივ
  • როცა განიხილავთ უფრო და უფრო პატარა ნაწილებს, თითოეული მათგანის ირგვლივ წირითი ინტეგრალის მიახლოებით შეფასება შეიძლება ორგანზომილებიანი როტორის გამოყენებით:
CkFdrინტეგრალი a-ს გარშემომცირე ნაწილი Rk(2d-როტორიF(xk,yk)Point in Rk)|Rk|Rk-ის ფართობი
  • R-ზე ორჯერადი ინტეგრალის გამოყენებით „როტორის ამ პატარა ნაწილების“ შეკრებით და იმ ფაქტის გამოყენებით, რომ ამ ინტეგრალების ჯამი ბათილდება შიდა ჭრებზე, იღებთ გრინის თეორემას:
CFdr=R2d-როტორიFdA

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.