რატომ გვაინტერესებს განშლადობის და როტორის ფორმალური განსაზღვრებები?

გარკვეულწილად, მათემატიკის დიდებული ხელოვნება არის სწორი განსაზღვრებების პოვნა. ეს მოიცავს იდეის, ინტუიციის, აღებას და მის გადაქცევას აბსოლუტურ ჭეშმარიტებად.

შემდეგი სტატიებისთვის ჩავთვლი, რომ თქვენ უკვე ისწავლეთ დივერგენციაც და როტორიც. უფრო ზუსტად, თქვენ უნდა იცოდეთ, როგორ გამოთვალოთ ისინი და კიდევ უფრო მნიშვნელოვანია, კომფორტულად შეგეძლოთ მათი ინტერპრეტაცია სითხის ნაკადის ჭრილში.

ამ სტატიების მიზანი შემდეგ იქნება ამ სითხის ნაკადების ინტერპრეტაციების მათემატიკურ განსაზღვრებებად გადაქცევა.

დივერგენცია და როტორი არის ორი სასაცილო ოპერაცია, რომელთა შემთხვევაში მათი განსაზღვრების გზა არ არის იგივე, რაც მათი გამოთვლის გზა პრაქტიკაში. ფორმულები, რომელთაც გამოთვლებისთვის ვიყენებთ, ანუ, რაც $\nabla \cdot \textbf{F}$del, dot, start bold text, F, end bold text და $\nabla \times \textbf{F}$del, times, start bold text, F, end bold text ნოტაციებიდან მიიღება, არ არის ფორმალური განსაზღვრებები. ფორმალური განსაზღვრებები მოიცავენ კონკრეტულ ინტეგრალებს, რაც იჭერს სითხის ნაკადის შესაფერის ინტუიციას.

სამწუხაროდ, ეს განსაზღვრებები არც ისე პრაქტიკულია რეალურ გამოთვლებში გამოსაყენებლად, ასე რომ, უფრო ხშირად უბრალოდ $\nabla \cdot \textbf{F}$del, dot, start bold text, F, end bold text და $\nabla \times \textbf{F}$del, times, start bold text, F, end bold text ფორმულებს წარმოადგენენ ხოლმე. სამწუხაროც კი არის, რომ ეს შედარებით იოლად გამოთვლადი ფორმულები არსებობს.

დიახ, და არაც. დიახ, ამ განსაზღვრებების არც დამახსოვრება და არც პრაქტიკაში სწრაფად გამოყენება დაგჭირდებათ. თუმცა, ჩემი აზრით, არ არსებობს როტორისა და დივერგენციის ინტერპრეტაციის გააზრების უკეთესი გზა, ვიდრე ამ განსაზღვრებების გააზრება. ისინი, აგრეთვე, კარგად გაგავარჯიშებთ წირით ინტეგრალებსა და ზედაპირის ინტეგრალებში.

მეტიც, შეიძლება, უფრო მნიშვნელოვანიცაა, რამდენიმე დიდი თემა, რომელსაც მალე ისწავლით მრავალცვლადიან კალკულუსში მოიცავს გრინის თეორემასა და სტოქსის თეორემას, რომლებიც აკავშირებენ როტორს წირით ინტეგრალებთან და ზედაპირის ინტეგრალებთან. გპირდებით, რომ გაცილებით უფრო გაგიადვილდებათ ამ თეორემების გააზრება, თუ როტორის ფორმალური განსაზღვრების ფუნდამენტური ცოდნა გექნებათ.

ანალოგიური რამის თქმა შეიძლება დივერგენციაზეც, გრინის დივერგენციის თეორემა და სამგანზომილებიანი დივერგენციის თეორემა არის კიდევ ორი დიდი თემა, რომელთა გააზრებაც გაგიადვილდებათ, თუ იცით, რას ნიშნავს დივერგენცია რეალურად.

ამ ყველაფრის მიუხედავად, ამ თეორემების გააზრება შესაძლებელია დივერგენციისა და როტორის ფორმალური განსაზღვრებების სწავლის გარეშე, ასე რომ, თქვენი ნებაა ამ სტატიებს წაიკითხავთ თუ – არა. მაგრამ კონცეპტის ახლა გააზრებით საქმეს ძალიან წინ წაიგდებთ.