If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 5

გაკვეთილი 1: დივერგენციისა და როტორის ფორმალური განმარტება (არჩევითი საკითხავი)

სამ განზომილებაში განშლადობის ფორმალური განსაზღვრება

ისწავლეთ, როგორ გამოიყენება ზედაპირული ინტეგრალები 3D ნაკადები 3D-ში განშლადობის იდეის ფორმალიზებისთვის.

ფონი

ამ ორ პრერეკვიზიტსა და სამგანზომილებიანი დივერგენციის გააზრებას შორის პატარა ნაბიჯია. სწორედ ამიტომ ეს სტატია შედარებით მოკლე იქნება, იმის გათვალისწინებით, რომ ამ ორივე პრერეკვიზიტის შესახებ ინტუიცია გამომუშავებული გაქვთ.

რის აგებას ვცდილობთ

  • მიზანია, წერტილზე გარეთ გამავალი სითხის დინების იდეა მათემატიკურ ფორმულაში მოვაქციოთ.
  • სამ განზომილებაში დივერგენცია განსაზღვრულია შემდეგი ზღვრის გამოყენებით:
divF(x,y,z)=lim|R(x,y,z)|01|R(x,y,z)|SFn^dΣნაკადი R-ის ზედაპირის გავლითR-დან გარეთ გამავალი საშუალო ნაკადი მოცულობის ერთეულზე
ამ განმარტებაში საკმაოდ ბევრი რამ ხდება, მაგრამ კომპლექსურობა ნაკადის ინტეგრალშია. თუ ეს ნაწილი გესმით, დანარჩენი მოდის ზღვრის აღებით რეგიონის მიმართ, რომელიც წერტილის ირგვლივ ვიწროვდება.

არიდან წერტილამდე

ვთქვათ, გაქვთ სამგანზომილებიანი ვექტორული ველი.
F(x,y,z)სამგანზომილებიანი ვექტორული ველი
როგორც ყოველთვის, იფიქრეთ, რომ ეს ვექტორული ველი წარმოადგენს სითხის დინებას. დივF დივერგენცია ცდილობს, გაზომოს სითხის „გადინება“ თითოეულ წერტილზე. თუმცა არც ისე ლოგიკურია იმაზე საუბარი, თუ რას ნიშნავს, როცა სითხე გაედინება წერტილიდან.
სამაგიეროდ ლოგიკურია სითხის გადინების იდეა რეგიონიდან. კონკრეტულად, გამოსახეთ რაიმე R რეგიონი ვექტორულ ველში.
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
მოდით, ამ რეგიონის ზედაპირს დავარქვათ „S“. სამ განზომილებაში ნაკადის შესახებ სტატიაში გაჩვენეთ, როგორ გაზომოთ სიჩქარე, რომლითაც სითხე ტოვებს რეგიონს, S ზედაპირზე F-ის ნაკადის აღებით:
d(სითხის მასა R-ში)dtსიჩქარე, რომლითაც ნაკადი ტოვებს R-ს=SFn^dΣნაკადის ზედაპირის ინტეგრალი
აქ n^(x,y,z) არის ვექტორული ფუნქცია, რომელიც აბრუნებს გარეთ მიმართულ ერთეულოვან ნორმალურ (მართობულ) ვექტორს S–ის თითოეულ წერტილზე.
თავად დივერგენციას მასის ნაცვლად აინტერესებს სითხის სიმკვრივის ცვლილება თითოეული წერტილის ირგვლივ. R-ის სითხის სიმკვრივის ცვლილება შეგვიძლია, მივიღოთ ნაკადის ინტეგრალის გაყოფით R-ის მოცულობაზე. R-ის მოცულობა რომ ჩაწეროთ, გაუკეთეთ ხაზები:
|R|R-ის მოცულობა
ასე რომ, ასე გამოიყურება სიჩქარე, რომლითაც სითხის სიმკვრივე იცვლება R-ის შიგნით:
d(fluid სიმკვრივე in R)dt=1|R|SFn^dΣ
F-ის დივერგენცია (x,y,z) წერტილზე განისაზღვრება, როგორც - ამ სითხის სიმკვრივის ცვლილების გამოსახულების ზღვარი, როცა რეგიონი ვიწროვდება (x,y,z) წერტილის ირგვლივ.
divF(x,y,z)=limR(x,y,z)R მცირდება გარშემო წერტილისა(x,y,z)1|R|SFn^dΣ
ამ განტოლებაში მე დავწერე R(x,y,z), რათა გადმომეცა R-ის შევიწროვება (x,y,z) წერტილის ირგვლივ. საბოლოოდ ეს ჩანაწერი უიმედო მცდელობაა იმისა, რომ ვიზუალურად დატვირთული იდეა სიმბოლოებით გადმოვცე. თქვენ ნახავთ, რომ სხვადასხვა ავტორები განსხვავებულ ჩანაწერებს იყენებენ. თუ გირჩევნიათ, შეგიძლიათ, დაიწყოთ იმის თქმით, რომ R(x,y,z) არის რეგიონი, რომელიც შეიცავს (x,y,z) წერტილს და შემდეგი რამ დაწეროთ:
divF(x,y,z)=lim|R(x,y,z)|01|R(x,y,z)|SFn^dΣ
ამ ბოლო ჩანაწერს ოდნავ უპრატესობას ვანიჭებ, რადგან ცოტათი აადვილებს მარცხენა და მარჯვენა მხარის (x,y,z)-ებს შორის კავშირის დანახვას იმ კონტექსტზე დაყრდნობის გარეშე, რომელშიც ყველა წევრი განსაზღვრულია.

გილოცავთ!

თუ იმ დონეზე ხართ, რომ გაიგეთ ეს (საკმაოდ რთული) განმარტება, ეს კარგი ნიშანია იმისა, რომ საკმაოდ კარგად გესმით დივერგენციაც და ზედაპირის ინტეგრალებიც. ეს იმასაც ნიშნავს, რომ კარგ პოზიციაზე ხართ, რომ გაიგოთ გაუს-ოსტროგრადსკის (დივერგენციის) თეორემა, რომელიც ამ იდეას აკავშირებს სამჯერად ინტეგრალებთან.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.